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1、高等数学 定积分习题及答案第五章 定积分习题及答案 (简单层次) ,3adx222321(; 2(; 3(; sinxcosxdxxa,xdx,12200x1，x141xdxdxdx(; 5(; 6(; 43,1,15,4xx，11,x,142e,0dxdx7(; 8(; 9(; 1，cos2xdx,210,2x，2x，2x1，lnx,325,xsinx442dx10(; 11(; 12(; xsinxdx4cosxdx42,5,x，2x，12,41lnxx3dx13(; 14(; 15(; xarctgxdxdx,210sinxx4,e2x2216(; 17(，; 18(，; ecosxdx
2、xsinxdxsinlnxdx,010,sinsinxxx342dx19(; 20(; 21(; cosx,cosxdxdx,2,00,1，sinx1，cosx41,2，,1，x1，x22xlndxdx22(; 23(; 24(; lnsinxdx4,0,01,x1，x，,dx，,025(dx。 ,2,0，1，x1，x(B层次) yxdytyedt，costdt,01(求由所决定的隐函数对x的导数。 ,00dxx2,t，xIx,tedt2(当为何值时，函数有极值, ,0cosxd23(。 cos，,tdt,sinxdx，1,1xx,2,，fxdx4(设，求。 ,fx，,1,20x,x,1,2,
3、1 x2arctgtdt，,05(。 lim2,，,xx，11,xsin,0,xx,6(设，求。 ，,x,ftdt,，fx2,0,0,其它,1,当x,0时,2,1，xf，x,7(设，求。 ，fx,1dx,01,当x,0时x,1，e,128(。 ，limn，2n，？，n2n,nknnelim9(求。 ,k2n,k,1nn，ne1，fxfx10(设是连续函数，且，求。 fx,x，2ftdt,02ln2dt,11(若，求。 x,xt6e1,11,2,x2212(证明:。 2e,edx,2,1,2x，,x,a,x22,13(已知，求常数。 lim,4xedxa,ax,，,x，a,2,1，x,x,03,
4、，fx,，14(设，求fx,2dx。 ,x1,e,x,0,22,，fx15(设有一个原函数为，求，。 1，sinxxf2xdx,03，fx,ax，b,lnx,1,3fx,0fxdx16(设，在上，求出常数a，使最b,1小。 12,x,，fxfxdx17(已知，求。 ，fx,e,0212，fx,x,xfxdx，2fxdx，fx(设，求。 18,00,2,，fcosxcosxfcosxsinxdx,19(。 ,02 x222,，20(设时，Fx,x,tftdt的导数与是等价无穷小，试求xx,0,0,，。 f0(C层次) 1(设，是任意的二次多项式，是某个二次多项式，已知fxgxb1，11,，gxd
5、x，求。 ，,，fxdxf04ff1,a062,，,，2(设函数fx在闭区间a,b上具有连续的二阶导数，则在a,b内存在，,b1a，b,3,，fxdx,b,af，b,af,使得。 ,a224,，,，fxa,bfx,0fx,03(在上二次可微，且，。试证bfbfa，bafafxdxba。 ，,a2,，,，,，fxa,bfxa,bfa,fb,04(设函数在上连续，在上存在且可积，b1,试证()。 ，fx,fxdxa,x,b,a211，fx,0,1fxdx,0xfxdx,15(设在上连续，求证存在一点，x,00，使。 ，fx,40,x,1xFx，22,，Fx,tf，x,tdtfxf0,0f0,16(
6、设可微，求。 lim,40x,0x，,，fxa,bfa,fb,07(设在上连续可微，若，则b4,fxdxmaxfx，,，。 2,aa,x,b，ba,bfxkfx，,，,fxA,B8(设在上连续，求证 limdxA,a,b,B,a,0kk，,fb,fa。 x，fx,，,，Fx,x,3tftdt9(设为奇函数，在内连续且单调增加，,0，,，FxFx0,，,证明:(1)为奇函数;(2)在上单调减少。 3 1，10(设fx可微且积分的结果与无关，试求fx。 ,，fx，xfxtdtx,0,11(若，在,连续，证明: fx0,f0,2f,1,。 ,，fx，fxsinxdx,3,0x12(求曲线在点(0,0
7、)处的切线方程。 ，y,t,1t,2dt,0,，a，13(设fx为连续函数，对任意实数有，求证，sinxfxdx,0a,a,，f2,x,fx。 2x,ydy214(设方程，求。 2x,tgx,y,sectdt2,0dx，,(设fx在a,b上连续，求证: 15x1() ,，ft，h,ftdt,fx,falima,x,b,，a,0hh2x，1，x，ftdt,x，fxf216(当时，连续，且满足，求。 x,0,0，,fx0,117(设在连续且递减，证明 1,，,0,1，,fxdx,fxdx，其中。 ,00x,，fxf0,0fa,118(设，连续，Fx,ftf2a,tdt，试证:,0，F2a,2Fa,
8、1。 x，gx,a,ba,b，19(设是上的连续函数，fx,gtdt，试证在内方程,afb，至少有一个根。 ，gx,0b,axx1，,，fxa,bfx,0Fx,ftdt，dt20(设在连续，且，又，证明: ,ab，ft,，Fx,2Fx,0a,b(1) (2)在内有且仅有一个根。 2aa，fx,0,2a，,fxdx,fx，f2a,xdx21(设在上连续，则。 ,00，fx22(设是以为周期的连续函数，证明: ,2,，sinx，xfxdx,2x，,fxdx。 ,004 23(设，在,上正值，连续，则在,，内至少存在一点，使 fxa,ba,b,bb1。 ，fxdx,fxdx,fxdx,aa21x1f
9、u，1，24(证明lnfx，tdt,lndu，lnfudu。 ,000，fubb，25(设fx在,a,b上连续且严格单调增加，则。 ，a，bfxdx,2xfxdx,aabM2,，,，26(设fx在a,b上可导，且fx,M，fa,0，则。 fxdxba，,a2,，27(设fx处处二阶可导，且fx,0，又ut为任一连续函数，则aa11,，futdtfutdt,，a,0。 ,00aa,bab，,fxdxbaf，,，,，28(设fx在a,b上二阶可导，且fx,0，则。 ,a2,b，fx,a,bfx,0fxdx,0,a,b29(设在上连续，且，证明在上必有,a，fx,0。 ，,fxa,b,a,b30(在
10、上连续，且对任何区间有不等式,1，,M，,a,bfx,0(，为正常数)，试证在上。 ，fxdx,M,第五章 定积分 (A) ,321( sinxcosxdx,0,211342解:原式 ,cosxdx,cosx,0440a222xa,xdx2( ,0解:令，则 x,asintdx,acostdt, 当时，当x,a时t, x,0t,02,222 原式 ,asint,acost,acostdt,05 ,44aa222，,sin2tdt,1,cos4tdt ,0048,442,aa14,sin4ta 82841603dx3( ,122x1，x2解:令，则 x,tg,dx,sec,d,3 当，时分别为，
11、 x,1,43,2,sec3 原式 ,d,2sectg,4,2,3 ，,sin,dsin,42 ,2,331xdx4( ,15,4x51125,4x,u解:令，则x,u， dx,udu442当，1时， u,3,1x,111125 原式 ，,udu,3864dx5( ,1x，1x,t解:令， dx,2tdt当时，;当时， x,1t,1x,4t,22222tdtdt，,2dt, 原式 ,1111，t1，t，2222ln122ln , ，,t,，t,，1131dx6( 3,1,x,146 2解:令1,x,u，则， x,1,udx,2udu13 当时 x,1u,04210,2uu,1，12 原式 ,d
12、u,2du,1,2ln21,0u,1u,122edx7( ,1x1，lnx22ee11，,dlnx,d1，lnx解:原式 ,111，lnx1，lnx2e,21，lnx,23,2 10dx8( ,2,2x，2x，20dx0,arctgx，1，解:原式 ,2,2,2，1，x，1,11 ，,arctg,arctg,，,442,9(1，cos2xdx ,0,2,2cosxdx,2cosxdx解:原式 ,00,2 ，,2cosxdx，2,cosxdx,02,，,，2 ,2sinx,sinx,22,02，,410(xsinxdx ,4解:?为奇函数 xsinx,4xsinxdx,0? ,4211( 4co
13、sxdx,2,24222解:原式， ,4,2cosxdx,22cosxdx,007 ,2222 ，,21，cos2xdx,21，2cos2x，cos2xdx,00,222 ，,2x，2cos2xdx，1，cos4xdx,000,1,22,，2sin2x，cos4xd4x ,0024,2313 sin4,，x,2420325xsinxdx12( 42,5x，2x，132xsinx解:?为奇函数 42x，2x，1325xsinxdx,0? 42,5x，2x，1,x313( dx,2sinx4,3解:原式 ,xdctgx,4,33 ,xctgx，ctgxdx,44,133,，lnsinx ,49,4
14、,1332,，ln,ln ,4922,1313,，ln ,4922,4lnxdx14( ,1x4,2lnxdx解:原式 ,18 44， , 2xlnxxdlnx,11，41，,24ln2xdx ,1x，1,42 ,8ln2,2xdx ,1,8ln2,4115( xarctgxdx,0112解:原式 arctgxdx,02211，1x2 xarctgxdx ,20021x，1111dx, ,dx， ,2008221，x1111, ,x，arctgx822001, ,42,x2216( ecosxdx,0,x22解:原式 ,edsinx,0,xx2222 ,esinx,sinx,2edx,00,2
15、x,2 ,e，2edcosx,0,2x2x,22 ,e，2ecosx,2cosx,2edx,00,2x,2 ,e,2,4ecosxdx,0,1x,22，ecosxdx,e,2 故 ,05,2，xsinxdx17( ,09 ,1cos2x,22解:原式 xsinxdxxdx，,002,1122 ,xdx,xcos2xdx,0022,1132 ,x,xdsin2x,06403,1,2，,xsin2x,sin2x,2xdx ,0,0，643,1,xdcos2x ,06433,1,，cos2cos2,xx,xdx, ,0,0，6464e18(， sinlnxdx,1e1e解:原式 ，,xx,xx,dx
16、sinlncosln,11xe，,esin1,coslnxdx ,1e1e，,e,xx，xx,dxsin1coslnsinln ,1,1x，e，,esin1,ecos1，1,sinlnxdx ,1ee 故 ，sinln,sin1,cos1，1xdx,12,3219( cosx,cosxdx,4,22解:原式 ，,cosx1,cosxdx,4,02 ，,cosx,sinxdx，cosxsinxdx,04,033222，22， ,cosx，,cosx ,33,，,04442, 3310 ,sinx4dx20( ,01，sinx,，sinx1,sinx4dx解:原式, 2,0x1,sin,sinx,
17、24tgxdx, ,2,0cosx,dcosx244，,secx,1dx 2,00cosx,41,4 ，,tgx,x,2，,20cosx40,sinxx21( dx2,01，cosx,解:令，则 x,t2,sin,tt,22,2,原式 dt,221cos，,t,2,cost,costt22 , dt,221，sin1，sintt2,2,cost,22，sin,dt,arctgt, ,20041sin，t11，x2xlndx22( ,01,x12,1xx，2,解:原式lnd ,01x2,11222，x1，xx1,x1,x,1，x,12,ln,dx 2,021,x21，x，1,x0121x2,ln
18、3，lndx 2,08x,111 111dx22,ln3，dx， 2,008x,112111x,1 ,ln3，ln822x，1013 ,ln3282，,1，xdx23( 4,1，x1，122，,，,，1xx解:原式 ,dx2dx4,001，1x2，x2x，,11, 2dx,2,0x,1,x2,，,x,，,1x,2x,2,arctg 22，0,224( lnsinxdx,0,xx,令x,2t24，,ln2sin,cosdx2ln2，lnsint，lncostdt解:原式 ,0022,，,44 ,ln2，2lnsintdt，lncostdt,002，,t,u，,242ln22lnsintdtlns
19、inudu， ,024，,2,ln2，2lnsintdt ,02,2lnsinxdx,ln2 故 ,02，,dx，,025( ,2,0，1，x1，x12 11解:令，则 x,dxdt,2tt1,dt,20，,tdtt原式 ,2,2,0，,，1，t1，t1，t1，t,2,tt,，,，,，,dxdxxdx? 2,，2,2,2,000，1，x1，x1，x1，x1，x1，x，,1,，, ,dx,arctgx,2,0021，x，,dx,故 ,2,04，1x1x，(B) yxdyty1(求由edt，costdt,0所决定的隐函数对的导数。 x,00dx解:将两边对求导得 xdyy e，cosx,0dxdy
20、cosx, ? ydxex2,t，2(当为何值时，函数Ix,tedt有极值, x,02,x,，Ix,0解:，令得 ，Ix,xex,0,，Ix,0 当时， x,0,，Ix,0 当时， x,0，Ix ?当时，函数有极小值。 x,0cosxd23(。 ，cos,tdt,sinxdxacostd22，,，解:原式 ，cos,tdtcos,tdt,sinxa，dxsinxcosxd22，,， ，cos,tdtcos,tdt,aa，dx,22，, ,cossinxsinx，coscosxcosx13 22，,cos，,sincosx，cos,cosx,sinx 22,cos,，sinxcosx,sinxc
21、os,sinx 2，,sinx,cosxcos，,sinx ，1,1xx,2,4(设，求，。 fxdx,fx，,1,20,1xx,2,21212解:fxdxx1dxxdx ，,，,001212118,23,x，x，x, ,263,10x2arctgtdt，,05(。 lim2,，,xx，1x2,2arctgtdt，型,arctgx，0,解: limlim12,，,，,xx,12x，12，x，12x212xarctgx，1，222xarctgx，1x ,lim,limx,，,x,，,xx2,12，,，arctgx,lim1 2x,，,4x1,xsin,0,xx,，6(设，求,x,ftdt。 ,，
22、fx2,0,0,其它,xx，,x,ftdt,0dt,0解:当时， x,0,00x11cos,xsin 当时， ，,x,tdt,0,x,022,xxx1 当时， x,，,x,ftdt,ftdt，ftdt,sintdt，0dt,1,00,0,20,当,0时,1,，x,1,cosx,当0,x,时 故。 ,2,1,x,当,时,14 1,当x,0时,2,1，xf，x,7(设，求。 ，fx,1dx,01,当x,0时x,1，e,1,当x,1时,xf，x,1,解: ,1,当x1时,x,1,1，e,212dx1f，x,1dx,，dx x,1,001，1，x,11，ex,1x,1121，e,edx，,dx,1，
23、x,1,01x1，e1x,1 ,1,ln，1，e，ln20，,ln1，e 128(。 ，limn，2n，？，n2n,n,12n1,lim，？，解:原式 ,n,nnnn,n112ilim ,xdx,0n3nn,1iknnelim9(求。 ,k2n,k,1nn，neknn1elim解:原式, ,k2n,nk,1n，1ex11e,x,dx,arctge,arctge, x,20041，e1，fxfx，fx,x，2ftdt10(设是连续函数，且，求。 ,01，ftdt,Afx,x，2A解:令，则， ,015 111从而 ，fxdx,x，2Adx,，2A,00211即， A,A,，2A22?， fx,x
24、,12ln2dt,11(若,，求。 x,xt6e1,2u2tt,ln，1，u解:令，则， ,dtdue,1,u21，uu,3 当时， t,2ln2x 当时， t,xu,e,12ln23dt2udu3,2arctgu? xx,2e,1xe,1t，1，uue,1,x,2,arctge,1, ,36,从而 x,ln211,2,x2212(证明:。 2e,edx,2,1,2211，,x证:考虑上的函数，则 ,y,e,22，2,x, ，令y,0得 y,2xex,01, 当时， y,0x,0,2,1, 当时，y,0 x,0,2,1,221,x,x2x, ?在处取最大值y,1，且在处取最小值 y,ey,ee
25、x,021111,2,x2222edx,edx,1dx 故 111,22216 11,2,x22 即。 2e,edx,2,1,2x，,x,a,x22,13(已知，求常数。 lim,4xedxa,ax,，,x，a,xa2,2a解:左端 ,elim1,x,，,x，a,，,，,xx2222,，右端,2xed,2x,2xde ,aa，,，,222,x,x, 2xe2xedx,aa,，,ax222, ,2ae,2xde ,a，,，,2222,a,x,x, 2ae2xeedx,aa,2,2a,，2a，2a，1e 2,2a,2a，2a，2a，1e,e ? 解之 或。 a,0a,12,1，x,x,03,，fx
26、,14(设，求fx,2dx。 ,x1,e,x,0,解:令，则 x,2,t310171,t2fxdxftdttdtedt ，,，,21,1110e3,22,，fx15(设有一个原函数为，求，。 1，sinxxf2xdx,0,2，fx,，1，sinx,sin2x解:令，且 2x,t,t112,xf，2xdxftdt，tftdt，, ,000224,11,，tdfttftftdt, ，,0,00，44,1,2， ， ,tsin2t,1，sint,00,0,，43，fx,ax，b,lnx,1,3fx,0fxdx16(设，在上，求出常数a，使最b,1小。 17 33，解:当fxdx最小，即ax，b,ln
27、xdx最小，由fx,ax，b,lnx,0知，,11在的上方，其间所夹面积最小，则是的切线，y,ax，by,lnxy,ax，by,lnx111,，x,lnx，而，设切点为，则切线y,x,x，lnx，故a,，y,0000xxx00b,lnx,1。 0333a,2，I,ax，b,lnxdx,x，bx,lnxdx于是 ,112,13， ,4a,21，lna,lnxdx ,121,令得 a,I,4,0a2ax,2从而， b,ln2,1032,，fxdx又，此时最小。 I,0a,21a12,x,，fxfxdx17(已知，求。 ，fx,e,02,x,解: ，fx,2xe11112, f，xfxdx,fxdf
28、x,fx，,00201221,x,2,2xe,2e ,20212，fx,x,xfxdx，2fxdxfx18(设，求。 ,00122，fx,x,Bx，2A，fxdx,Afxdx,B解:设，则 ,0011112 ? ，A,fxdx,x,Bx，2Adx,B，2A,00322282? ，B,fxdx,x,Bx，2Adx,2B，4A,00341B,解得:，于是 A,33422， fx,x,x，33,2,，fcosxcosx,fcosxsinxdx19(。 ,018 ,，解:原式,fcosxcosxdx，sinxfcosxdcosx ,00, ， ,fcosxcosxdx，sinxfcosx,fcosxc
29、osxdx,000,0x222,，Fx，xtftdt20(设时，,的导数与是等价无穷小，试求xx,0,0,，f0。 xx22,，x,tftdt2xftdt,00解: lim,lim32,0,0xxxx3x,ftdt2，,xf，2,0，,0,x limlim,x,0x,0xx,， ,2f0,1 1, 故 f0,，2(C) ，fxgx1(设是任意的二次多项式，是某个二次多项式，已知b1，11,，gxdx，求。 ，,，fxdxf04ff1,a062,，x,b,at，a解:设，则 b1，I,gxdx,gb,at，ab,adt ,a01，,b,agb,at，adt ,0，gb,at，a,ft 令 1b，
30、a,f,g，f0,gaf1,gb 于是， ,22,，b,ab，a, 由已知得 I,g，a，4g，gb，,62,，fx,a,ba,b,2(设函数在闭区间上具有连续的二阶导数，则在内存在，19 b1a，b,3,，fxdx,b,af，b,af,使得。 ,a224,证:由泰勒公式 ,f,，2, fx,fx，fxx,x，x,x，00002!，x,x,a,bx其中，位于与之间。 ,x00两边积分得: bbbb,f,，2, ,，,，, ，fxdxfxdxfxxxdxxxdx0000,aaaa2!,fx，f，,22330 ,b,afx，b,x,a,x，b,x,a,x，,，,，0000026a，b 令，则 x,
31、0222，b，abab1abab,，, fxdxbaffba ，,a22222,，33，,，fabab，,，, ba ,622,，1a，b,3,，,b,af，b,af,，,a,b ，。 ,224,，,，fxa,bfx,0fx,03(在上二次可微，且，。试证bfbfa，bafafxdxba。 ，,a2,，x,a,bfx,0fx,0fx证明:当时，由，知是严格增及严格凹的，fb,fa，fx,fa从而及 ，fx,fa，x,ab,abb，fxdx,fadx,b,afa 故,aabb,fbfa，fxdx,fa，x,adx ,aa,ba，fb,fa1，2,b,afa，b,a ，b,a2fb，fa，,b,a
32、 ， 2,，,，,，fxa,bfxa,bfa,fb,04(设函数在上连续，在上存在且可积，20 b1,试证 ()。 ，fx,fxdxa,x,b,a2,证明:因为在,上，可积，故有 a,bfxbxb,， fxdx,ftdt，ftdt ,aaxxb,， 而fx,ftdt，,fx,ftdt ,axxb1，, 于是 ,，fxftdtftdt,ax，2xbb11，, ，fxftdtftdtftdt,，,axa，2211，fx在,0,1上连续，fxdx,0，xfxdx,1，求证存在一点，5(设x,00，使。 ，fx,40,x,1x,0,1证:假设， ，fx,411，fxdx,0xfxdx,1 由已知，得
33、,0011111,1xf，xdxfxdx，xfxdx，, ,00022,1111，,x,fxdx,4x,dx ,002211，11,2 ,4,xdx，x,dx,1,1,022,2，1111，x,fxdx,4x,dx 故 ,002211，x,fx,4dx,0 从而 ,02?， fx,4,01,4，fx,0,1fx,4fx,4fxdx,4因为在连续，则或。从而或，,01，fxdx,0这与矛盾。故，。 fx,4,0xFx，22,，Fx,tf，x,tdtfxf0,0f0,16(设可微，求。 lim,40x,0x21 2x1222,，Fx,xf，x解:令，则，显然 ，x,t,uFx,fudu,0222,
34、011FxFxfxfx,f，, 于是。 limlimlimlim0，,f,4322x,x,x,x,000044，4440xxxx,，在,上连续可微，若，则7(设fxa,bfa,fb,0b4,fxdxmaxfx。 ，,，2,aa,x,b，ba,a，ba，b，a,b，,，证:因fx在a,b上连续可微，则fx在和上均满足拉,22，,，M,maxfx格朗日定理条件，设，则有 a,x,b，abbb2 ，fxdx,fxdx，fxdx，ab,aa2，abb2, ，,fa，f,x,adx，fb，f,x,bdx，ab12,a2，abb2, ，,f,x,adx，f,x,bdx，ab12,a2，abbM22 Mxa
35、dxMxbdxba，,，,，ab,a42b4fxdx,M，故。 2,a，b,abfxkfx，,，,fxA,B8(设在上连续，求证 limdxA,a,b,B,a,0kk，,fb,fa。 bbbfx，k,fx11，证: ，dx,fx，kdx,fxdx,aaakkkbb，k，fx，kdx,fudu 令，则 x，k,u,aa，kbb，kbfx，k,fk11， 于是 ，dx,fxdx,fxdx,aa，kakkkb，ka，k11 ， ,fxdx,fxdx,bakkbb，ka，kfx，k,fx11， 故， ，limdx,limfxdx,limfxdx,aba000k,k,k,kkk22 ， ,fb,fax(
36、设，为奇函数，在，内连续且单调增加，9fx,，,，Fx,x,3tftdt,0证明:(1)，为奇函数;(2)，在,，上单调减少。 FxFx0,，,xxt,u证:(1) ，F,x,x,3tftdt,x，3uf,udu,00xx，为奇函数fx， ,x，3ufudu,x,3ufudu,Fx ,00， ?Fx为奇函数。 ,xx，,，Fxxftdt3tftdt, (2) ,00，x，,ftdt，xfx,3xfx ,0x，,ftdt,2xfx ,0x,，,ft,fxdt,xfx ,0，fxfx,0 由于是奇函数且单调增加，当时，x,0x,，ft,fxdt,0？0,t,xFx,0x,0,，,Fx,0,，, ，
37、故，即在上,0单调减少。 1，fx，fx,fx，xfxtdt10(设可微且积分的结果与无关，试求。 x,01，,fx，xfxtdt,C解:记，则 ,01x，,fx，xfxtdt,fx，fudu,C ,00，fx 由可微，于是 ,，fx，fx,0 ,x，fx,ke 解之(为任意常数) k,，fx,0,f0,2f,111(若在连续，证明: ,，,fx，fxsinxdx,3。 ,0,，fxsinxdxsinxdfx,解:因 ,0023 ,， ,sinxfx,fxcosxdx ,00,， ,fxcosxdx,0,， ,cosxdfx,fxcosx,fxsinxdx ,000,， ,f,，f0,fxsi
38、nxdx ,0,， ,1，2,fxsinxdx,3,fxsinxdx ,00, 所以。 ,，fx，fxsinxdx,3,0x(求曲线在点(0,0)处的切线方程。 12，y,t,1t,2dt,0,，解:y,x,1x,2，则y0,2，故切线方程为:y,0,2x,0， 即。 y,2x,，a，fx13(设为连续函数，对任意实数有，求证sinxfxdx,0a,a,，f2,x,fx。 证:两边对求导 a，sin,，af,，a,1sin,af,a,0 ，f,，a,f,a 即 ，f2,x,fx 令，即得。 a,x2x,ydy2，2x,tgx,y,sectdt14(设方程，求。 2,0dx解:方程两边对求导，得
39、 x22,，2,secx,y1,y,secx,y1,y 22,，y,1,cosx,y,sinx,y 从而 ,，y,2sinx,ycosx,y1,y 3，,2sinx,ycosx,y ，,fxa,b15(设在上连续，求证: 24 x1 () ,，ft，h,ftdt,fx,falima,x,b,，a,0hh证:设，为，的原函数，则 Fxfx1 左边 ,，,Fx，h,Fa，h,Fx，Falim，h,0hFxhFxFahFa，,，,，,lim, ，,h,0hh， ,fx,fa,右边。 2x，1，x，ftdt,x，16(当时，fx连续，且满足，求f2。 x,0,0解:等式两边对求导，得 x22，f，x1，x2x，3x,1 2，x1，x,2 令得 x,1，f2,5,1 将代入得: x,11 故。 f2,，5，fx,0,117(设在连续且递减，证明 1,，,0,1,fxdx,fxdx，其中。 ,00,11,证: ，,fxdx,fxdxfxdx,，,00,1,，,fxdx,fxdx 则 ,001,，,fxdx，,1fxdx ,0,，,1,f,，,1f,1,0, ， 1212，,1f,f, 12，fxf,f, 由于递减， 121,，,fxdx,fxdx,0 故 ,001,，,fxdx,fxdx即。 ,00x,，fx，f0,0fa,1Fx,ftf2a,tdt18(设连续，试证:,025