最新高等数学+线性代数+习题答案第三章优秀名师资料.doc

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1、第三章习题3-11 设s=gt，求解： 2 设f(x)= ，求(x0) (x00)解：3试求过点（3，8）且与曲线相切的直线方程。 解：设切点为，则切线的斜率为，切线方程为。由已知直线过点(3,8),得 (1) 又点在曲线上，故 (2) 由(1),(2)式可解得或，故所求直线方程为或。也即或。4 下列各题中均假定f(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：(1) =A;(2) f(x0)=0, A；(3) =A解：(1) (2) (3) 5 求下列函数的导数：(1) y=；(2) y=；(3) y= 解：(1) (2) (3) 6 讨论函数y=在x=0点处的连续性和可导性 解：

2、函数在点处连续但不可导。7 如果f(x)为偶函数，且f(0)存在，证明f(0)=0 证：为偶函数 ，即 故8 求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导：(1) y； (2) y=；(3) y=解：(1) 函数在处不可导。 (2) 函数在处不可导。 (3) 函数在处不可导。9 已知f(x)求f(x) 解：当时， 当时， 综上所述 10 设函数f(x)= 为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导，a，b应取什么值? 解：为使在处连续，必须， ， (1) 为了使在处可导，必须 ，代入（1）式得 当，时在处连续且可导。11 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性：(1) y=sinx，

3、x=0;(2) y=点；(3) y=点解：(1) 在处连续。 又 所以不存在，即在处不可导。 (2) 在处连续。 在处可导。 (3) 而 故在处连续。 故在处不可导。12 证明： 双曲线xya上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2 证：设是双曲线上任一点，则，该双曲线在 处切线的斜率 该双曲线在处切线的方程为： 令得该切线在轴上的截距为， 令得该切线在轴上的截距为，于是，它与两坐标轴构成的三角形的面积。13 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为h(t)10tgt(m)，求：(1) 物体从t=1(s)到t=12(s)的平均速度；(2) 速度函数v(t)；(3) 物体何

4、时到达最高点解：(1) (2) (3)当时，物体到达最高点。 由即得 即上抛时物体到达最高点。14 设物体绕定轴旋转，在时间间隔0,t内，转过角度，从而转角是t的函数；(t)如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t0的角速度? 解：设从时刻到间转过的角度为，则 物体在时刻的角速度为。15 设（T）表示重1单位的金属从0加热到T所吸收的热量，当金属从T升温到(T+T）时，所需的热量为（TT）（T），与T之比称为T到T+T的平均比热试解答如下问题：(1) 如何定义在T时，金属的比热；(2) 当（T）=aTbT(其中a，b均为常数)时，求比热解：(1)

5、应以定义金属的比热； (2)当时，比热为。16已知f(x)在x=x点可导，证明： =()f(x0) 证：当，时， 习题3-21 求下列函数的导数：(1) s=3lnt+sin； (2) y=lnx;(3) y=(1-x)sinx(1-sinx);(4) y=； (5) y=tanx+e；(6) y=-3secx; (7) y=lnx-2lgx+3log2x;(8) y=解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2 求下列函数在给定点处的导数：(1) y=xsinx+cosx，求；(2) f(x)= +,求f(0)和f(2);(3) f(x)= 求f(1) 解：(1)

6、(2) (3) 3 设p(x)=f1(x)f2(x)fn(x)0,且所有的函数都可导，证明 证： .4 求下列函数的导数：(1) y=; (2) y=arctanx2；(3) y= (4) y=(1+x2)ln(x+);(5) y=x2sin; (6) y=cos2ax3(a为常数)；(7) y=arccos; (8) y=(arcsin)2;(9) y=; (10) y=sinnxcosnx;(11) y=； (12) y=arcsin；(13) y=lncosarctan(shx); (14) y=arcsin（a0为常数）解：(1); (2); (3) ; (4) ; (5) (6) ;

7、 (7) (8); (9); (10) ; (11) ; (12) ; (13) (14) ;5 y=arccos，求 解： 6 试求曲线y=在点(0，1)及点(-1，0)处的切线方程和法线方程 解： 故曲线在(0,1)点的切线斜率 曲线在(0,1)点的切线方程为 即 法线方程为 即 又 此时，曲线具有垂直于x轴的切线 x=-1,其法线为 y=0.7 设f(x)可导，求下列函数y的导数：(1) y=f(x2)；(2) y=f(sin2x)+f(cos2x)解：(1) (2) 8 求下列隐函数的导数：(1) x3+y3-3axy=0; (2) x=yln(xy);(3) xey+yex=10；

8、(4) ln(x2+y2)=2arctan;(5) xy=解：(1)方程两边对x求导，得： 解得 (2) 方程两边对x求导，得： 即 即 (3) 方程两边对x求导，得： 解得 (4) 方程两边对x求导，得： 即即 即 (5) 方程两边对x求导，得： 解得 9 用对数求导法求下列函数的导数：(1) y=； (2) y=;(3) y=解：(1)两边取得对数，得： 上式两边对x求导，得： 所以 (2) 两边取得对数，得： 上式两边对x求导，得： 即 所以 (3) 两边取得对数，得： 上式两边对x求导，得： 10 求下列参数方程所确定的函数的导数(1) （a,b为常数）；(2) 解：(1) (2)11

9、 已知求当t=时的值 解： 习题 3-31 设f(x)=ln(1+x),求f(n)(x) 解：， ， 设 则 由数学归纳法知 .2 设y=,a0，求y(n)，并由此求f(x)= 的n阶导数f(n)(x) 解： 设 则 由数学归纳法知 . 由上述结论有 而 3 求下列函数在指定点的高阶导数：(1) f(x)，求f(0)；(2) f(x)，求f(0)，f(3)(0)；(3) f(x)=(x+10)6,求f(5)(0),f(6)(0)解：(1) (2), , (3) 4 求下列方程所确定的隐函数y=y(x)的二阶导数：(1) b2x2+a2y2=a2b2; (2) y=1+xey;(3) y=tan

10、(x+y); (4) y2+2lny=x4解：(1)方程两边对x求导，得： (*) 由此得 ， (*)式两边再对x求导，得： ，将，并注意到 得 (2) 方程两边对x求导，得： (*) 解得 (*)式两边再对x求导，得： 得：； (3) 方程两边对x求导，得： ,可解得： ； (4) 方程两边对x求导，得： ,可解得 5 求下列由参数方程所确定函数的二阶导数：(1) a0为常数；(2) 其中f(t)存在且非 解：(1) 得到参数方程 故； (2) 得到参数方程 故6 已知f(x)存在，求：(1) y=f(x2)；(2) y=lnf(x),f(x)解：(1) (2) 7 设y=y(x)的反函数为

11、x=x(y),且y(x)0,y(x)存在，试由反函数导数公式导出 证： 8 试用数学归纳法证明莱布尼茨高阶导数公式： 若u=u(x)和vv(x)在点x处有n阶导数，则(uv)(n)，其中u(0)=u,v(0)=v, 证：当时，由知公式成立， 设当时公式成立，即 两边求导，得 即时公式也成立，由数学归纳法知，对于一切自然数公式都成立， 即习题 3-41 在括号内填入适当的函数，使等式成立：(1) d( )costdt; (2) d( )sinxdx;(3) d( )dx; (4) d( )dx；(5) d( )dx; (6) d( )secxdx;(7) d( )lnxdx; (8) d( )d

12、x解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2 根据下面所给的值，求函数y=x的y,dy及y-dy：(1) 当x=1,x=01时； (2) 当x=1,x=001时 解： (1)当时， (2)当时， 3 求下列函数的微分：(1) y=xex; (2) y=;(3) y=cos； (4) y=；(5) y=lntan； (6) y=8xx-6；(7) y=解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 4 求由下列方程确定的隐函数y=y(x)的微分dy：(1) y=1+xey； (2) ；(3) y=x+siny； (4) y2x=arccosy解：(1)方程

13、两边微分，得： ，即 (2) 方程两边微分，得： (3) 方程两边微分，得： 即： (4) 方程两边微分，得： 即 5 利用微分求下列各数的近似值：(1) ；(2) ln0.99；(3) arctan1.02 解(1)设，则 令， 则 (2)设，则 令， 则 (3)设，则 令， 则 6 试利用结论“若f(x)可导，则当x很小时，有f(x)f(0)+f(0)x”，证明下列近似公式(1) 当x很小时，sinxx；(2) 当x很小时，ex1+x；(3) 设a0且b与an相比是很小的量，则a+证：(1)设，则 当很小时，由有 即 (2)设,则 当很小时，由有 即 (3) 与相比是很小的量，很小 设，则

14、 当很小时，由有 即 上式中取，且很小，于是有： 所以 即 习题3-51 设总收入和总成本分别由以下两式给出：R(q)=5q-0003q2，C(q)=300+11q其中q为产量，0q1000，求(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量盈亏平衡 解：(1)边际成本函数 (2)利润函数 当时，最大 即获得最大利润时的产量为650. (3)当时，盈亏平衡. 由得 即 解得或（此时，舍去） 所以，当产量为时，盈亏平衡.2 设生产q件产品的总成本C(q)由下式给出C(q)=001q3-06q2+13q(1) 设每件产品的价格为7元，企业的最大利润是多少?(2) 当固定生产水平为34

15、件时，若每件价格每提高元时少卖出2件，问是否应该提高价格?如果是，价格应该提高多少? 解：(1)利润函数 令 得 当时，利润最大，将代入利润函数 可求最大利润 . (2)设价格提交元，则利润函数 令 得且当时，利用 若不提价，利润为 故提价利润大些，且应提价5元.3 求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率：(1) y=ax+b; (2) y=aebx； (3) y=xa其中a,bR,a0 解：(1) (2) (3) .4 设某种商品的需求弹性为08，则当价格分别提高10%，20%时，需求量将如何变化? 解：设需求量为，价格为，由已知得，. 而.即 当价格提高时，即时， 当价格提高时，即时， 即当价格分别提高，时，需求量分别提高和.5 国民收入的年增长率为71%，若人口的增长率为12%，则人均收入年增长率为多少? 解：由已知国民收入的增长率，人口的增长率，而人均收入为，由例知 即人均收入年增长率为.