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1、第9讲函数模型及其应用板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数型f(x)axnb(a，b为常数，a0)考点2指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 必会结论“f(x)x(a0)”型函数模型形如f(x)x(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(，和，)上单调递增，在，0和(0，上单调递减(2)当x0时，
2、x时取最小值2，当x0时，x时取最大值2.考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大()(2)幂函数比一次函数增长速度快()(3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中()(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律()(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件商品仍能获利()(6)当x4时，恒有2xx2log2x.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)22018长沙模拟小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了
3、赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是()答案C解析出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.3课本改编已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为()A800米 B900米 C1000米 D1200米答案A解析设这个广场的长为x米，则宽为米，所以其周长为l2800，当且仅当x，即x200时取等号4课本改编某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A118元 B105元 C106元 D108元答案D解析设进货价为a元，由题意知132(110%)a10%a，解得
4、a108.52018抚顺模拟某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年它们发展到的只数为_答案200解析alog33100，a100，y100log39200.6调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过_小时他才可以驾驶机动车(精确到小时)答案2解析设n小时后才可以驾车，由题意得0.8(150%)n2,0.5n，即n2，即至少经过2小时
5、后才可以驾驶机动车板块二典例探究考向突破考向利用函数图象刻画实际问题例12017全国卷某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳答案A解析对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可
6、知显然正确故选A.触类旁通用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可【变式训练1】2015北京高考汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析对于A选项，从图中可以看
7、出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确考向已知函数模型解决实际问题例22015四川高考某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是19
8、2小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是()A16小时 B20小时C24小时 D28小时答案C解析由题意，得(0,192)和(22,48)是函数yekxb图象上的两个点，则解得e11k.所以当储藏温度为33 时，保鲜时间ye33kb(e11k)3eb19224(小时)触类旁通利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题【变式训练2】2014北京高考加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工
9、时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，下图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A3.50分钟 B3.75分钟C4.00分钟 D4.25分钟答案B解析由已知得解得p0.2t21.5t22，当t3.75时p最大，即最佳加工时间为3.75分钟故选B.考向构建函数模型解决实际问题例32016四川高考某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.
10、30.11，lg 20.30)A2018年 B2019年 C2020年 D2021年答案B解析设第n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元根据题意得130(112%)n1200，则lg 130(n1)lg 1.12lg 22，2lg 1.3(n1)lg 1.12lg 22，0.11(n1)0.050.30，解得n，又nN*，n5，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年故选B.触类旁通构建数学模型一定要过好的三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达
11、数学关系(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型【变式训练3】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解(1)由已知条件得C(0)8，则k40，因此f(x)6x20C
12、(x)6x(0x10)(2)f(x)6x101021070(万元)，当且仅当6x10，即x5时等号成立所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元核心规律1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础2.实际问题中往往涉及一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值3.解函数应用题的四个步骤：审题；建模；解模；还原满分策略解答数学应用题的失误与防范(1)函数模型应用不当是常见的解题错误，所以应正确理解题意，选择适当的函数模型(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域(3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必
13、须验证这个数学解答对实际问题的合理性.板块三启智培优破译高考规范答题系列1构建分段函数模型解决实际问题2018山西模拟为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)(1)求函数yf(x)的解析式及其定义域；(2
14、)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解题视点(1)y(2)解(1)当x6时，y50x115，令50x1150，解得x2.3，x为整数，3x6.当x6时，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x1150，结合x为整数得6x20.故y(2)对于y50x115(3x6，xZ)，显然当x6时，ymax185，对于y3x268x11532(6185，当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多答题模板解函数应用题的一般程序第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建
15、立相应的数学模型；第三步：解模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性跟踪训练某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线当t(0,14时，曲线是二次函数图象的一部分，当t14,40时，曲线是函数yloga(t5)83(a0且a1)图象的一部分根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳(1)试求pf(t)的函数关系式；(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理
16、由解(1)当t(0,14时，设pf(t)c(t12)282(c0)，将(14,81)代入得c，t(0,14时，pf(t)(t12)282；当t(14,40时，将(14,81)代入yloga(t5)83，得a，所以pf(t)(2)t(0,14时，由(t12)28280，解得122t122，所以t122，14，t(14,40时，由log(t5)8380，解得5t32，所以t(14,32，所以t122，32，即老师在t122，32时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳板块四模拟演练提能增分 A级基础达标1现有一组数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准
17、备用下列函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()Avlog2t BvlogtCv Dv2t2答案C解析取t1.992(或t5.15)，代入A得vlog2211.5；代入B，得vlog211.5；代入C，得v1.5；代入D，得v22221.5.故选C.22018安阳一模某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元每提高一个档次，每件利润增加2元用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是()A7 B8 C9 D10答案C解析由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y82(k1)603(k1)6
18、k2108k378(1k10，kN)，配方可得y6(k9)2864，所以当k9时，获得利润最大选C.3用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据lg 20.3010)()A3 B4 C5 D6答案B解析设至少要洗x次，则x，x3.322，因此需4次故选B.4.某地一天内的气温Q(t)(单位：)与时刻t(单位：时)之间的关系如图所示，令C(t)表示时间段0，t内的温差(即时间段0，t内最高温度与最低温度的差)，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象是()答案D解析当0t4时，最高温度不变，最低温度减小，所以温差变大，排除C；当4t8时
19、，前面一段温差不变，后面一段最高温度增大，所以温差变大，排除A，B，选D.52017武汉模拟国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A3000元 B3800元 C3818元 D5600元答案B解析由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y显然由0.14(x800)420，可得x3800.6若某商场将彩电价格由原价2250(元/台)提高40%，然后在广告上写出“大酬宾八折优惠”，则商场每台彩电比原价多卖_元答案270解析由题意可得每台彩电比原价多卖
20、2250(140%)80%2250270(元)7在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_ m.答案20解析设矩形花园的宽为y m，则，即y40x，矩形花园的面积Sx(40x)x240x(x20)2400，当x20 m时，面积最大82018金版创新“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系Ra(a为常数)，广告效应为DaA.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为_(用常数a表示)答案a2解析令t(t0)，则At2，Datt22a2.当ta，即Aa2时，D取得最大
21、值9一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解(1)设每年降低的百分比为x(0x1)则a(1x)10a，即(1x)10，解得x1.(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1x)ma，即，解得m5，故到今年为止，已砍伐了5年(3)设从今年开始，最多还能砍伐n年，则n年后剩余面积为a(1x)n.令a(1x)na，即(1x)n，解得n15.故今后最多还
22、能砍伐15年102018大连模拟候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：vablog3(其中a，b是实数)据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有ablog30，即ab0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故ablog31，整理得a2b1.解方程组得
23、(2)由(1)知，vablog31log3.要使飞行速度不低于2 m/s，即v2，所以1log32，即log33，解得27，即Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位B级知能提升12018云南联考某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系可用图象表示的是()答案A解析由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A；后三年产量保持不变，总产量直线上升故选A.22018四川德阳诊断将甲桶中的a L水缓慢注入空桶
24、乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线yaent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为_答案5解析5 min后甲桶和乙桶的水量相等，函数yf(t)aent满足f(5)ae5na，可得nln ，所以f(t)a，设k min后甲桶中的水只有 L，则f(k)a，所以，解得k10，所以mk55(min)3.2018湖北八校联考某人根据经验绘制了2018年春节前后，从2月1日至2月18日自己种植的西红柿的日销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人2月6日大约卖出了西红柿_千克答案解析前10天满足一次函数关系，设为ykxb
25、，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k，b，所以yx，则当x6时，y.4.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE4米，CD6米为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上(1)设MPx米，PNy米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值解(1)作PQAF于Q，所以PQ(8y) 米，EQ(x4) 米又EPQEDF，所以，即.所以yx10，定义域为x|4x8(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，则S(x)xyx(x10)250，S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x
26、10，所以当x4,8时，S(x)单调递增所以当x8时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米52018佛山模拟某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C3x，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式S已知每日的利润LSC，且当x2时，L3.(1)求k的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值解(1)由题意，得L因为x2时，L3，所以3222.解得k18.(2)当0x6时，L2x2，所以L2(x8)182(8x)182186.当且仅当2(8x)，即x5时取得等号当x6时，L11x5.所以当x5时，L取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元16