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1、第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系板块一知识梳理自主学习必备知识考点2圆与圆的位置关系(O1、O2半径r1、r2，d|O1O2|)必会结论1关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形2圆心在过切点且垂直于切线的直线上3两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.4两圆相切时，切点与两圆心三点共线5两圆不同的位置关系与对应公切线的条数(1)两圆外离时，有4条公切线；(2)两圆外切时，有3
2、条公切线；(3)两圆相交时，有2条公切线；(4)两圆内切时，有1条公切线；(5)两圆内含时，没有公切线 考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(5)“m0”是“直线xym0与圆(x1)2(y1)22相切”的充分不必要条件()答案(1)(2)(3)(4)(5)2课本改编直线l：xy10与圆C：x2y24x
3、2y10的位置关系是()A相离 B相切C相交且过圆心 D相交但不过圆心答案D解析圆的方程化为(x2)2(y1)24，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为2，所以直线l与圆相交又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心故选D.3在平面直角坐标系xOy中，直线3x4y50与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长为()A3 B2 C. D1答案B解析圆心(0,0)到直线3x4y50的距离d1，因为222123，所以|AB|2.4课本改编圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20答案D解析圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2,0)，半径
4、为2，点P在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线方程为yk(x1)，即kxyk0，2，解得k.切线方程为y(x1)，即xy20.52018重庆模拟圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交 C外切 D内切答案B解析圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r11，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r22，故两圆的圆心距d，而r2r11，r1r23，则有r2r1dr1r2，故两圆相交62018温州十校联考对任意的实数k，直线ykx1与圆C：x2y22x20的位置关系是()A相离 B相切C相交 D以上三个选项均有可能答案C解析直线ykx1恒经过点A(0，1)，圆x2y
5、22x20的圆心为C(1,0)，半径为，而|AC|0，所以直线l与圆C相交故选A.解法二：因为圆心(0,1)到直线l的距离d1，故直线l与圆相交选A.解法三：直线l：mxy1m0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆C：x2(y1)25的内部，所以直线l与圆C相交故选A.触类旁通判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法：(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相离【变式训练1】2018深圳模拟已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定答案B解析因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21
6、，而圆心O到直线axby1的距离d4，所以点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离dr2，解得k.所以切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.因为|MC|，所以过点M的圆C的切线长为1.触类旁通圆的切线有关的结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的切
7、线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0xy0yr2.(4)过圆x2y2DxEyF0(D2E24F0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则切线长为|PT|.(5)过圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(6)若圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d.【变式训练2】2015广东高考平行于直线2xy10且与圆
8、x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0答案A解析设与直线2xy10平行的直线方程为2xym0(m1)，因为直线2xym0与圆x2y25相切，即点(0,0)到直线2xym0的距离为，所以，|m|5.故所求直线的方程为2xy50或2xy50.命题角度2圆的弦长问题例3过点(4,0)作直线l与圆x2y22x4y200交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为()A5x12y200B5x12y200或x40C5x12y200D5x12y200或x40答案B解析圆的标准方程为(x1)2(y2)225，由|AB|8知，圆
9、心(1,2)到直线l的距离d3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x4时，符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x4)，即kxy4k0.则有3，k.此时直线l的方程为5x12y200.命题角度3圆中的最值问题斜率型最值例4已知实数x，y满足方程x2y24x10，则的最大值为_，最小值为_答案解析原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图)，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.截距型最值例52018郑州模拟已知实数x，y满足x2y24(y0)
10、，则mxy的取值范围是()A(2，4) B2，4C4,4 D4,2答案B解析由于y0，所以x2y24(y0)为上半圆.xym0是直线(如图)，且斜率为，在y轴上截距为m，又当直线过点(2,0)时，m2，所以即解得m2，4，选B.触类旁通直线与圆综合问题的解题策略(1)用几何法求圆的弦长：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2r2d2.(2)求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解(3)对于圆的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性
11、质求出最值【变式训练3】2015江苏高考在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_答案(x1)2y22解析解法一：设A(1,0)，由mxy2m10，得m(x2)(y1)0，则直线过定点P(2，1)，即该方程表示所有过定点P的直线系方程当直线与AP垂直时，所求圆的半径最大此时，半径为|AP|.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.解法二：设圆的半径为r，根据直线与圆相切的关系得r ，当m0时，10时，m212m(当且仅当m1时取等号)所以r，即rmax，故半径最大的圆的方程为(x1)2y22.考向两圆的位置关系 例6(1
12、)2016山东高考已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交 C外切 D相离答案B解析由题意知圆M的圆心为(0，a)，半径Ra，因为圆M截直线xy0所得线段的长度为2，所以圆心M到直线xy0的距离d(a0)，解得a2，又知圆N的圆心为(1,1)，半径r1，所以|MN|，则Rr0)的公共弦的长为2，则a_.答案1解析两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04y，又a0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知 1a1.触类旁通如何处理两圆的位置关系判断
13、两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到【变式训练4】已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相外切，则实数m()A5 B5或2 C6 D8答案B解析对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24，则圆C1的圆心C1(m，2)，半径r13，圆C2的圆心C2(1，m)，半径r22.如果圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|r1r2，即5，则m23m100，解得m5或m2，
14、所以当m5或m2时，圆C1与圆C2相外切核心规律切线、弦长的求解方法(1)求圆的切线方程可用待定系数法，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关系式求出切线的斜率即可(2)几何方法求弦长，利用弦心距，即圆心到直线的距离、弦长的一半及半径构成直角三角形计算满分策略1.过圆外一定点作圆的切线，有两条，若在某种条件下只求出一个结果，则要想到还有斜率不存在的情况2.在两个圆相交的情况下，两个圆的方程相减后得到的直线方程才是公共弦所在的直线方程.板块三启智培优破译高考数学思想系列 8数形结合思想在圆中的妙用 2018江西模拟过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时
15、，直线l的斜率等于()A. B C D解题视点如果等式、代数式的结构中蕴含着明显的几何特征，就要考虑数形结合法求解，解答本题时首先要看到曲线y表示的是以原点为圆心，1为半径的半个圆，作出图形，结合三角形面积公式，确定面积最大时直线l的斜率解析由y得x2y21(y0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示故SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB.所以当sinAOB1，即OAOB时，SAOB取得最大值，此时点O到直线l的距离d|OA|sin45.设此时直线l的斜率为k，则方程为yk(x)，即kxyk0，则有，解得k，由图可知直线l的倾斜角为钝角，故取k.答案B答题启示“数”与“
16、形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中，可以先根据题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论.跟踪训练2018湖北模拟若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是()A12，12 B1，3C1,12 D12，3答案D解析y3，1y3，(x2)2(y3)24(1y3)，即曲线y3表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆直线yxb与曲线y3有公共点，表示两曲线至少有一个公共点符合条件的直线应是夹在过点(0,3)和与下半圆
17、相切的两直线之间当直线yxb过点(0,3)时，b3；当直线yxb与圆y3相切时，由点到直线的距离公式，得2，|b1|2.结合图形知b12.12b3，故选D.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标12018福建漳州八校联考已知点P(a，b)(ab0)是圆x2y2r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为axbyr2，那么()Aml，且l与圆相交 Bml，且l与圆相切Cml，且l与圆相离 Dml，且l与圆相离答案C解析点P(a，b)(ab0)在圆内，a2b2r，ml，l与圆相离故选C.2已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a等于()A B
18、1 C2 D.答案C解析圆心为C(1,0)，由于P(2,2)在圆(x1)2y25上，P为切点，CP与过点P的切线垂直kCP2.又过点P的切线与直线axy10垂直，akCP2，选C.32018湖北武汉调研圆x2y24与圆x2y24x4y120的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为()A1 B2 C4 D8答案B解析圆x2y24与圆x2y24x4y120的公共弦所在直线的方程为xy20，它与两坐标轴分别交于(2,0)，(0,2)，所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为222.故选B.4已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值是()A2 B4 C6 D8答案B解析由
19、圆的方程x2y22x2ya0可得，圆心为(1,1)，半径r.圆心到直线xy20的距离为d.由r2d22，得2a24，所以a4.52018安徽模拟若过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B. C. D.答案D解析设直线l的方程为y1k(x)，即kxyk10.由d1, 得0k，所以直线l的倾斜角的取值范围是.6圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y40的公切线有()A1条 B2条 C3条 D4条答案D解析圆C1：(x1)2(y1)24，圆心C1(1，1)，半径r12；圆C2：(x2)2(y1)21，圆心C2(2,1)，半径r21.两圆心
20、的距离d，r1r23，dr1r2，两圆外离，两圆有4条公切线7由直线yx1上的一点向圆x2y26x80引切线，则切线长的最小值为()A. B2 C3 D.答案A解析如图，在RtPAB中，要使切线PB最小，只需圆心与直线yx1上的点的距离取得相应最小值即可，易知其最小值为圆心到直线的距离，即|AP|min2，故|BP|min .82018太原质检过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于B(2,1)，则圆C的方程为_答案(x3)2y22解析设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2，由题意知：点(a，b)既在直线y1(x2)上，又在AB的垂直平分线上，由得圆心坐标为(3,0)，r|AC|，所以圆C的
21、方程为(x3)2y22.92016全国卷设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_答案4解析圆C的方程可化为x2(ya)2a22，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r，所以圆心到直线xy2a0的距离为，所以2()2()2，解得a22，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4.102018沈阳质检过点M(1,2)的直线l与圆C：(x3)2(y4)225交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程是_答案xy30解析依题意得知，当ACB最小时，圆心C到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为1，因此所求的直线l的方程是
22、y2(x1)，即xy30.B级知能提升1已知圆C：(x)2(y1)21和两点A(t,0)，B(t,0)，(t0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则t的取值范围是()A(0,2 B1,2 C2,3 D1,3答案D解析由题意可知，若使圆C上存在点P，使得APB90，即圆C与以原点O为圆心，半径为t的圆有交点，即|OC|1t|OC|1，即1t3，t的取值范围为1,3，故选D.22017河南洛阳二模已知圆C的方程为x2y21，直线l的方程为xy2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45的直线交l于点A，则|PA|的最小值为()A. B1 C.1 D2答案D解析解法一：由题意可知，直线PA与坐标轴平行或
23、重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，设P(cos，sin)，则A(cos，2cos)，|PA|2cossin|，|PA|的最小值为2.故选D.解法二：由题意可知圆心(0,0)到直线xy2的距离d，圆C上一点到直线xy2的距离的最小值为1.由题意可得|PA|min(1)2.故选D.32017江苏高考在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是_答案5，1解析解法一：因为点P在圆O：x2y250上，所以设P点坐标为(x，)(5x5)因为A(12,0)，B(0,6)，所以(12x，)或(12x，)，(x，6)或(x,6)因为2
24、0，先取P(x, )进行计算，所以(12x)(x)()(6)20，即2x5 .当2x50，即x时，上式恒成立；当2x50，即x时，(2x5)250x2，解得5x1，故x1.同理可得P(x，)时，x5.又5x5，所以5x1.故点P的横坐标的取值范围为5，1解法二：设P(x，y)，则(12x，y)，(x，6y)20，(12x)(x)(y)(6y)20，即2xy50.如图，作圆O：x2y250，直线2xy50与O交于E，F两点，P在圆O上且满足2xy50，点P在上由得F点的横坐标为1.又D点的横坐标为5，P点的横坐标的取值范围为5，142017全国卷已知抛物线C：y22x，过点(2,0)的直线l交C
25、于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程解(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由可得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1，所以OAOB.故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24.故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r.由于圆M过点P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可得y1y24，x1x2
26、4.所以2m2m10，解得m1或m.当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为22.52015全国卷已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1.因为l与C交于两点，所以1，解得k，所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以|MN|2.15