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1、第四章 圆与方程 章末复习课 1.圆的方程 (1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，其中圆心是 C(a，b)，半径长是 r.特别地，圆心在 原点的圆的标准方程为 x2y2r2. 圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0). (2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r 或 D，E，F)， 而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆. (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆 心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可 用圆的一般方程. 2.点与圆的位置关系 (1
2、)点在圆上 如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上. 如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上. (2)点不在圆上 若点的坐标满足 F(x，y)0，则该点在圆外；若满足 F(x，y)0) 的交点的圆系方程是 x2y2DxEyF(AxByC)0，是待定的系数. 4.圆与圆的位置关系 两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代 数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距 d 与 半径长 r，R 的大小关系来判断). (1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用直线与圆相交的几何 性质和勾股定理
3、来求弦长. (2)过圆 C1：x2y2D1xE1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 的交点的直线方程为 (D1D2)x(E1E2)yF1F20. 5.空间直角坐标系 (1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一 对应. (2)空间中 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离 |P1P2| （x1x2）2（y1y2）2（z1z2）2. (3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称 点. 方法一 函数与方程思想 函数与方程思想是中学数学的基本思想，就是用函数和方程的观点去分析和研
4、究数学问题中的 数量关系，在求圆的方程、圆的切线方程及直线与圆、圆与圆的交点等问题时，由于圆的方程 2 中涉及三个量 a，b，r(或 D，E，F).故要确定圆的方程必须要有三个独立的条件.设出圆的方 程，由题设列方程组，解方程组即可得圆的方程，一般在求解时有几个参变量，就要列几个方 程. 3 2 1 【例 1】 求圆心在圆(x y22 上，且与 x 轴和直线 x 都相切的圆的方程. 2 ) 2 解 设圆心坐标为(a，b)，半径为 r， 3 2 1 1 因为圆(x y22 在直线 x 的右侧，且所求的圆与 x 轴和直线 x 都相切，所以 a 2 ) 2 2 1 . 2 1 所以 ra ，r|b|
5、. 2 3 2 又圆心(a，b)在圆(x y22 上， 2 ) 1 ra ， 1 2 a ， 3 2 2 所以( 2 ) b 22，联立 解得 a r|b|，b22.)b 1.) r1， 3 2 (a 2 ) 1 2 1 2 所以所求圆的方程是( (y1)21，或 (y1)21. x2 ) (x2 ) 【训练 1】 已知圆经过点 A(2，1)，圆心在直线 2xy0 上且与直线 xy10 相切，求 圆的方程. 解 法一 设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)， D E 其圆心为( ，2). 2 圆过点 A(2，1)，52DEF0， 又圆心在直线 2xy0 上， D E 2(2 )(
6、2 )0，即 2DE0. 将 yx1 代入圆方程得 2x2(DE2)x(1EF)0. (DE2)28(1EF)0. 将代入中，得(D2)28(12D5)0， 即 D220D360， D2 或 D18. D2， D18， 代入，得F E4 3，)或F E 6 36 7，. ) 3 故所求圆的方程为 x2y22x4y30 或 x2y218x36y670. 法二 设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0). 圆心在直线 y2x 上，b2a， 即圆心为(a，2a). 又圆与直线 xy10 相切，且过点(2，1)， |a2a1| r，(2a)2(12a)2r2， 2 即(3a1)22(2a)22(12
7、a)2， 解得 a1 或 a9. a1，b2，r 2 或 a9，b18，r13 2， 故所求圆的方程为：(x1)2(y2)22， 或(x9)2(y18)2338. 方法二 数形结合思想 数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间图形结合起来的思想.“数”和“形”是数学研 究的两类基本对象.坐标系的建立，使“形”和“数”互相联系，互相渗透，互相转化.构造法 就是根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学关系或图形，将原来问题转化 成易于解决的问题.“构造法”方法新颖，富有创造性，正像我国著名数学家华罗庚教授所说 的“数缺形时，少直观；形缺数时，难入微.”数形结合思想是解答高考题的一种常用
8、方法与 技巧，特别是在解答选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中要加强这 方面的训练，以提高解题能力和速度. 【例 2】 已知圆 C：(x2)2y21，P(x，y)为圆 C 上任一点. y2 (1)求 的最大值与最小值； x1 (2)求 x2y 的最大值与最小值. y2 y2 解 (1)显然 可以看作是点 P(x，y)与点 Q(1，2)连线的斜率.令 k，如图所示，则其 x1 x1 最大、最小值分别是过点 Q(1，2)的圆 C 的两条切线的斜率. 对上式整理得 kxyk20， |2k2k| 3 3 1，k . 1k2 4 y2 3 3 3 3 故 的最大值是 ，最小值是 .
9、x1 4 4 4 (2)令 ux2y，则 u 可视为一组平行线，当直线和圆 C 有公共点时，u 的范围即可确定，且 最值在直线与圆相切时取得. |2u| 依题意，得 1，解得 u2 5， 5 故 x2y 的最大值是2 5，最小值是2 5. 【训练 2】 当曲线 y1 4x2与直线 yk(x2)4 有两个相异交点时，实数 k 的取值范围 是( ) 5 1 3 A.( B. 4 0，12) ( ， 3 5 3 5 C.( D. ，) ，4 ( 12 12 解析 曲线 y1 4x2是以(0，1)为圆心，2 为半径的半圆(如图)，直线 yk(x2)4 是 过定点(2，4)的直线. 设切线 PC 的斜率
10、为 k0，则切线 PC 的方程为 yk0(x2)4，圆心(0，1)到直线 PC 的距离等 |12k04| 5 3 于半径 2，即 2，k0 .直线 PA 的斜率为 k1 . 1k 12 4 5 3 所以，实数 k 的取值范围是 k . 12 4 答案 C 方法三 分类讨论思想 分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分 问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨 论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论. 【例 3】 已知直线 l 经过点 P(4，3)，且被圆(x1)2 (y2)225 截得的弦长为 8，求直线 l 的方程. 解 圆(x1)2(y2)225的圆心为(1，2)，半径 r5. 当直线 l 的斜率不存在时，则 l 的方程为 x4，由题意可知直线 x4 符合题意. 当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y3k(x4)， 即 kxy4k30. |k24k3|2 8 2 由题意可知( 1k2 )(2 ) 52， 4 解得 k ，即所求直线方程为 4x3y250. 3 5