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1、Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用一、Cauchy-Schwarz不等式的几种证明方法 1.第一种证明方法 定理1对任意的向量,有|(,)|.当且仅当,线性相关时,等号才成立. 证明当=0时,不等式成立.设0.令t是一个实变数,作向量=+t.不论t取何值,一定有 (,)=(+t,+t)0. 即 (,)+2(,)t+(,)t20(1) 取 t=. 代入(1)式,得 (,)-0, 即 (,)2(,)(,). 两边开方便得 |(,)|. 当,线性相关时,等号显然成立.反过来,如果等号成立,由以上证明过程可以看出,或者=0,或者 -=0, 也就是说,线性相关. 2.第二种证明方法 引理:设
2、V是欧氏空间,是V的单位向量,那么, |(,)|1. 证明,既是单位向量,则有(,)=1,(,)=1,而|,|20,即 |,|2=(-,-) =(,)+(,)-2(,) =2-2(,)0 所以,(,)1; 又|,|20,即 |,|2=(+,+) =(,)+(,)+2(,) =2-2(,)0 所以,(,)-1.总之,|,|1. 定理2设,是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,|(,)|,等号成立当且仅当,线性相关. 证明10若,中有一个是零向量,则结论显然成立; 20设,都不为零,今将,单位化,令=,=,则由引理.知|(,)| 1,而(,)=(|,|)=|(,)所以,|(,)|(,)1. 再设与的
3、夹角为,则的余弦为cos=(,)由此可知,|(,)| |(,)=1cos=11=,此即知与线性相关. 3.第三种证明方法 定理3设,是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,|(,)|,等号成立当且仅当,线性相关. 证明x1,x2R取,则(x1+x2 ,x1+ x2 )0,即 (,)x12+2(,)x1x2+(,)x220, 而此式左端恰为关于x1,x2的半正定二次型,故其矩阵的行列式0,即 (,)(,)(,)(,)0 则得|(,)| |,且等号成立 (,)(,)(,)(,)=0,线性相关. 二、Cauchy-Schwarz不等式的应用 Cauchy-Schwarz不等式在不同的空间对应着不同的形式
4、,下面是它在不同空间上的几种变形.母不等式:设V是欧氏空间,若,V,则 (,)2(,)(,)(2) 上式等号成立的充要条件是,线性相关. 变形一:取V=Rn,令=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn)则有 (a1b1+anbn)(a12+a22+an2) (b12+b12+bn2)(3) 等号成立的充要条件 bi=cai(i=1,2,n),c是为常数. 变形二:取V是定义在a,b上一切连续实函数所构成的实线性空间,设f(x), g(x)V,则有 f(x)g(x)dx2f 2(x)dxg2(x)dx(4) 变形三:取 V 为概率空间,对任意属于V 的随机变量 与 都有 |E|2 E2E2(
5、5) 等号成立的充要条件是P(=t0 )=1,t0是某一常数. 例1若x1,x2,xn均为正数则有(x1+x2+xn)(+)n2(6) 证明由(2)式令a1=,a2=,an=. b1=,b2=,bn=,则有 (•+•+•)2=n2.而 (+)(+) =(x1+x2+xn)(+) 所以(x1+x2+xn)(+)n2. 显然等号当且仅当x1=x2=xn时成立. 例2已知a、b、c、x、y、z都是实数,并且a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=1 求证:|ax+by+cz|1. 证明由不等式(3)有 (ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)
6、 所以,|ax+by+cz|21,即|ax+by+cz|1. 例3当2x+4y=1时,求证 x2+y2. 证明由不等式(3)有 (2x+4y)2(22+42)(x2+y2), 所以120(x2+y2) 所以(x2+y2) 例4已知a、b、c为正数,求证 a2+b2+c2ab+bc+ca. 证明由不等式(3)有 (ab+bc+ca)2(a2+b2+c2)(b2+c2+a2),即(ab+bc+ca)2(a2+b2+c2)2.因为a、b、c为正数,所以a2+b2+c2ab+bc+ca. 例5设ai0,i=1,2,n,则ai(ai2),且等号成立的充要条件是a1=a2=an. 证明设二维离散型随机变量
7、,的联合概率分布为 P(=xi,=yi)=P(=xj,=yj)=0 (ij) i=1,2,n;j=1,2,n 则、的边际概率分布分别为 P(=xi)=,P(=yj)= 令xi=ai0,yj=1有 E=ai•=•ai E2=ai2•=•ai2 E2=yi•=1=1 由不等式(5)有(ai)2ai2且等号成立的充要条件是= 开方得ai(ai2)且等号成立的充要条件是a1=a2=an. 例6设a、x、y是同时大于1(或小于1)的正数,且logaxyj=9,求证: logxa+logya+logja1. 证明左边=+. 由不等式(6)有 (l
8、oga.x+loga y+loga j)(+)j2 即logaxyj•(+)9. 有已知logaxyj9 所以(+)1 即logxa+logya+logja1 例7设a0,b0,且a+b=1,求证 (a+)2+(b+)2. 证明由不等式(7)有 所以 所以(a+)2+(b+)2. 又因为(a-b)20,所以a2+b2-2ab0.所以(a+b)2-4ab0.所以1-4ab0.所以ab.所以(a+)2+(b+)2= 例8设,是欧氏空间V中的向量,则有|-|+|. 证明由Cauchy-Schwarz不等式得 -|(,)|, |2+|2-2|2+|2+2|(,)| |2+|2+2|, 则(
9、|-|)2(,)(|+|)2,即得 |-|+| 例9设有n阶实对称矩阵A,若A0,则有trA0和(trA)EA. 证明因为A0,所以A半正定,故存在n阶矩阵 Q=q11q1nqn1qnn=a1an 其中a1=(qi1,qin)是第i个行向量(i=1,2,n),使得A=QQ 于是trA=tr(QQ)=|Q|F20. 又n维列向量X=(x1,xn)Rn,有XAX=XQQX=(QX)(QX)=|QX|22 于是QX=q11x1+q1nxn qn1x1+qnn xn=(a1,X)(an,X) 由Cauchy-Schwarz不等式知,|(ai,X)|ai|2|X|2 所以|QX|22=|(ai,X)|(|ai|22) |X|22=|QX|F2|X|22 即|QX|22|QX|F2|X|22=(trA)|X|22=(trA)XX 从而XAX(trA)XX=X(trA)EX 故有(trA)EA. Cauchy-Schwarz不等式应用非常广泛,利用Cauchy-Schwarz不等式可以解决一些复杂不等式的证明. (作者单位:湖南女子职业大学)