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1、Hilbert空间中框架之间的关系1 引言 框架的概念是Duffin和Schaeffer于1952年在研究非调和Fourier级数时,通过对Gabor思想的进一步提炼而引入的但是当时人们没有给予足够的重视,自从小波分析形成后,尤其是在1986年Daubechiesl Grossman, Meyer等发现中的函数使用框架可以展开成类似标准正交基的级数后,框架理论才开始快速发展.本文拟对框架中相似、强补、不相交、强不相交等关系进行了研究,并得出一些结论 2 预备知识 这里首先对全文所用到基本定理、定义予以介绍本文中，指标集表示可数集或有限集，空间H、M、K分别表示可分的Hilbert空间，用表示H
2、上的内积，H内的范数定义为|.|=12 关于Bessel点列的定义： 定义2.1 设H是可分的Hilbert空间，(xj)jeJH如果存在常数B0，使得对于任意,有 则称xjjJ是H上的Bessel点列，B称为xjjJ的Bessel界 对于如何判断Bessel点列,有如下引理: 引理2.2 设H是可分的Hilbert空间，xjjJ是H上的点列那么xjjJ是H上的Bessel点列当且仅当QcjjJjJcjxj是从l2(J)到H上有定义的算子 在Bessel点列的基础上，可得出框架的定义： 定义2.3 设xjjJH是界为B的Bessel序列.如果存在A0，满足 则称xjjJ是H上的框架xjjJ，其
3、中A，B称为框架的框架界当A，B分别为下界中 的上确界和上界中的下确界时,则称它们为框架的最优界特别的，如果A=B，称框架为紧框架；如果在框架xjjJ中任意去掉一个元后，不再是框架，称框架xjjJ为恰当框架；如果框架xjjJ是spanxjjJ上的框架，称xjjJ是框架序列 对于Riesz基，有如下定义： 定义2.4设xjjJ是H上的点列，ejjJ是H上的就范正交基如果存在H上的线性有界可逆算子U，使得对每一个jJ，都有xj=Uej， 则称是H的Riesz基. 另外，也用到就范紧框架和就范正交基之间的一个关系 性质2.5设H是Hi1bert空间，xjjJ是H上的就范紧框架当且仅当存在Hilber
4、t空间M和其上的就范紧框架yjjJ，使得xjyjjJ是HM上的就范正交基. 对于框架和Riesz基之间，同样有： 性质2.6设H是Hilbert空间，xjjJ是H上的框架当且仅当存在Hilbert空间M和其上的就范紧框架yjjJ，使得xjyjjJ是HM上的Riesz基 另外，下面给出框架中相似、强补、不相交、强不相交等的概念 定义2.7设xjjJ是H上的就范紧框架，yjjJ是M上的就范紧框架如果xjyjjJ是HM上的就范正交基,则称xjjJ强补于yjjJ 注2.8 对于H上的就范紧框架xjjJ,必存在xjjJ的强补集 定义2.9 设xjjJ是H上的框架，yjjJ是M上的就范紧框架.如果xjyj
5、jJ是HM上的Riesz基,则称xjjJ是yjjJ的补集 定义2.10设xjjJ和yjjJ分别是H和M上的框架如果存在线性有界可逆算子THM,使得对每个jJ，都有yj=Txj,那么称xjjJ和yjjJ是相似的 这时，如果T是酉算子，则称xjjJ和yjjJ是酉等价. 定义2.11 设xjjJ是H上的就范紧框架，yjjJ是M上的就范紧框架如果xjyjjJ是HM上的就范紧框架(就范正交基),则称xjjJ和yjjJ是强(完全)不相交的 定义2.12设xjjJ是H上的框架，yjjJ是M上的框架如果xjyjjJ是HM上的框架,则称xjjJ和yjjJ是不相交的 3 框架之间的关系 框架之间关系的若干结论：首
6、先，框架中相似、补集、强补集之间的关系. 定理3.1设xjjJ中是H上的就范紧框架，yjjJ是M上的就范紧框架且酉等价于xjjJ.如果K上的就范紧框架zjjJ强补于xjjJ,那么zjjJ强补于yjjJ. 证明:由已知条件知，存在酉算子T,使得yj=Txj且xjzjjJ是HK上的就范正交基.所以T-1yj=xj,从而T-1yjzjjJ是HK上的就范正交基.因为IT是酉算子，所以(IT)(zjT-1yj)jJ=zjyjjJ是(IT)(KH)=(KTH)上的就范正交基.令M1=TH,即zjyjjJ是KM1上的就范正交基,从而zjjJ强补于yjjJ.证毕. 定理3.2 设xjjJ中是H上的就范紧框架,
7、yjjJ是M上的框架且相似于xjjJ.如果K上的就范紧框架zjjJ强补于xjjJ,那么zjjJ是yjjJ的补集. 证明:由已知条件知,存在线性有界可逆T,使得yj=Txj且xjzjjJ是HK上的就范正交基.所以T-1yj=xj,从而T-1yjzjjJ是HK上的就范正交基.因为IT是线性有界可逆算子,所以(IT)(zjT-1yj)=zjyjjJ是上的Riesz基.令M1=TH,即zjyjjJ是KM上的Riesz基,从而zjjJ是yjjJ的补集.证毕. 定理3.3 设xjjJ中是H上的框架，yjjJ是M上的框架且相似于xjjJ.如果K上的框架zjjJ是xjjJ的补集，那么zjjJ是yjjJ的补集.
8、 证明:由已知条件知,存在线性有界可逆T,使得yj=Txj且xjzjjJ是HK上的Riesz基.所以T-1yj=xj,从而T-1yjZjjJ是HK上的Riesz基.因为IT是线性有界可逆算子,所以(IT)(zjT-1yj)jJzjyjjJ是(IT)(KH)=(KTH)上的Riesz基.令M1=TH,即zjyj是上的Riesz基， 从而zjjJ是yjjJ的补集.证毕. 其次，框架中相似、不相交、强不相交之间的关系. 定理3.4 设xjjJ中是H上的就范紧框架,yjjJ是M上的就范紧框架且酉等价于xjjJ.如果K上的就范紧框架zjjJ和xjjJ是强不相交的,那么zjjJ和yjjJ是强不相交的. 证
9、明:由已知条件知,存在酉算子T,使得yj=Txj且xjzjjJ是HK上的就范紧框架.所以T-1yj=xj,从而T-1yjzjjJ是HK上的就范紧框架.因为IT是酉算子,所以(IT)(zjT-1yj)jJ=zjyjjJ是(IT)(KH)=(KTH)上的就范紧框架.令M1=TH,即zjyjjJ是KM1上的就范紧框架,从而zjjJ和yjjJ是强不相交的.证毕. 定理3.5 设xjjJ中是H上的就范紧框架，yjjJ是M上的就范紧框架且酉等价于xjjJ.如果K上的就范紧框架zjjJ和xjjJ是强完全不相交的，那么zjjJ是yjjJ是强完全不相交的. 证明:由于强完全不相交与强补的定义是等同的，所以此定理
10、的证明可参见定理3.1的证明过程.证毕. 定理3.6 设xjjJ中是H上的框架，yjjJ是M上的框架且相似于xjjJ.如果K上的框架zjjJ和xjjJ是不相交的，那么zjjJ是yjjJ是不相交的. 证明: 由已知条件知，存在线性有界可逆T,使得yj=Txj且xjzjjJ是HK上的框架.所以T-1yj=xj， 从而T-1yjzjjJ是HK上的框架.因为IT是线性有界可逆算子，所以(IT)(zjT-1yj)jJ=zjyjjJ是(IT)(KH)=(KTH)上的框架.令M1=TH，即zjyj是KM1上的框架， 从而zjjJ和yjjJ是不相交的.证毕. 定理3.7 设xjjJ中是H上的就范紧框架， yjjJ是M上的框架且相似于xjjJ.如果K上的就范紧框架zjjJ和xjjJ是强不相交的， 那么zjjJ和yjjJ是不相交的. 证明:由已知条件知，存在线性有界可逆T,使得yj=Txj且xjzjjJ是HK上的就范紧框架.所以T-1yj=xj，从而T-1yjzjjJ是HK上的就范紧框架.因为IT是线性有界可逆算子，所以(IT)(zjT-1yj)jJ=zjyj是(IT)(KH)=(KTH)上的框架.令M1=TH，即zjyjjJ是KM1上的框架,从而zjjJ和yjjJ是不相交的.证毕.