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1、中学数学建模教学与实践探索 【摘 要】初、高中学生已经初步掌握建立数学模型的方法和步骤，具备运用数学模型方法解决比较简单的实际问题的能力。对于藏族学生而言，以其喜闻乐见的实际问题作为例子，建立数学模型，能起到事半功倍的作用。 数学课程标准（修订稿）中指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。应用意识有两个方面的含义，一方面是有意识地利用数
2、学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题;另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。应用数学知识去解决实际问题，常常需要在数学理论和实际问题之间构建一个桥梁来加以沟通，以便把实际问题中的数学结构明确地表示出来，这个桥梁就是数学模型。 我们以几项体育活动以及与学生生活息息相关的生活问题作为实例，进行问题分析，研究解决方法（建立数学模型），进一步解决问题（模型求解），再做一些必要的结果分析（模型分析），能对藏族学生的数学学习
3、起到事半功倍的作用。 一 足球射门问题 踢足球是藏族学生喜爱的一种体育活动。什么时候射门才能够最大可能地射进球门，可以用一个数学方法来解决。 问题：一边锋在对方队员的防守下只能沿场边直线带球冲向球门，问何时射门进球系数最大？ 数学概念：几何;适用年级：初三。 建模过程：射门进球可能性大小与球员对球门的视角大小有关。当球员在对方的防守下只能沿场边直线带球冲向球门，一定有对于球门的最大视角点。可以用下面的示意图（图1）来表示：AB表示球门的宽度，边锋沿CD带球冲向球门。我们可以作过A和B，与直线CD相切的唯一圆（在场内），这个切点就是最大视角点，也就是最佳射球点。 学生的任务：说明为什么点H是对球
4、门的最大视角点，说出或写出这个圆的作法。还有没有其他最佳射球点？ 二 台球击球方向问题 比赛台球（斯诺克Snooker）也是藏族学生喜爱的一种体育活动，往往在将一个球击入最近或最佳的球门时，前面有一个障碍球。这时一般将球打到球桌边缘反弹到目标球门。 问题：如图2，如果要将球Q击入球门A，应将球打到桌边CD的哪个位置，才能直线进入球门A呢？ 数学概念：几何;适用年级：初二。 建模过程：如图3、图4等方法。可以瞄准A、A、A2等点击球。 图3 图4 学生的任务：找出这个反弹点，并说明理由。如果沿线KA又有障碍球，在桌边CD上有没有另外一个这样的点呢？如果没有，怎么才能够将球打进球门A呢？图中的A、
5、A、A2各点与点A有什么关系？ 三 羊群中羊的数量问题 有一群羊，不能一一点数，要估算出羊的总数。可以用豌豆作为工具，利用概率方法估计数量，以此作为模型来求出羊群中羊的总数。 问题：用什么方法能够估算出这群羊的总数？ 数学概念：统计、概率;适用年级：高一。 建模过程：以豌豆作为模型。假设袋中有N粒豌豆，第一次取出t粒做好标记后放回袋中，第二次取出n粒，其中恰有s粒做了标记，我们可以求得n粒豌豆中恰有s粒为带标 记的豌豆的概率，其概率为：。这是大概率事件， 有一个合适的N会使概率P达到最大，基于这个思维，可通 过求P的极大值的方法来估计N的值，当时P达到 极大。所以，假定第一次从袋中取出120粒
6、豌豆，对这120粒豌豆做了标记;第二次取出100粒豌豆，如果其中有10粒豌豆做了标记，那么这袋豌豆共有1200粒。对这群羊而言，首先从中隔离出部分羊来，做好标记后放回;当充分混合后再从中隔离出一部分来，可以数出其中带有标记的羊的数量，由此计算整群羊的总数。 学生的任务：从一袋豌豆中任意取出一把，统计数量并做记录，给每粒豌豆做上标记放回袋中。把它们充分搅匀后再从袋中任意取出一把，统计带标记和不带标记的豌豆数量并做记录。从这一把豌豆中的带标记的数量与总数的比例可以推断估计出这一袋豌豆的大概数量。 四 风暴危害问题 据甘肃省气象台预报，甘南州合作市正东300km处的天水市区有一个暴雨云团形成，并以每
7、小时40km的速度向西北方向运动，由于气温的变化，在离云团中心250km以内的地区将受到冰雹影响。 问题：云团中心的运动轨迹是什么？合作市周边250km范围内的农牧业是否会受到冰雹的影响？若受影响，受影响的时间有多长？ 数学概念：坐标法、三角函数、参数方程 适用年级：高二。 建模过程：建立正确的方 位图，用坐标系来具体表示， 给出云团运动的轨迹直线，列 出轨迹方程及合作市的安全区 域表示式。 学生的任务：画图，列方程。 如图5，云团运动轨迹为 射线AD，其方程为： （t0，为云团运动时间） 解得：1.99t8.61 由此可知，从现在起约经过1.99小时后将受到冰雹影响，时间持续8.61-1.9
8、9=6.62（小时）。 五 选购笔记本问题 扎西利用课余时间回收废品，用卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本，计划共花钱不超过28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，两种笔记本的价格和页数如下表。 大笔记本 小笔记本 价格（元/本） 6 5 页数（页/本） 100 60 问题：为了节约资金，扎西应选择哪一种购买方案？请说明理由。 数学概念：不等式（组）;适用年级：初三。 建模过程：如果设购买大笔记本x本，那么购买小笔记本5-x本，根据题意有以下不等式组： ，解得1x3。 由此可列出购买方案： 方案 大笔记本（本） 小笔记本（本） 纸张页数（页） 总价格（元） 1 1 4 340 26 2 2 3 380 27 3 3 2 420 28 学生的任务：根据花钱要求和买笔记本要求分别列出关系式（不等式），并解不等式组，给出所有的购买方案。 在市场经营、核定价格、分析盈亏、估计产量、投资决策等许多问题中，可以通过挖掘实际问题所隐含的数量关系，建立不等式（组）模型来加以解决。