1、小学数学课堂教学中有效渗透数小学数学课堂教学中有效渗透数学思想方法的探讨学思想方法的探讨1.一、小学数学课堂教学中为什么要渗透数学思想方法一、小学数学课堂教学中为什么要渗透数学思想方法？依据依据1 1：数学课程标准总体目标的：数学课程标准总体目标的第一条就明确提出：通过义务教育阶段的数学学第一条就明确提出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。活动经验。这里就是在原有这里就是在原有“双基双基”的基础上提的基础上提出了出了“四基四基”
2、2.依据依据2：美国教育心理学家布鲁纳指出：掌握基美国教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想和方法，能使数学更易于理解和更利于本的数学思想和方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路光明之路”。在一个人的一生中，最有用的不仅是数。在一个人的一生中，最有用的不仅是数学知识，更重要的是数学的思想和数学的意识。因此学知识，更重要的是数学的思想和数学的意识。因此在小学数学的教学中要不失时机地对学生进行数学思在小学数学的教学中要不失时机地对学生进行数学思想方法的渗透，掌握数学思想方法是数学学习的最高想方法的渗透
3、掌握数学思想方法是数学学习的最高境界。境界。一、小学数学课堂教学中为什么要渗透数学思想方法一、小学数学课堂教学中为什么要渗透数学思想方法？3.依据依据3 3：日本著名数学教育家米山国藏指出：日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神和数学的思想、有深深铭记在头脑中的是数学的精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用，使研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。学生终身受益。”数学的思想方法是数学的灵魂和数学的思想方法是数学的灵魂和精髓，掌握科学的数学思想
4、方法对提升学生的思维精髓，掌握科学的数学思想方法对提升学生的思维品质，对数学学科的后继学习，对其他学科的学习，品质，对数学学科的后继学习，对其他学科的学习，乃至学生的终身发展有十分重要的意义。乃至学生的终身发展有十分重要的意义。一、小学数学课堂教学中为什么要渗透数学思想方法一、小学数学课堂教学中为什么要渗透数学思想方法？4.结论：结论：在教学中不仅要重视知识的形成在教学中不仅要重视知识的形成过程，还要十分重视发掘在数学知识的发生、过程，还要十分重视发掘在数学知识的发生、形成和发展中所蕴含的重要数学思想方法。形成和发展中所蕴含的重要数学思想方法。一、小学数学课堂教学中为什么要渗透数学思想方法一、
5、小学数学课堂教学中为什么要渗透数学思想方法？5.所谓的数学思想：所谓的数学思想：是指人们对数学理论与内容的是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。二、何谓数学思想方法？二、何谓数学思想方法？所谓的数学方法：所谓的数学方法：是解决数学问题的方法，即解是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可决数学具体问题时所
6、采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。以说是解决数学问题的策略。6.数学思想是内隐的，而数学方法是外显的，数学数学思想是内隐的，而数学方法是外显的，数学思想比数学方法更深刻，更抽象地反映了数学对象间思想比数学方法更深刻，更抽象地反映了数学对象间的内在联系。前者给出了解决问题的方向，后者给出的内在联系。前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。由于小学数学内容比较简单，知了解决问题的策略。由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。所以更多的反映在联系方
7、面，其本质往往是一致的。所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即即小学数学思想方法小学数学思想方法。二、何谓数学思想方法？二、何谓数学思想方法？7.三、小学数学思想方法有哪些？三、小学数学思想方法有哪些？1 1对应思想方法对应思想方法2 2转化思想方法转化思想方法3.3.假设思想方法假设思想方法4 4符号化思想方法符号化思想方法5 5类比思想方法类比思想方法6 6比较思想方法比较思想方法7 7分类思想方法分类思想方法8 8集合思想方法集合思想方法9 9数形结合思想方法数形结合思想方法1010统计思想方法统计思想方法1111极限思想方法极
8、限思想方法1212代换思想方法代换思想方法1313可逆思想方法可逆思想方法1414化归思想方法化归思想方法1515变中抓不变的思想方法变中抓不变的思想方法1616数学模型思想方法数学模型思想方法1717整体思想方法整体思想方法18.18.函数思想方法函数思想方法19.19.有序思想方法有序思想方法20.20.运动思想方法运动思想方法8.1对应思想方法对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。并以此孕伏函数思想。小学数学教学中主要利用虚线
9、实线、箭头、小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。式、量与量联系起来，渗透对应思想。9.如直线上的点（数轴）与表示具体的数是如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。一一对应。10.如一年级上册教材如一年级上册教材“比多少比多少”中，分别将小兔和砖块、小猪和木头等一一对应中，分别将小兔和砖块、小猪和木头等一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。供
10、了思想方法。11.又如六年级上册又如六年级上册“分数除法解决问题分数除法解决问题”中一个具体数量与一个中一个具体数量与一个抽象分数（分率）的对应等。抽象分数（分率）的对应等。12.2转化思想方法转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常常用到在计算中也常常用到转化，如甲转化，如甲乙（零除外）乙（零除外）=甲甲 ，通过转化达到化，通过转化达到化难为易、化新为旧、化繁为简、
11、化整为零、化曲为直等。难为易、化新为旧、化繁为简、化整为零、化曲为直等。13.如平行四边形面积推导，当教师通过创设情境使学生产生迫切要求出平行四边形面积的需要时，可以将“怎样计算平行四边形的面积”直接抛向学生，让学生独立自由地思考。这时学生就会调动所有的相关知识及经验储备，寻找转化的方法，解决问题。学生可以动手把平行四边形剪一剪、拼一拼，最后得到的长方形和原来的平行四边形的面积是相等的（等积转化）。在这个前提之下，长方形的长就是平行四边形的底，宽就是高，所以平行四边形的面积就等于底乘高。长方形的面积公式是基础长方形的面积公式是基础，在图形转化的过程当中还应用在图形转化的过程当中还应用到了平移、
12、旋转、割补等；有些曲线图形可以转化为直线图形。到了平移、旋转、割补等；有些曲线图形可以转化为直线图形。教学平行四边形、三角形、梯形、圆形等图形的面积公式的推导，通常教学平行四边形、三角形、梯形、圆形等图形的面积公式的推导，通常会用到转化的思想方法。会用到转化的思想方法。14.六年级下册教学六年级下册教学“圆柱体积圆柱体积”公式的推导，也常用到转化公式的推导，也常用到转化（比较）的思想方法。（比较）的思想方法。15.在五年级上册计算教学在五年级上册计算教学“小数除法小数除法”中也是经常用到转化的思想中也是经常用到转化的思想方法。方法。16.3假设思想方法假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或
13、问题作出某假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。象、具体，从而丰富解题思路。17.如：教学如：教学“鸡兔同笼鸡兔同笼”这一课时，在解决问题的过程中，用这一课时，在解决问题的过程中，用图表、课件展示的方法让学生逐步领会图表、课件展示的方法
14、让学生逐步领会“假设假设”这种策略的奥妙这种策略的奥妙所在。所在。18.又如：一年级上册学习又如：一年级上册学习“8 8和和9 9的加减法的加减法”后，后，可以设计一些开放性的练习。可以设计一些开放性的练习。（）+（）=9=9（）（）=2=2 这里可以引导学生用假设和有序的思想方法解这里可以引导学生用假设和有序的思想方法解决问题，从中也体会到了假设的奥妙。决问题，从中也体会到了假设的奥妙。19.4符号化思想方法符号化思想方法 如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，
15、以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式等。的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式等。数学发展到今天，已成为一个符号的世界。英国数学发展到今天，已成为一个符号的世界。英国著名数学家素曾说：著名数学家素曾说：“什么是数学？数学就是符号加什么是数学？数学就是符号加逻辑。逻辑。”符号化思想符号化思想即指人们有意识地、普遍地运用即指人们有意识地、普遍地运用符号化的语言去表述研究的对象。符号化思想在整个符号化的语言去表述研究的对象。符号化思想在整个小学都有较多的渗透。小学都有较多的渗透。例如：阿拉伯数字：例如：阿拉伯数字：1、2、3、5、6、+、等运算符、等运算符号；号；、=等表示关系的符号；（）、
16、等表示关系的符号；（）、等括号；表示数的等括号；表示数的字母字母:x、y、z等。字母表示公式：长方形、正方形的面积等。字母表示公式：长方形、正方形的面积S=abS=a字母表示计量单位符号：字母表示计量单位符号：mcmdmmmgkg等。等。20.例如：在教学例如：在教学“运算定律运算定律”时，可以把数变成符号化的语言。时，可以把数变成符号化的语言。在这里，一定要让学生明确每个符号的意义，知道这样表示更一在这里，一定要让学生明确每个符号的意义，知道这样表示更一般化、抽象化，也更简洁，更能表示一般规律，加深理解符号的般化、抽象化，也更简洁，更能表示一般规律，加深理解符号的含义，建立符号化思想。我们所
17、学过的一些计算公式等，无不渗含义，建立符号化思想。我们所学过的一些计算公式等，无不渗透了数学思想在里面。透了数学思想在里面。21.5类比思想方法类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。迁移到另一类数学对象上去的思想。22.如加法交换律和乘法交换律的类比，加法结合律和乘法结合如加法交换律和乘法交换律的类比，加法结合律和乘法结合律的类比，长方形、平行四边形和三角形面积公式的类比。类比律的类比，长方形、平行四边形和三角形面积公式的类比。类比思想不仅使数学知
18、识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。的自然和简洁。23.6比较思想方法比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。例如在教学分数解决问题中，进学生思维发展的手段。例如在教学分数解决问题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。24.运用比较，揭示概念的内涵和外延。例如三年级上册教学运用比较，揭示概念的内涵和外延。例
19、如三年级上册教学“四边形四边形”，出示很多的图形，通过让学生把认为是四边形的图形，出示很多的图形，通过让学生把认为是四边形的图形涂上颜色，再比较这些四边形的特点，从归纳出这四边形的概念。涂上颜色，再比较这些四边形的特点，从归纳出这四边形的概念。25.运用比较的思想方法分析错误的原因。运用比较的思想方法分析错误的原因。（1）2.542.54=102.54=44=16（）（2）2.542.54=1010=1（）（3）（2.54）（2.54）=1010=1（）26.7分类思想方法分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及
20、其分类的的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标标准。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。知识的梳理和建构。如自然数的分类，若按能否被如自然数的分类，若按能否被2 2整除分奇整除分奇数和偶数（单数或双数）；按因数的个数分数和偶数（单数或双数）；按因数的个数分为质数和合数。又如三角形可以按边分，也为质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。分类结
21、果，从而产生新的概念。27.8集合思想方法集合思想方法 集合思想就是运用集合的概念、集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。观手段，利用图形和实物渗透集合思想。28.如：在讲述公因数和公倍数时采用了集合的思想方法。如：在讲述公因数和公倍数时采用了集合的思想方法。29.例如教学长方体、正方体之后，使学生明确正方体是长、例如教学长方体、正方体之后，使学生明确正方体是长、宽、高都相等的长方体，即正方体是一种特殊的长方体。用圆宽、高都相
22、等的长方体，即正方体是一种特殊的长方体。用圆圈图表示更形象。让他们感知大圈内的物体具有某种共同的属圈图表示更形象。让他们感知大圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合长方体集长方体集合，小圈内的物体也具有某种共同的属性，可以看作一个小整合，小圈内的物体也具有某种共同的属性，可以看作一个小整体，这个小整体就是一个小集合体，这个小整体就是一个小集合正方体集合，如长方体集正方体集合，如长方体集合包含正方体集合。合包含正方体集合。30.9数形结合思想方法数形结合思想方法 数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关数与形是数学教学研
23、究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题和解决问题，就是系和空间形式结合起来去分析问题和解决问题，就是数形结合思想数形结合思想。数离不开形，形离不开数，一方面抽。数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。单的数量关系表示。31.如：在解决问题时常常借助线段图的直观帮助分析数如：在解决问题时常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。量关系。32.又如一年级的又如一年级的“加法和减法加法和减法”等
24、都会用到数形结合的思想。等都会用到数形结合的思想。33.六年级上册的数学广角体现的就是数形结合的思想。34.10统计思想方法统计思想方法 在生产、生活和科学研究时，人们通常需要有在生产、生活和科学研究时，人们通常需要有目的地调查和分析一些问题，就要把收集到的一些目的地调查和分析一些问题，就要把收集到的一些原始数据加以归类整理，从而推理研究对象的整体原始数据加以归类整理，从而推理研究对象的整体特征，这就是特征，这就是统计的思想和方法。统计的思想和方法。小学数学中的统小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数解决问题计图表是一些基本的统计方法，求平均数解决问题是体现出数据处理的思想方法。我
25、们要比较两个班是体现出数据处理的思想方法。我们要比较两个班的学习情况，以班级学生的平均成绩作为该班成绩的学习情况，以班级学生的平均成绩作为该班成绩的标志是有一定说服力的，这是一种最常用、最简的标志是有一定说服力的，这是一种最常用、最简单方便的统计方法。单方便的统计方法。35.小学阶段统计知识的编排小学阶段统计知识的编排36.11极限思想方法极限思想方法 极限的思想方法是人们从有限中认识无限，极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，数学思想方法，它是事物转化的重要环节，事事物是从量
26、变到质变的，极限方法的实质正是通物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。过量变的无限过程达到质变。37.我国古代思想家庄子在庄子我国古代思想家庄子在庄子.天下中的天下中的“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭.”这句话的充满了极限思想。即：这句话的充满了极限思想。即：一尺长的木棍一尺长的木棍,每天取它的一半每天取它的一半,永远也取不完。永远也取不完。简单地说，每次取一半的话，第一次是简单地说，每次取一半的话，第一次是1/2，第二，第二次是原长的次是原长的1/4，第三次是原长的，第三次是原长的1/16分子永远是分子永远是1，分母都是前一个分母的平方数，到
27、最终分母虽然，分母都是前一个分母的平方数，到最终分母虽然会很大，但这个分数毕竟不是零会很大，但这个分数毕竟不是零,所以说所以说“万世不竭万世不竭”。38.刘徽总结出：割之弥细，所失弥少，割之又割，以刘徽总结出：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。正是这种极限至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。正是这种极限思想，刘徽求出了圆周率，即徽率思想，刘徽求出了圆周率，即徽率 古代数学家刘徽的古代数学家刘徽的“割圆术割圆术”就是利用极限思想来计算圆周就是利用极限思想来计算圆周率。九章算术中提到率。九章算术中提到“周三径一周三径一”，这句话的意思就是说圆，这句话的意思就是说圆
28、周率的近似值为三。但是，刘徽认为这个数字太笼统，不够准确，周率的近似值为三。但是，刘徽认为这个数字太笼统，不够准确，所以指出这个数字不能作为圆周率。后来，在一次偶然的事件中，所以指出这个数字不能作为圆周率。后来，在一次偶然的事件中，刘徽发现圆内接多边形的边数增加得越多，那么多边形的周长就刘徽发现圆内接多边形的边数增加得越多，那么多边形的周长就与圆的周长越来越接近，这也就是割圆术的由来了。利用割圆术，与圆的周长越来越接近，这也就是割圆术的由来了。利用割圆术，刘徽从圆内接正六边形开始切割，然后就是十二边形等一直计算刘徽从圆内接正六边形开始切割，然后就是十二边形等一直计算下去，直到计算到九十六边形为
29、止，能够得出的圆周率的近似值下去，直到计算到九十六边形为止，能够得出的圆周率的近似值是是3.14。然而刘徽对此并不满意，他后来又继续深入计算，得出。然而刘徽对此并不满意，他后来又继续深入计算，得出了当时世界上最精确的圆周率为了当时世界上最精确的圆周率为3.1416。39.“自然数自然数”、“奇数奇数”、“偶数偶数”这些概念教学这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限无限”思想。思想。在循环小数这一部分内容中，在循环小数这一部分内容中，1 3=0.3331 3
30、0.333是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的。是无限的。在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。两端是可以无限延长的。40.我们在教学我们在教学“圆的面积圆的面积”内容时，创设学习活动，使学生感受到如果把圆内容时，创设学习活动，使学生感受到如果把圆等分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，这时长方形的面积就越接近圆的等分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，这时长方形的面积就越接近圆的面积了。这部分内容应该让学生体会到这时一种面积了。这部分内容应该让学生体会
31、到这时一种“无限逼近无限逼近”的方法求得圆的的方法求得圆的面积。这里也就渗透着极限的数学思想方法。面积。这里也就渗透着极限的数学思想方法。41.12代换思想方法代换思想方法 他是方程解法的重要原理，解题时可将某他是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。个条件用别的条件进行代换。如学校买了如学校买了4张桌张桌子和子和9把椅子，共用去把椅子，共用去504元，一张桌子和元，一张桌子和3把把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？多少？42.13可逆思想方法可逆思想方法 它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解它是逻辑思维中的基本思想
32、当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法，答时，可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法，有时可以借线段图逆推。有时可以借线段图逆推。如一辆汽车从甲地开往乙地，如一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的第一小时行了全程的1/7，第二小时比第一小时多行，第二小时比第一小时多行了了16千米，还有千米，还有94千米，求甲乙之距。千米，求甲乙之距。43.14化归思维方法化归思维方法 化归是解决数学问题常用的思想方法。化归，是化归是解决数学问题常用的思想方法。化归，是指将有待解决或未解决的的问题，通过转化过程，归指将有待解决或未解决的的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解
33、决的问题中去，以求得解结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。应当指出，这种化归思想与决。应当指出，这种化归思想与“转化转化”、“转换转换”有点相似但又有区别。它具有不可逆转的单向性。有点相似但又有区别。它具有不可逆转的单向性。化化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易，都是化归的思想实质。为容易，都是化归的思想实质。44.例如：把例如：把186186拆分成两个自然数的积，怎样拆分才能使拆分拆分成两个自然数的积，怎样拆分才能使拆分后的两个自然数的乘积最大？后的两个自然数的乘积最大？187187呢？呢？分析：此题中的数比较大，
34、如果用枚举法一个一个地猜测分析：此题中的数比较大，如果用枚举法一个一个地猜测验证，比较繁琐。如果从比较小的数开始枚举，利用不完全归验证，比较繁琐。如果从比较小的数开始枚举，利用不完全归纳法，看看能否找到解决方法。纳法，看看能否找到解决方法。如从如从1010开始，开始，1010可以分成：可以分成：1 1和和9,29,2和和8,38,3和和7,47,4和和6,5 6,5 和和5 5。它们的积分别是：。它们的积分别是：9,16,21,24,259,16,21,24,25。可以初步认为拆。可以初步认为拆分成相等的两个数的乘积最大。分成相等的两个数的乘积最大。如果不确定，还可以再举一个例子，如如果不确定
35、还可以再举一个例子，如1212可以分成：可以分成：1 1和和11,211,2和和10,310,3和和9,49,4和和8,58,5和和7,67,6和和6,6,它们的积分别是：它们的积分别是：11,11,20,27,32,35,3620,27,32,35,36。由此可以推断：把由此可以推断：把186186拆分成拆分成9393和和93,9393,93和和9393的乘积最大，的乘积最大，乘积为乘积为86498649。适当地加以检验，如。适当地加以检验，如9292和和9494的乘积为的乘积为8648,908648,90和和9696的乘积为的乘积为8640,8640,都比都比86498649小。小。45
36、因为因为187是奇数，无法拆分成相等的两是奇数，无法拆分成相等的两个数，只能拆分成相差个数，只能拆分成相差1的两个数，这时它的两个数，这时它们的乘积最大。不再举例验证。们的乘积最大。不再举例验证。46.又如：你能快速口算又如：你能快速口算8585，9595，105105吗？吗？分析：仔细观察可以看出，此类题有些共同特点，分析：仔细观察可以看出，此类题有些共同特点，每个算式中的两个因数相等，并且个位数都是每个算式中的两个因数相等，并且个位数都是5。如果。如果不知道个位数是不知道个位数是5的相等的两个数的乘积的规律，直接的相等的两个数的乘积的规律，直接快速口算是有难度的。那么，此类题有什么技巧呢
37、不快速口算是有难度的。那么，此类题有什么技巧呢？不妨从简单的数开始探索：妨从简单的数开始探索：如如1515225,2525625,35351225。通过这。通过这几个算式的因数与相应的积的特点，可以初步发现规律几个算式的因数与相应的积的特点，可以初步发现规律是：个位数是是：个位数是5的相等的两个数的乘积分为左右两部分：的相等的两个数的乘积分为左右两部分：左边为因数中左边为因数中5以外的数字乘比它大以外的数字乘比它大1的数，右边为的数，右边为25（5乘乘5的积）。所以的积）。所以85857225，95959025，10510511025，实际验证也是如此。，实际验证也是如此。47.15变中抓不
38、变的思想方法变中抓不变的思想方法 在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问题就迎刃而解。抓不变的量为突破口，往往问题就迎刃而解。如：科技书和文艺书共如：科技书和文艺书共630本，其中科技书本，其中科技书20%，后来又买来一些科技书，这时科技书占，后来又买来一些科技书，这时科技书占30%，又买来科技书多少本？，又买来科技书多少本？48.16数学模型思想方法数学模型思想方法 所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、
39、实验、操作、比较、分析、综合概括等思维过程，实验、操作、比较、分析、综合概括等思维过程，达到简化和假设。它是把生活中实际问题转化为数达到简化和假设。它是把生活中实际问题转化为数学问题（模型）的一种思想方法。学问题（模型）的一种思想方法。49.如在学生掌握了速度、时间、路程之间关系后，先如在学生掌握了速度、时间、路程之间关系后，先进行单项练习，然后出示这样的变式题：进行单项练习，然后出示这样的变式题：1.1.汽车汽车3 3小时行驶了小时行驶了270270千米，千米，5 5小时可行驶多少千小时可行驶多少千米？米？2.2.飞机的速度是每小时飞机的速度是每小时900900千米，飞机早上千米，飞机早上1
40、111：0000起飞，起飞，1414：0000到站，两站之间的距离是多少千米？到站，两站之间的距离是多少千米？学生在掌握了速度乘时间等于路程这一模型后，进学生在掌握了速度乘时间等于路程这一模型后，进行变式练习，学生基本能正确解答，说明学生对基本数行变式练习，学生基本能正确解答，说明学生对基本数学模型已经掌握，并能够从学模型已经掌握，并能够从3 3小时行驶了小时行驶了270270千米中找到千米中找到需要的速度，从需要的速度，从1111：0000至至1414：0000中找到所需时间。虽然中找到所需时间。虽然两题叙述不同，但都可以运用同一个数学模型进行解答。两题叙述不同，但都可以运用同一个数学模型进
41、行解答。掌握了数学模型，学生解答起数学问题来得心应手。掌握了数学模型，学生解答起数学问题来得心应手。50.17整体思想方法整体思想方法 对数学问题的观察和分析从宏观和大处着对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握化零为整，往往不失为一种更便手，整体把握化零为整，往往不失为一种更便捷更省时的方法。捷更省时的方法。51.我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。客观事物数量间的相互联系和内在规律的。18函数函数思
42、想方法思想方法 如六年级下册的如六年级下册的“正比例、反比例正比例、反比例”，一个量变化，一个量变化，另一个量也随着变化。发现量的变化都有规律的，都另一个量也随着变化。发现量的变化都有规律的，都较好的渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形较好的渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。成初步的函数概念。52.正比例图像正比例图像反比例图像反比例图像53.例如在积的变化规律教学中有如下形式：例如在积的变化规律教学中有如下形式：63 205 700800603 2050 708006003 20500 7800 应该这样来设计教学：先计算，后核对答案，应该这样来设计教学：先计算，
43、后核对答案，接着让学生观察积有什么特点（找规律），积的变化接着让学生观察积有什么特点（找规律），积的变化是怎样引起的？从而总结出积的变化规律。这就是较是怎样引起的？从而总结出积的变化规律。这就是较好的渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形成好的渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。初步的函数概念。54.思维要有序，即要按照一定的顺序，有条理地，思维要有序，即要按照一定的顺序，有条理地，全面地观察和思考问题。如果思维无序，观察或思考全面地观察和思考问题。如果思维无序，观察或思考时杂乱无章，就容易造成思维的重复或遗漏。例如，时杂乱无章，就容易造成思维的重复或遗漏。例如，用用5
44、6、7、8这四个数字中的三个，能组成几个被这四个数字中的三个，能组成几个被5整除的三位数？这就要引导学生用有序的方法进行排整除的三位数？这就要引导学生用有序的方法进行排列，做到不重复不遗漏。列，做到不重复不遗漏。19.有序的思想方法有序的思想方法 55.运动是永恒的，静止是相对的。用运动的、变化运动是永恒的，静止是相对的。用运动的、变化的眼光看事物，往往最能把握事物间的本质联系。的眼光看事物，往往最能把握事物间的本质联系。如几何中的点到线，线到面，面到体，变化的根如几何中的点到线，线到面，面到体，变化的根本原因就在一个本原因就在一个“动动”字。字。20.运动的思想方法运动的思想方法56.表表
45、1：小学数学人教版教材：小学数学人教版教材“数学广角数学广角”蕴含的数学思想方法蕴含的数学思想方法57.四、如何有效渗透数学思想方法？四、如何有效渗透数学思想方法？1.更新观念，从思想上不断提高对渗透思想方法更新观念，从思想上不断提高对渗透思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目标，把数学思想方法的要求融入备课同时纳入教学目标，把数学思想方法的要求融入备课环节。环节。58.这就要求每个教师梳理小学阶段自己所教的教这就要求每个教师梳理小学阶段自己所教的教材中（数与代数、图形与几何、统计与概率、综合材中（数与代数、图形与几何
46、统计与概率、综合与实践），主要蕴含的数学思想方法，明确渗透目与实践），主要蕴含的数学思想方法，明确渗透目标，哪些教学内容可渗透什么数学思想，组织学校标，哪些教学内容可渗透什么数学思想，组织学校各个年级的教师动手整理，整理好自己所教的教材各个年级的教师动手整理，整理好自己所教的教材中主要蕴含的数学思想方法后，与其他老师讨论交中主要蕴含的数学思想方法后，与其他老师讨论交流，资源共享，把一到六年级教材中所蕴含的数学流，资源共享，把一到六年级教材中所蕴含的数学思想方法梳理好，并制成一个小学阶段各册主要的思想方法梳理好，并制成一个小学阶段各册主要的可渗透数学思想方法分布表。可渗透数学思想方法分布表。2
47、深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素。方法渗透的各种因素。59.（1）概念形成的过程中渗透）概念形成的过程中渗透（2）结论推导的过程中渗透）结论推导的过程中渗透（3）规律揭示的过程中渗透）规律揭示的过程中渗透（4）问题解决的过程中渗透）问题解决的过程中渗透（5）复习运用的过程中渗透）复习运用的过程中渗透（6）在练习设计中渗透）在练习设计中渗透3.3.在课堂教学过程中，渗透数学思想方法在课堂教学过程中，渗透数学思想方法60.问题是数学的心脏，方法是数学的行为，问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂，未来的数学课程体系是思想是数学的灵魂，未来的数学课程体系是“数学思想方法与数学知识的数学思想方法与数学知识的”合理组合。希望合理组合。希望教师要做教学的有心人，培养学生学会用数学教师要做教学的有心人，培养学生学会用数学思维方法发现问题、提出问题、分析问题、解思维方法发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，从而让学生的数学思维能力得到切实、决问题，从而让学生的数学思维能力得到切实、有效地发展，进而提高全民族的数学文化素养。有效地发展，进而提高全民族的数学文化素养。61.62.
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