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1、悖论教学法在高等数学教学中的应用探讨 摘要悖论教学法，是将悖论适当引入高等数学课堂中的一种教学方法。文章以高等数学课程改革为背景，探讨了悖论教学法在高数教学中的应用价值，并结合实践，提出了悖论设疑、导致悖论和悖论悬疑等行之有效的具体的课堂实施策略。 作者简介颜冠群（1983- ），女，江苏苏州人，南京师范大学人民武装学院，讲师，硕士，研究方向为数学教育、高等教育管理。（江苏 南京 210012） 一、悖论与悖论教学法 1.悖论。“悖论”一词源于古希腊，属逻辑学名词，也可称作“逆论”或“反论”。这个词的意义较为丰富，它囊括了一切与人的直觉和日常经验相矛盾的结论，现在多指在表面上看似能自圆其说的命
2、题或理论体系，在逻辑上却可以推导出互相矛盾的结论。 一般来说，数学中具体可分为三种悖论。一类称为“佯谬”，即这个论断看似绝对错误，却是正确的；一类论断恰恰相反，看似是正确的，实际却被证明是错误的；还有一类论断，它的一组推论看起来天衣无缝，却在逻辑上蕴含着自相矛盾。正如黑格尔所说：矛盾正是对知性的局限性的超越和这种局限性的消解。悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解、认识不够深刻或存在错误所导致的。而解决悖论的过程则是发展认识并超载这种历史局限性的过程。悖论的提出，曾经在历史上给数学带来极大的挑战和震撼。而随着对悖论不懈的探讨和研究，数学本身也成就了巨大的变革和发展。 2.悖论教学法。在以知识
3、为本位的传统教学中，悖论往往是受摈弃的，因为传统教学关注知识的传授与接收，对于悖论这般“似是而非”或是“自相矛盾”的论断避而不谈，以免淆惑视听是最佳之道。本文所探讨的悖论教学法，则反其道而行，是把悖论适当引入高数课堂的一种教学方法。在课上提出一个悖论，往往能激起学生巨大的好奇心和共鸣。他们一步步走入平坦无奇的小道，遵循着一条无懈可击的推理思路往前走，忽然之间，发现自己已置身于矛盾之中，究竟是哪错了？悖论造成的强烈震撼使思维陷入左右摇摆的境地，于是他们努力试图推翻它或是提出一系列的办法解决它。正是在这样不知不觉的过程中，学生也一步步走入了创设的课堂情境。可以说，正是由于悖论本身的奇妙魅力，在课堂
4、中若能不失时机地引入，并且应用得当，不但不会误入歧途，陷入思维误区，还将帮助学生认清问题的本质，激发学习的兴趣和内驱力。正如逻辑学家赫茨贝格说：“悖论之所以具有重大意义，是由于它们使我们看到我们对某些根本概念的理解存在多大的局限性，事实证明，它们是产生逻辑和语言的新观念的丰富源泉。” 悖论教学法的理论依据可以从两方面来探讨：一是从心理学理论来看。一方面，教师在课堂中设计合理的悖论，诱使学生走入“错误的泥潭”。学生发现后必然在心理上产生警觉，这种警觉可以有效防止思维定式的消极作用。另一方面，在教学中适时引入悖论，然后再加以否定，通过正误对比，可引起学生的注意，使学生记忆深刻。二是从学习理论来看。
5、悖论教学法可以将学习转化为学生自主的积极活动，学习不再是被动接受知识的过程，而是主动建构的过程。学生在发现、分析和消除悖论的过程中，进行知识建构、自主学习和重新调整自己的认知结构，使知识经验更丰富和知识结构更合理、更系统。 二、悖论教学法的应用价值 1.激发学生对数学的兴趣。在传统的高数课堂教学实践中，学生往往觉得数学理论枯燥乏味、烦琐难懂，导致学生课堂持续注意时间普遍较短，学习内容和效果都很难得到有效落实。悖论教学法的实质，是让学生心理形成一种认知失调，以激发其探究心理，培养直接或近景性的内在学习动力。所谓“不愤不启，不悱不发”。在数学课堂中适时引入悖论，正是创设了一个新颖、有效的探究性学习
6、情境，使其与学生原有的知识结构、思维定式产生矛盾，引发知识结构上的不协调和进一步冲突，造成心理上的悬念和思维上的刺激，激发学生学习探索的兴趣。在实践中适当应用悖论教学法，发起积极主动参与的数学活动，让个体体验到有能力来对待外部世界所带来的变化，激发学生的学习动机，主动探索新情境；也让学生体会到数学并非“空中楼阁”，而是真正地源于生活，高于生活。 2.有助于理解数学内涵与本质。数学知识往往包含多重属性，学生对某一知识、概念的学习要经历逐步剔除非本质属性，从干扰因素中辨析出本质内涵的“曲折”思维进程。高等数学中涉及的概念大都是以无限结构为思想基础建立的，理论性强，较为抽象，逻辑结构严密而复杂，要把
7、握其中的内涵往往比较困难。悖论的课堂应用恰恰对思维进行了辨析、比较的操练，加强了思维的曲折感和冲击力，让学生的认知水平从思维表层进一步深入，落实到深处。同时，数学知识的理解过程，也是灵活运用和拓展的过程。在实践教学中，对悖论如此“鲜活”的实例思考过程正是在应用中巩固、拓展的过程。在选择悖论时，教师可适当加工处理，并精心设计，加强其与课堂知识的联系，体现知识的结构性和系统性，帮助学生实现有效的正向迁移。 3.提升学生的数学思维品质。“数学是一门理性思维的学科”。在新一轮的高数课程改革中，我们普遍认为：有效的数学学习活动不能依靠单纯的模仿和记忆，主动实践、自主探索和合作交流是学习的重要方式。课堂上
8、，一个悖论的提出、分析和消解的过程，往往是对一个数学概念或理论从表面到实质、从片面到全面、从错误到正确的认识过程。悖论不失为理解数学问题和锻炼数学思维的良好契合点。引导学生主动参与数学活动和策略游戏，正是对学生思维的广度、深度开展训练。学生在悖论的分析和解决中开拓思路，深化问题，经历数学结论的获得过程，同时培养思维的批判性、敏捷性和创造性，提高数学推理、空间推理和逻辑推理能力。 4.培养学生数学的审美能力。“数学实质上是艺术的一种”。可以说，“哪里有数学，哪里就有美”。数学之美是数学科学力量的理性之美，也是通过数学思维结构折射出的人类力量之美。悖论以揭露理论内在深刻矛盾的方式提出问题，对悖论问
9、题的探究，正是审美主体对于数学中存在的美的真实反映，在感受、追求和欣赏的同时，不仅让学生对数学美充满热忱信念，也让他们体会到数学美的精髓。这种美不单是形式上对称、划一的和谐美，更是逻辑上的抽象美、结构上的整体美、内容上的严谨美、方法上的创造美和思路上的应用美。悖论教学法让学生更直观感受到现代数学所具有的美妙、多样，甚至幽默性质，培养了学生对数学美的鉴赏力，可以作为当前高数课程改革的有益尝试。 三、悖论教学法的应用策略 1.悖论设疑，导入新课。导入新课是指在讲授新的知识内容之前，教师本着一定的教学目标，根据具体内容的特点，精心设计与教学内容相关的引子，引导学生进入学习状态的行为方式。目的在于调动
10、学生的积极性，点明课堂教学的主要内容，为讲授新课做好铺垫，是教学中一个重要的环节。成功的课堂导入好比磁铁，能牢牢地吸引学生的注意力，拨动学生的思维之弦，使之产生强烈的求知欲望和高涨的学习热情。悖论在部分数学知识讲授前就可以作为很好的引子进行设疑，引出新的知识点。 2.导致悖论，巩固知识。在高数课堂教学实践中，我们发现，由于认知水平的局限性或是负迁移的作用，学生对数学概念的理解往往不能准确把握，经常处于一知半解、似懂非懂的状态。因此，知识的巩固必须贯穿于教学过程的始终，学生对学习内容的感知、理解和实际应用，都会对知识的巩固起到重要作用。在课堂上恰当导致悖论，正确引导，可以有效加深理解，把握实质。
11、导致悖论教学法的关键是在讲授过新的知识点后，设法引出悖论，然后再用事实、理据否定它，从而澄清错误概念，真正牢固树立起正确的概念。 3.悖论悬疑，承前启后。在传统高数课堂教学中，教师总津津乐道于在一节课上解决了多少问题。而在新一轮的课改中，我们定位于学生是课堂学习的主人，那作为教师，就应该努力把没有“问题”的学生教成有“问题”的学生。理想的一节课，不是教了几个概念，讲授了几条定理，而是在解决问题的过程中，又产生了多少新问题。只有这些无穷无尽的问题，才能引起学生的思考和探索。现实中的数学悖论就是一种不错的案例，有一些甚至已经成为了“悬案”，这样的悬疑无须避讳，倒不妨在课堂最后作为课堂小结的延伸，留给学生去讨论、去思考。这些悖论悬疑，可以成为吸引学生继续前行的动力。