《2018届高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系教师用书理选修4_4201710142272.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系教师用书理选修4_4201710142272.doc（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第一节坐标系2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。2016，全国卷，23,10分(直角坐标方程化极坐标方程，极坐标方程的应用)2016，全国卷，23,10分(直角坐标方程化极坐标方程，极坐标方程的应用)2015，全国卷，23,10分(圆的极坐标，求三角形面积)2015，全国卷，23,10分(直角坐标方程化极坐标方程，极坐标方程的应用)直角坐标方程与极坐标方程的互化，求极坐标方
2、程，利用极坐标方程解决问题是本部分的热点内容，主要以解答题的形式出现，难度中等。微知识小题练自|主|排|查1平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2极坐标的概念(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做_极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系。(2)极坐标：对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长，表示以Ox为始边、OM为终边的角度，叫做点M的极径，叫做点
3、M的极角，有序实数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)。当点M在极点时，它的极径0，极角可以取任意值。(3)点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当kZ时，(，)，(，2k)，(，(2k1)表示同一个点，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的。如果规定0,02，或者，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了。3极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示。(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0，0,2)，于是极坐标
4、与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式2x2y2 tan(x0)在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角。4常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos圆心为，半径为r的圆2rsin(0)过极点，倾斜角为的直线(1)(R)或(R)(2)(0)和(0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cosa过点，与极轴平行的直线sina(0)过点(a,0)，倾斜角为的直线sin()asin微点提醒1应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标P(x，y)与变换后的点的坐标Q(X，Y)。2直角坐标方程
5、与极坐标方程的互化问题，要注意互化时要将极坐标方程作适当转化；(1)若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可用公式形式。(2)为了出现公式形式，两边可以同乘以。小|题|快|练1在同一平面直角坐标系中，直线x2y2经过伸缩变换后，变成直线_。【解析】由伸缩变换得将其代入x2y2得2xy4。【答案】2xy42在极坐标系中，已知两点P，Q，则线段PQ的长度为_。【解析】P，Q在过极点且与极轴成的直线上，它们位于极点的两侧，因此|PQ|516。【答案】63直角坐标方程x2y28y0的极坐标方程为_。【解析】因为x2y22，ysin，所以原方程可化为28sin0。所以0或8sin。经检验，得所求的
6、极坐标方程为8sin。【答案】8sin4极坐标方程6cos的直角坐标方程为_。【解析】原方程可化为6coscos6sinsin，方程两边同乘，得23cos3sin，由2x2y2，cosx，siny，得所求的直角坐标方程为x2y23x3y0。【答案】x2y23x3y05在极坐标系中，圆心在(，)且过极点的圆的方程为_。【解析】如图，O为极点，OB为直径，A(，)，则ABO，OB2，化简得2cos。【答案】2cos微考点大课堂考点一 图形的伸缩变换【典例1】求曲线ysin经伸缩变换后的曲线方程。【解析】由得将代入ysin，得2ysin，即ysin。故变换后的曲线方程为ysin。【答案】ysin反思
7、归纳求经伸缩变换后曲线方程的方法平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x)，得f，整理之后得到yh(x)，即为所求变换之后的方程。【变式训练】求双曲线C：x21经过：变换后所得曲线C的焦点坐标。【解析】设曲线C上任意一点P(x，y)，由上述可知，将代入x21得1，化简得1。即1为曲线C的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(5,0)，F2(5,0)为所求。【答案】F1(5,0)，F2(5,0)考点二极坐标与直角坐标的互化【典例2】(1)已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离。(2)已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径。【
8、解析】(1)由2sin，得2，yx1。由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，2)，d。(2)以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy。圆C的极坐标方程为2240，化简，得22sin2cos40。则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为。【答案】(1)(2)反思归纳极坐标方程与普通方程互化技巧1巧用极坐标方程两边同乘以或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos，sin，2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程。2巧借两角和差公式，转化sin()或cos()的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程。3将
9、直角坐标方程中的x转化为cos，将y换成sin，即可得到其极坐标方程。【变式训练】O1和O2的极坐标方程分别为4cos，4sin。(1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程。【解析】以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。(1)4cos，两边同乘以，得24cos；4sin，两边同乘以，得24sin。由cosx，siny，2x2y2，得O1，O2的直角坐标方程分别为x2y24x0和x2y24y0。(2)得4x4y0，即xy0为所求直线方程。【答案】(1)O1，O2的直角坐标方程分别为x2y24x0和x2y2
10、4y0(2)xy0考点三 求曲线的极坐标方程【典例3】(2017铁岭模拟)在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为sin2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|OM|4，记点P的轨迹为C2。(1)求曲线C2的极坐标方程；(2)求曲线C2上的点到直线cos距离的最大值。【解析】(1)设P(1，)，M(2，)，由|OP|OM|4，得124，即2。因为M是C1上任意一点，所以2sin2，即sin2，12sin。所以曲线C2的极坐标方程为2sin。(2)由2sin，得22sin，即x2y22y0，化为标准方程为x2(y1)21，则曲线C2的圆心坐标为(0,1)，半径为1，由直线cos，
11、得：coscossinsin，即xy2，圆心(0,1)到直线xy2的距离为d，所以曲线C2上的点到直线cos距离的最大值为1。【答案】(1)2sin(2)1反思归纳求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程。【变式训练】在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程。【解析】在sin中，令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)。如图所示，因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC 1，于是圆C过极
12、点，所以圆C的极坐标方程为2cos。【答案】2cos考点四 极坐标方程的应用【典例4】(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos。(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a的值。【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2。C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆。将xcos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin1a20。(2)曲线C1，C2
13、的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sincos1a20，由已知tan2，可得16cos28sincos0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1。a1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上。所以a1。【答案】(1)C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆C1的极坐标方程为22sin1a20(2)a1反思归纳运用极坐标方程的几何意义可求解交点、长度、距离、最值等几何问题。近几年高考在这方面加强了使用极坐标解决几何问题的力度。【变式训练】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2sin3，射线OM：与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长。【解析】(1)由题意可得圆C的普通方程为(x1)2y21，又xcos，ysin ，所以圆C的极坐标方程为2cos。(2)设点P(1，1)，由解得设点Q(2，2)，由解得所以|PQ|2。【答案】(1)2cos(2)|PQ|2微考场新提升1在极坐标系(，)(00)。(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(，)(0，00)。由直线l与C2相切，得a，故a1。答案(1)(2)1- 10 -