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1、三 平面与圆锥面的截线互动课堂重难突破一、在空间中,取直线l为轴,直线l与l相交于O点,其夹角为,l围绕l旋转得到以O为顶点,l为母线的圆锥面.任取平面,若它与轴l交角为（与l平行,记0）,则（1）,平面与圆锥的交线为圆;（2）,平面与圆锥的交线为椭圆;（3）,平面与圆锥的交线为抛物线;（4）,平面与圆锥的交线为双曲线.图3-3-1二、刨根问底问题 椭圆为封闭图形,双曲线、抛物线为不封闭图形,其图形不一样,但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到,它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数,即离心率e,定义上的统一,必然也蕴含着图形统一,应该如何解释这种现象呢？探究:我们知道,椭圆时离
2、心率e越大,椭圆越扁;双曲线时离心率e越大,双曲线开口越大.随着e的增大,椭圆越变越扁,但左半部分开口越来越大,左顶点离l越来越近,而右顶点离F点越来越远;当e趋近于1时,左顶点趋近于F与l间的中点,而右顶点趋向无穷远处;当e =1时,我们可以大胆地认为右顶点在无穷远处,此时曲线变为抛物线;当e1时,开口越来越大,右顶点超过无穷远处并开始返回,此时曲线变为双曲线两支,或认为双曲线两支无限延伸交于无穷远处,如图3-3-3.图3-3-3于是我们可以猜想:三条圆锥曲线都为封闭图形,其形状都为椭圆,所以,圆锥曲线在图形上依然存在着统一.这是一种无限的思想,所以我们可更大胆猜想如果人一直往前走,当生命允
3、许的话,最终会走到自己的背后.我们可以在理论上对图形的统一性进行探索.因为顶点（曲线与两个坐标轴的交点）如A1是圆锥曲线上的点,所以满足=e,当e1时,A1向中点靠近;当 e =1时,A1位于中点;当e+时,A1向N靠近.这里A1只是的内分点,其实满足的还有一个外分点,即另一顶点A2,满足.当e1时,圆锥曲线为双曲线,外分点A2位于NF的反向延长线上;e+时,A2从左侧向N靠近.这也揭示了为什么椭圆有两个顶点,抛物线只有一个顶点,双曲线有两个顶点,及它们之间的区别,你可以由此进一步理解圆锥曲线的内在统一性.活学巧用【例1】利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部,一个位于平面的上方,一
4、个位于平面的下方,并且与平面及圆锥均相切）证明,平面与圆锥的交线为椭圆.图3-3-2思路解析:点A到点F的距离与点A到直线m的距离比小于1.证法一:利用椭圆第一定义,证明FA +AE =BA +AC =定值,详见课本.证法二:上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆,并与圆锥的底面平行,记这个圆所在平面为;如果平面与平面的交线为m,在图中椭圆上任取一点A,该Dandelin球与平面的切点为F,则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是（小于1）（称点F为这个椭圆的焦点,直线m为椭圆的准线,常数为离心率e）.【例2】 一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.思路解析:两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,可以找到动圆圆心满足的条件.解:两定圆的圆心和半径分别为O1（-3,0）,r1=1;O2（3,0）,r 2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设条件可得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R.|MO1|+|MO2|=10.由椭圆的定义知道M在以O1、O2为焦点的椭圆上,且a =5,c =3.b2 = a2 - c2 = 25- 9 =16.故动圆圆心的轨迹方程为+.2