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1、与几何体相关的计算问题 主讲人：朱志宏一知识点梳理：1投影：由于光的照射，在不透明的物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影；把光线叫投影线；留下物体影子的屏幕叫投影面 （1）中心投影：光由一点向外散射所形成的投影；（2）平行投影：在一束平行光照射下形成的投影2视图：把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形但只有一个平面图形难以把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影3（1）光线从几何体的前面向后面正投影所得到的投影图叫做几何体的正视图；（2）光线从几何体的左面向右面正投影所得到的投影图叫做几何体侧视图；（3）
2、光线从几何体的上面向下面正投影所得到的投影图叫做几何体的俯视图；（4）正、俯长对正；正、侧高平齐；俯、侧宽相等注意：若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的边界线在三视图中，边界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出绘制与检查时，应先从整体到局部顺序进行先定主视俯视左视方向，同一物体放的位置不同，三视图可能不一样观察组合体由哪些基本几何体形成，什么形成方式，交线位置如何4斜二测画法的三个步骤：（1）在已知的图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴 交于点，且使 (或)，它们确定的平面表示水平面若图形是空间几何体，则还需画轴，且使, ；（2）已
3、知图形中平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、 轴或轴的线段（3）已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原来的长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半，平行于轴的线段，在直观图中保持原来的长度不变5棱柱棱锥棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和6圆柱、圆锥、圆台的表面积： , , 7柱体锥体台体的体积： 8球的表面积和体积： 9空间两条直线的位置关系相交直线 在同一平面内，有且只有一个公共点平行直线 在同一平面内，没有公共点异面直线 不同在任何一个平面的两条直线，没有公共点10空间角的计算1）角
4、：异面直线所成的角 异面直线所成的角：在空间中任取一点，过点作两条直线分别平行于两条异面直线，则两条相交直线所成的的角即为两条异面直线所成的角异面直线所成的角的范围：异面直线所成的角可以通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线补形法等两异面直线所成的角为，直线的方向向量分别为，则2）直线和平面所成的角直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指这条直线和它在平面内的射影所成的锐角；直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为；直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角为；设直线的方向向量和平面的法向量分别为，则直线与和平面所成的角的正弦值为3）二面角的大小是通过其平面角来度量的，而二面角的平面
5、角须具有以下三个特点：顶点在棱上； 两边分别在两个面内； 与棱都垂直； 二面角的大小为0, 求二面角的大小的常用方法： 定义法：过棱上任意一点在两个半平面内作与棱垂直的射线，则两条射线所夹的角就是这个二面角的平面角 三垂线定理法：当涉及的问题中有二面角的一个面的垂线(或需要作出此垂线)时，常采用此方法 垂面法：过空间一点作二面角的垂面，那么这个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线所成的角是二面角的平面角用这种方法求二面角的度数我们称之为垂面法，垂面法是求二面角的基本方法 射影法：当二面角的一个面上的封闭几何图形的面积和它在另一个面上的射影的面积都易计算时，求二面角常用射影法设平面与平
6、面的法向量分别为，则二面角与所成的角相等或互补8空间距离的计算：点到平面的距离：平面外一点与它在平面上的射影之间的距离叫做点与平面的距离，若平面的法向量为，平面外一点与平面内任意一点对应的向量为，则点与平面的距离二、例题讲解:1 等腰梯形中，上底边， 腰 , 下底，按平行于上、下底边取轴，求直观图的面积2如图，已知几何体的三视图，（1） 画出这个几何体的直观图； （2） 求这个几何体的表面积和体积3 正三棱锥的侧棱长为，各侧面的顶角为30，为侧棱的中点，分别在侧棱上，当周长最小时，截得的三棱锥的侧面积为多少？4某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积最大值是多少？5某高速公路收费站入口处
7、的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH图5图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图; （2）求该安全标识墩的体积6 如图，在四棱锥中，底面是矩形,平面，分别是的中点,求三棱锥的体积7 已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上， 球心在上，底面，求球的体积与三棱锥体积之比8例等腰梯形中，,是的中点，将与分别沿向上折起，使重合，求形成的三棱锥的外接球的体积9 在正方体中，是棱的中点，求直线的平面所成的角的正弦值10如图，二面角的大小是60，线段，与所成的角为30,求与平面所成的角的正弦值11如右图，平面， ，
8、分别为的中点（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值12如左图，四棱锥中，侧面为等边三角形，求与平面所成的角的大小13如图，在四面体中，平面平面，()若，求四面体的体积； ()若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值14 已知正方体的棱长为，点是正方形的中心，点分别是棱的中点设点分别是点，在平面内的正投影()求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积； ()证明：直线；()求异面直线所成角的正弦值15如图，在长方体中，分别是棱、上的点，()求异面直线与所成角的余弦值；()证明：平面；() 求二面角的正弦值（文科不做）16 在四棱锥中，平面，底面是菱形， ()若，求与所成角
9、的余弦值；()当平面与平面垂直时，求的长17 与正方体的三条棱所在直线距离相等的点有多少个？18 如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使平面平面在平面内过点作，为垂足设，求的取值范围是19如图，在三棱柱中，是正方形的中心，且 ()求异面直线所成角的余弦值；() 求二面角的正弦值（文科不做）；()设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长 平行与垂直主讲人：洪素珍一知识点梳理：一、证明线线平行的方法1线面平行的性质定理 ：2面面平行的性质定理若一平面与两平行平面同时相交,则两交线平行3线面垂直的性质定理同时与一平面垂直的两直线平行4公理4平行于同一直线的两直线平行
10、5定义两线共面且无公共点二、证明线面平行的方法1线面平行的判定定理 2面面平行的性质定理若两平面平行, 则一平面内的任一直线与另一面平行3定义法线面无公共点三、证明面面平行的方法1面面平行的判定定理1若一平面内的两相交直线都平行于另一平面，则两平面平行2面面平行的判定定理2垂直于同一直线的两平面平行3面面平行的判定定理3同时与第三个平面平行的两平面平行四、证明线线垂直的方法1线面垂直的性质一直线与平面垂直，则直线与平面内的所有直线垂直2三垂性定理及逆定理3等腰三角形中线即高4勾股定理五、证明线面垂直的方法1线面垂直的判定定理直线与平面内的两相交直线垂直2面面垂直的性质若两平面垂直,则在一面内垂
11、直于交线的直线必垂直于另一平面3线面垂直的性质_两平行线中有一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直4面面平行的性质一线垂直于二平行平面之一,则必垂直于另一平面六、证明面面垂直的方法1面面垂直的判定定理一平面经过了另一平面的一条垂线2定义法二面角为二、例题讲解:1，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A， B，C，共面 D，共点，共面2 若直线不平行于平面，且，则A内的所有直线与异面 B内不存在与平行的直线C内存在唯一的直线与平行 D内的直线与都相交3如图，在四面体中，点分别是棱的中点。（）求证：平面；（）求证：四边形为矩形；（ ）是否存在点，到四面体六条棱的中点的距离相等？说明理由。4在圆锥
12、中，已知，圆的直径，点在上，且，为的中点证明：平面5如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为中点，平面，为中点（）证明：/平面；（）证明：平面(求直线与平面所成角的正切值) 6如图，在中，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至，若点为的中点，为的中点，求证： (当棱锥的体积最大时，求PA的长；)7如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，60（）证明：；（）证明：平面8如图，在直三棱柱中，延长至点，使，连接交棱于求证：平面(求二面角平面角的余弦值)9如图，在三棱锥中，为的中点，平面，垂足落在线段上证明：10如图，四棱锥中，底面，点在线段上，且求证：平面（若，求四棱锥的体积）11如图，已知正三棱柱-的
13、底面边长为2，侧棱长为，点在侧棱上，点在侧棱上，且， 求证：（求二面角的大小）12如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形， 证明：平面 （求与平面所成的角的大小）13如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面（I）证明：；（II）设，求棱锥的高14如图，四边形为正方形，平面， 证明：平面（求棱锥的的体积与棱锥的体积的比值）15在中，是上的高，沿把折起，使证明：平面平面16如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，都是正三角形证明：直线（求棱锥的体积 ）直线与圆的位置关系的综合应用 主讲人：蔡正鹏一知识点梳理：1圆的方程的四种形式：圆的标准方程是圆的一般方程是圆的直径式方程是圆的参数方程是是参数）
14、2直线与圆的位置关系的判定方法:代数法：方程组解的个数交点个数；几何法：若圆心到直线距离，圆半径 ，则：相切，相交，相离涉及圆中弦的问题时，运用半弦长，半径，弦心距构成的直角三角形解题；涉及交点坐标问题时，联立方程组解题。3圆心距与半径的关系：两圆相离 两圆外切 两圆相交 圆圆内切 两圆内含 二例题讲解：例1：已知圆的圆心在直线上，且在轴上，在轴上截得的弦长分别是，求圆的方程。例2：（文科）已知圆满足：截轴所得弦长为；被轴分成两段圆弧，其弧长的比为31；圆心到直线的距离为，求该圆的方程（理科）已知圆满足：截轴所得弦长为；被轴分成两段圆弧，其弧长的比为31在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线的距
15、离最小的圆的方程例3：已知,为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值是例4：若与相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是 w 例5：设直线系对于下列四个命题：中所有直线均经过一个定点；存在定点不在中的任一条直线上；对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；中的直线所能围成的正三角形的面积都相等其中所有真命题的代号是 例6：过原点作一条倾斜角为的直线与圆相交于两点，则 _例7：已知圆,点为直线上的动点(I)若从到圆的切线长为，求点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； （II）若点，直线与圆的另一个交点分别为,求证:直线经过定点例8：在平面直角坐标系中，已知圆和圆（1
16、）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标三课后练习：1直线与圆的位置关系为（ ）A相交 B相切 C相离 D相交或相切直线过点且与圆交于两点，如果，那么直线的方程为（ ）A B或C D或已知两个不相等的实数满足以下关系式：，则连接两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是( )A相离 B相交 C相切 D不能确定已知圆，过圆内定点作两条相互垂直的弦和，那么四边形的面积最大值为( )A B C D5圆的方程为，圆的方程，过圆上任意一点作
17、圆的两条切线，切点分别为则的最小值是( )A12 B10 C6 D5若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A B C D 直线截圆得的劣弧所对的圆心角为（ ）A B C D过圆的圆心，作直线分别交正半轴于点，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足则直线有（ ）（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条若的最大值是 直线和圆交于两点，以为始边，为终边的角分别为，则的值为_若圆与圆的公共弦的长为，则_过原点作圆的两条切线，设切点分别为，则线段的长为_如图，是直线上的两点，且两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围成
18、图形面积的取值范围是 设有一组圆下列四个命题：存在一条定直线与所有的圆均相切存在一条定直线与所有的圆均相交存在一条定直线与所有的圆均不相交所有的圆均不经过原点其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）已知圆和直线(1)求证：不论取什么值，直线和圆总有两个不同的公共点；(2)求当取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长已知圆与直线相交于两点，为原点，且，求实数的值。一圆经过两点，且在两坐标轴上的四个截距和为，求此圆的方程。(本小题满分12分)如图，已知圆和直线，若圆上有且仅有两个点到的距离等于，求的取值范围(本小题满分12分)已知圆及点(1)若点在圆上，求直线的斜率；(2)若是圆上任一点
19、，求的最大值和最小值；(3)若点满足关系式，求的最大值圆锥曲线的定义与方程 主讲人：李中祥、思想方法整合一、圆锥曲线的定义二、求曲线方程常用的思想方法：1、直接法 如果题目中有明显的等量关系或可推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤（建系；设点；列式；化简；检验）直接求解，而不需要其它步骤或特殊的技巧2、定义法（待定系数法） 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程，然后借用待定系数法求解3、相关点法（代入法） 如果动点依赖于另一动点，而又在某已知曲线上，则可先列出关于的方程组，利用表示，把代入已知曲线方程即的所求4、参数法如果动点的坐标之间的关系不易找到，可考虑将用
20、一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程在选择参数时，选用的参变量应具有某种物理或几何性质，如时间、速度、距离、角度、直线的斜率、比值、截距等，还要注意它的取值范围对动点的坐标取值范围的影响5、交轨法求两动曲线交点的轨迹问题，可通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹的方程，该法经常与参数法并用注意：求轨迹与求轨迹方程有不同的要求，求轨迹时，首先求出轨迹方程，然后说明轨迹图形的形状、位置、大小若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性、典型问题解析一、选择题1方程的曲线是（ ）一条直线和一条双曲线 两条双曲线 两个点 以上答案都不对2是点在曲线上的（ ）充分不必要
21、条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件3已知点、，动点满足，则点的轨迹是（ ）圆 椭圆 双曲线 抛物线4已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为，则等于（ ） 5已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（ ） 6已知方程对应的图形是双曲线，那么的取值范围是（ ） 或 或 7已知双曲线的一条渐近线为，离心率则双曲线方程为（ ） 8与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是（ ） 和 和二、填空题9已知为椭圆和双曲线的一个交点，、为椭圆的两个焦点，那么的余弦值为 10已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为，则双曲线方程为 11过抛物线的焦点作倾斜角
22、为的直线，与抛物线分别交与、两点（点在轴左侧），则12设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程是 三、解答题13根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）经过点，且一条渐近线方程为；（2）与两个焦点的连成互相垂直，与两个顶点连成的夹角为14设是曲线上的一个动点（1）求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；（2）若，点是抛物线的焦点，求的最小值15求过点且与圆内切的圆的圆心的轨迹方程16已知、三点不在一条直线上，且、，（1）求点的轨迹方程；（2）过作直线交以、为焦点的椭圆于、两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求椭圆的方程圆锥曲线的离心率知识点梳理：1离心率及其
23、范围（1）椭圆：，范围 ；（2）双曲线：，范围 ；（3）抛物线：2离心率的几何意义（1）离心率为圆锥曲线上的点到 距离与到 距离的比值；（2）椭圆：离心率越大，椭圆越 ，离心率越小，椭圆越 ；双曲线：离心率越大，双曲线 ，离心率越小，双曲线 基础达标：1椭圆的离心率为 2若一个椭圆长轴长、短轴长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率为 3椭圆方程为()，且，则该椭圆的离心率为 考点突破：一、直接求出根据、，求离心率例1已知椭圆（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该椭圆的离心率为 二、构造、，的等式，求离心率例2设双曲线（）的半焦距为，且原点到过，两点直线的距离为，则双曲线的离心率为 例3如图，椭圆
24、（）的两个焦点分别为、，以线段为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为 三、构造、，的不等式，求离心率的取值范围例4椭圆：上存在点使求椭圆离心率的取值范围；例5双曲线的焦距为，直线过点和，且点到直线的距离与点到直线的距离之和求双曲线的离心率的取值范围四、综合问题例6已知，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，过其右焦点作斜率为1的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在一点C，使，求椭圆的离心率练习：1若双曲线的离心率为2，则等于 2已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 3过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 4椭圆（）的四个顶点为A、B、
25、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 5双曲线（）的两个焦点分别为、，以线段为边作正三角形，若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为 6如图所示，、是椭圆（）的两个端点，是右焦点，且，则椭圆的离心率为 7已知双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，且，则双曲线的离心率是 8已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 9双曲线（）的两个焦点为、，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为 10已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则椭圆离心率的取值范围是 11已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的
26、取值范围为 直线与圆锥曲线综合问题知识点梳理：一直线与圆锥曲线的位置关系设直线，与圆锥曲线，由得(1)若，则，直线与圆锥曲线有_交点；，直线l与圆锥曲线有_公共点；，直线l与圆锥曲线_公共点(2)若，当圆锥曲线为双曲线时，与双曲线的渐近线_；当圆锥曲线为抛物线时，与抛物线的对称轴_二弦长公式直线与圆锥曲线交于两点，则（1）若直线斜率为，则 ；或 （2）若直线斜率不存在，|AB| 特别地，若圆锥曲线曲线是抛物线，且直线过抛物线的焦点，则|AB| ，若直线l过抛物线的焦点且垂直于抛物线的对称轴，则|AB|称为通径，其长度为 ，抛物线的焦点弦中，通径最短三中点弦问题（1）直线l与椭圆（）交于两点，弦
27、AB的中点坐标为，则直线l的斜率为 ；若将椭圆换为双曲线，则直线l的斜率为 ；若将椭圆换为抛物线（），则直线l的斜率为 （2）解决中点弦问题常使用韦达定理与中点公式，也可以使用点差法：用点差法求直线的斜率或直线的方程后要注意检验是否合乎题意四与圆锥曲线有关的最值和定值基础达标：1椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则PQF2的周长为 _2过抛物线()的焦点，倾斜角为45的直线截得的线段长为_3已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围考点突破：一、弦长问题例1
28、抛物线的顶点为O，点的坐标为(5，0)，（1）如图1，过点倾斜角为的直线交抛物线于、两点，求的长；（2）在（1）的前提下，为抛物线上、中间任意一点，求面积的最大值；二、中点弦问题例2已知双曲线C：与点(1)求过点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点(2)试判断以为中点的弦是否存在三、定值与最值问题例3设椭圆C：（）的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，求证点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值四、综合问题例4试确定的取值范围，使得椭圆上有不同两点关于直线对称练习：1斜
29、率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )A2 B C D 2在抛物线内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是 3已知、是抛物线上的两点，是抛物线的顶点，(1)求证：直线过定点；(2)设弦的中点为，求点到直线的距离的最小值4已知椭圆C经过点，两个焦点为，（1）求椭圆C的方程；（2）， 是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，试证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值5如图，已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率（1）求椭圆的方程；（2）求的角平分线所在直线的方程；（3）在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由第 31 页 共 31 页