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1、 64目 录前言 2第一章 高中数学解题基本方法 3一、 配方法 3 二、 换元法 7三、 待定系数法 14四、 定义法 19五、 数学归纳法 23六、 参数法 28七、 反证法 32八、 消去法 九、 分析与综合法 十、 特殊与一般法 十一、 类比与归纳法 十二、 观察与实验法 第二章 高中数学常用的数学思想 35一、 数形结合思想 35二、 分类讨论思想 41三、 函数与方程思想 47四、 转化（化归）思想 54第三章 高考热点问题和解题策略 59一、 应用问题 59二、 探索性问题 65三、 选择题解答策略 71四、 填空题解答策略 77附录 一、 高考数学试卷分析 二、 两套高考模拟试
2、卷 三、 参考答案 前 言美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归
3、纳法、演绎法等； 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化
4、与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几
5、个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。第一章 高中数学解题基本方法一、 配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将
6、其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab)a2abb，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos）；x(
7、x)2(x)2 ； 等等。、再现性题组：1. 在正项等比数列a中，asa+2asa+aa=25，则 aa_。2. 方程xy4kx2y5k0表示圆的充要条件是_。 A. k1 B. k1 C. kR D. k或k13. 已知sincos1，则sincos的值为_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函数ylog (2x5x3)的单调递增区间是_。 A. （, B. ,+) C. (, D. ,3)5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a_。【简解】 1小题：利用等比数列性质aaa，将已知等式左边后配方（aa）易求。答案是：5
8、。 2小题：配方成圆的标准方程形式(xa)(yb)r，解r0即可，选B。 3小题：已知等式经配方成(sincos)2sincos1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题：答案3。、示范性题组：例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_。 A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的
9、全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：。长方体所求对角线长为：5所以选B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2. 设方程xkx2=0的两实根为p、q，若()+()7成立，求实数k的取值范围。【解】方程xkx2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：pqk，pq2 ,()+()7， 解得k或k 。又 p、q为方程xkx2=0的两实根， k80即k2或k2综合起来，k的取值范围是：k 或者 k。【注】 关于实系数一元二次方程问题，总
10、是先考虑根的判别式“”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pq、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成pq与pq的组合式。假如本题不对“”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。例3. 设非零复数a、b满足aabb=0，求()() 。【分析】 对已知式可以联想：变形为()()10，则 （为1的立方虚根）；或配方为(ab)ab 。则代入所求式即得。【解】由aabb=0变形得：()()10 ，设，则10，可知为1的立方虚根，所以：，1。又由aabb=0变形得：(ab)ab ，
11、所以 ()()()()()()2 。【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。【另解】由aabb0变形得：()()10 ，解出后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式()()后，完成后面的运算。此方法用于只是未联想到时进行解题。假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由aabb0解出：ab，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是
12、转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然
13、有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4220，先变形为设2t（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y的值域时，易发现x0,1，设xsin ，0,，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件xyr（r0）时，则可作三角代换xrcos、yrsin化为三角问题。均值换元，如遇到xyS形式时，设xt，yt等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取
14、，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和0,。、再现性题组：1.ysinxcosxsinx+cosx的最大值是_。2.设f(x1)log(4x) （a1），则f(x)的值域是_。3.已知数列a中，a1，aaaa，则数列通项a_。4.设实数x、y满足x2xy10，则xy的取值范围是_。5.方程3的解是_。6.不等式log(21) log(22)2的解集是_。【简解】1小题：设sinx+cosxt,，则yt，对称轴t1，当t，y；2小题：设x1t (t1)，则f(t)log-(t-1)4，所以值域为(,log4；3小题：已知变形为1,设b，则b1,b1(n
15、1)(-1)n，所以a；4小题：设xyk，则x2kx10, 4k40,所以k1或k1；5小题：设3y，则3y2y10,解得y，所以x1；6小题：设log(21)y，则y(y1)2，解得2y0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最小值。【解】 设sinxcosxt，则t-,，由(sinxcosx)12sinxcosx得：sinxcosx f(x)g(t)(t2a) （a0），t-,t-时，取最小值：2a2a当2a时，t，取最大值：2a2a ；当00恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）【分析】不等式中log、 log、log三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难
16、发现，再实施换元法。【解】 设logt，则loglog3log3log3t，log2log2t，代入后原不等式简化为（3t）x2tx2t0，它对一切实数x恒成立，所以：，解得 t0即log001，解得0a0恒成立，求k的范围。【分析】由已知条件1，可以发现它与ab1有相似之处，于是实施三角换元。【解】由1，设cos，sin，即： 代入不等式xyk0得：3cos4sink0，即k3cos4sin5sin(+) 所以k0 k 平面区域本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式axbyc0 (a0)所表示的区域为直线axbyc0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题
17、不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上xyk0的区域。即当直线xyk0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由0可求得k3,所以k0的解集是(,)，则ab的值是_。A. 10 B. 10 C. 14 D. 143. 在(1x)（1x）的展开式中，x的系数是_。A. 297 B.252 C. 297 D. 2074. 函数yabcos3x (b0，7x0，x0。设V(15aax)(7bbx)x (a0,b0） 要使用均值不等式，则解得：a， b ， x3 。 从而V()(x)x()27576。所以当x3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是
18、576cm。【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V(15aax)(7x)bx 或 (15x)(7aax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。四、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用
19、定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。、再现性题组：1. 已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，AB的元素个数为n，则_。A. 2n9 B. 7n9 C. 5n9 D. 5n72. 设MP、OM、AT分别是46角的正弦线、余弦线和正切线，则_。A. MPOMAT B. OMMPAT C. ATOMMP D. OMATMP3. 复数za2，z2，如果|z| |z|，则实数a的取值范围是_。A. 1a1 C. a0 D. a14. 椭圆1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为_。A. 8 C. 7.5 C. D. 35. 奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(
20、)的值为_。A. T B. 0 C. D. 不能确定6. 正三棱台的侧棱与底面成45角，则其侧面与底面所成角的正切值为_。【简解】1小题：利用并集定义，选B；2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B；3小题：利用复数模的定义得0得：0x1设xx， x+x (x+x)( x+x)1 f(x)f(x)0即f(x)在(,1)上是减函数 1 ylogf(x) 在(,1)上是增函数。 A A D C C O H B B 【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法。例3. 如图，已知ABCABC是正三棱柱，D是AC中点
21、。 证明：AB平面DBC； 假设ABBC，求二面角DBCC的度数。（94年全国理）【分析】 由线面平行的定义来证问，即通过证AB平行平面DBC内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求问。【解】 连接BC交BC于O, 连接OD ABCABC是正三棱柱 四边形BBCC是矩形 O是BC中点ABC中， D是AC中点 ABOD AB平面DBC 作DHBC于H，连接OH DH平面BCC ABOD, ABBC BCOD BCOH 即DOH为所求二面角的平面角。设AC1，作OEBC于E，则DHsin60，BH，EH ； RtBOH中，OHBHEH， OHDH DOH45，即二面角DBCC的度数为45。