[理学]世界杯冠军与八强的预测数学模型一等奖论文.doc

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1、 2010年湖南师范大学大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读学校颁发的大学生数学建模竞赛的通知与规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： A题 我们的参赛报名号为（如果

2、赛区设置报名号的话）： 团队名称 ： shujiyuan08 参赛队员 (打印并签名) ：1. 徐 所属学院 数计院 联系电话 2. 李 所属学院 数计院 联系电话 3. 王 所属学院 数计院 联系电话 日期： 2010年 5 月 31 日2010年南非世界杯冠军与八强的预测模型摘要世界杯是全世界的一次足球盛会，每届世界杯前夕对冠军的预测成为人们所讨论的热点问题。本文就2010年南非世界杯的冠军及八强的预测建立了数学模型进行了探讨。本文依据南非世界杯赛程，收集了：球队历年交锋记录、世界排名情况、国际足联评分标准等数据，运用了“层次分析法”对本届世界杯前期对手之间的交锋情况（相对实力）进行建模，

3、运用了“六场分析法”对各球队最近比赛状态进行了分析，综合考虑了双方的交锋情况（相对实力）、球队国际排名（绝对实力）、球队近期状态三个因素对杯赛的影响，并且依据2006年德国世界杯比赛的相关情况对这三个因素的影响大小（权数）进行了模拟，该过程运用了“最小二乘法”进行了求解。在建模过程中，我们依据国际足联的评分规则，对不同级别的赛事中不同结果比赛进行了加权处理，另外运用了MATLAB、Excel表格、C/C+等多种计算工具对数据进行了处理，预测了本届世界杯冠军以及8强球队，结果为：巴西队捧得本届“大力神”杯，八强中的其他7支球队分别是法国，阿根廷，英格兰，德国，荷兰，意大利和西班牙 。 最后，我们

4、对模型的优缺点进行了评价，讨论了其推广应用的价值。关键字：层次分析法，世界排名，六场分析法，最小二乘法，加权处理，MATLAB，C/C+。1. 问题的重述1930年世界杯足球赛举办首届, 每4年举行一次,迄今整整80年,中间除二战影响停办两届,已经成功举行了18届,每届世界杯赛前夕,对当届世界杯赛的冠军预测,对进入前8强队伍的预测,始终是一个热门话题，下面请就今年的第19届南非世界杯赛,利用各大网站或书籍上收集到的资料,各小组预选赛的成绩以及以往在大赛中对抗的成绩,给出一些合理的假设与前提,并对今年参赛的队伍建立一个适当的数学模型,给出你对这届世界杯的冠军和8强的预测结果.2.模型假设（1）3

5、2支队伍对比赛场地，当地气候，海拔等外界环境具有相同的适应能力；（2）恶劣天气等突发状况对比赛中各队发挥的影响相当；（3）32支队伍在比赛期间阵容齐整，球员身体健康，不存在球员受伤或离队情况；（4）裁判判罚尺度分明，执法公平公正；（5）每个球员都有良好的职业操守，每场比赛均能全力以赴，不存在打假球的情况；3符号说明 : 级别比赛权数 : 比赛结果为的权数 : X队在级别比赛取得成绩的场次 : X队在相对实力向量计算中的得分 : X队的“相对实力值” : X队的最新世界排名 : X队最新世界排名对应的积分 : 的最大值 : X队的“排名积分值” : X队的对手强度OR : 对手最新世界排名 :

6、在“状态值”求解中的名义得分 : 在“状态值”求解中的实际得分 : “状态值” : 与对手交锋情况对综合实力影响的权数 : 最新世界排名对综合实力影响的权数 : 球队近期状态对综合实力影响的权数 : X队的综合实力 : 得分矩阵G : 情况矩阵E : 比较矩阵4问题分析及模型建立这是一个关于足球比赛结果预测的问题，总共有32支队伍，分为A、B、C、D、E、F、G、H8个小组，其分别为：A组：南非、墨西哥、乌拉圭、法国 B组：阿根廷、尼日利亚、韩国、希腊 C组：英国、美国、阿尔及利亚、斯洛文尼亚 D组：德国、澳大利亚、塞尔维亚、加纳 E组：荷兰、丹麦、日本、喀麦隆 F组：意大利、巴拉圭、新西兰、

7、斯洛文尼亚 G组：巴西、朝鲜、科特迪瓦、葡萄牙 H组：西班牙、瑞士、洪都拉斯、智利赛程：首先小组内部每队分别与其他三队各赛一场，最后按积分排名，选出头两名晋级16强，然后按以下图示赛程进行决赛阶段的比赛： 表一：世界杯决赛阶段赛程表B2C1D2E1F2G1H2？VS？ ？A1？B1A2C2D1E2F2G2H1冠军？4.1赛前对手之间交锋情况模型：我们都知道，双方以前的交锋情况在很大程度上能反映它们之间的相对实力大小，所以有必要对双方交锋情况建立模型，进行分析。4.1.1比赛有级别之分，而不同球队对不同级别的比赛重视程度有别，所以比赛的级别对我们评价球队实力有影响。 根据国际足联计算各国世界排名

8、的标准（附件-1），大型足球比赛被分为以下几个级别，并被赋予不同的权值 世界杯正赛=4.0；洲际杯和联合会杯比赛=3.0世界杯预选赛=2.5友谊赛，邀请赛=1.0 4.1.2为了增加模型的精确性，我们还对比赛结果进行大胜（净胜球=3），小胜，平局，小负，大负（净输球=3）的区分：并对其分别赋予=5:4:3:2:1的权值； 4.1.3考虑到一个足球运动员的职业生涯为15年左右，因而只收集了交锋二队从1994年6月至2010年5月期间胜败情况进行分析（数据参见附件4）。4.1.4用层次分析法建立双方的赛前交锋占优模型得分Dx世界杯预选赛友谊赛世界杯正赛大胜小胜平局小负大负洲际赛或联合会杯对于交锋双

9、方a，b两队来说，每队各自的得分分别为在小组赛中，针对四只队伍a，b，c，d，列如下的比较矩阵：E=再采用类似权向量的计算方法，最终得到相对实力向量，Q值越大，其相对实力越强。而在杯赛的决赛阶段，由于采用的是淘汰赛制，所以对于比赛两队e，f来说，依据它们的比较矩阵，可求得实力向量，Q值较大者相对实力较强。4.2.世界排名模型：国际足联根据各队历年来的比赛结果，依据一定的标准，对各队每场比赛给以一个分数，再通过分数的累加，得到一个时间点的各球队世界排名。由此可见，世界排名在很大程度上能反映各球队的绝对实力，这对我们分析综合实力有较大的影响。以下是世界排名模型的建立：4.2.1我们搜集到本届杯赛3

10、2只球队的最新世界排名 及其对应积分 （附件2），且确定max()=；4.2.2定义“排名积分值” : =/ (0= 5.4.5类似5.1，5.2，5.3的求解方法，在2006年世界杯中：(1)1/8决赛 意大利vs.澳大利亚 两队相对实力向量为=( 1,1) (两队没有交锋)两队“排名积分值” =0.880 =0.740两队“状态值” = 0.914 =0.586根据2006年世界杯1/8决赛 意大利vs.澳大利亚的比赛结果是意大利队以1-0战胜澳大利亚队，晋级下一轮，则，即* (2)1/4决赛 意大利vs.乌克兰两队相对实力向量为=( 0.619,0,381 )两队“排名积分值” = 0.

11、880 =0.736两队“状态值” =0.914 =0.976根据2006年世界杯1/4决赛 意大利vs.乌克兰的比赛结果是意大利队以3-0战胜乌克兰队，晋级半决赛，有，即* * . （3）半决赛 意大利vs.德国两队相对实力向量为=(0.5，0.5 )两队“排名积分值” =0.880 =0.842两队“状态值” = 0.914 =0.873根据2006年世界杯半决赛 意大利vs.德国的比赛结果是意大利队以2-0战胜德国队，晋级决赛，有，即* * . （4）决赛 意大利vs.法国两队相对实力向量为=( 0.389,0.611)两队“排名积分值” =0.880 =0.906两队“状态值” = 0

12、.914 =0.745根据2006年世界杯半决赛 意大利vs.法国的比赛结果是意大利队以6-4（点球）战胜法国队，获得世界杯冠军，有，即* * . 5.4.6利用最小二乘准则估计权值，的取值。设预期的模型为，用记作的最小二乘估计，运用最小二乘准则。则需要对求极小值，最优的必要条件是。 对于本题而言，根据以上七个不等式，令： 于是有且=0 I=0 II =0 III又 IV综合以上I II III IV式，运用C/C+表写编程(程序见附件10)实现其计算，求得： =0.215 =0.547 =0.238即可得最优权数：=0.215 =0.547 =0.2385.5 利用5.4中求解到的权值=0.

13、215， =0.547，=0.238预测2010年世界杯成绩。5.5.1 小组赛阶段 根据综合实力，我们能分别求解出8个小组中各支球队的综合实力值，对各小组情况进行排序，则小组头两名出线，晋级十六强。这样的计算我们用excel办公软件实现，结果如下：表五：小组赛成绩表组别小组排名ABCD球队综合实力球队综合实力球队综合实力球队综合实力1法国0.588阿根廷0.590英格兰0.601德国0.6082乌拉圭0.545希腊0.480美国0.536塞尔维亚0.5393墨西哥0.530尼日利亚0.452斯洛文尼亚0.481澳大利亚0.5034南非0.309韩国0.379阿尔及利亚0.479加纳0.427

14、组别小组排名EFGH球队综合实力球队综合实力球队综合实力球队综合实力1荷兰0.739意大利0.700巴西0.760西班牙0.7672喀麦隆0.508巴拉圭0.451葡萄牙0.578洪都拉斯0.5123丹麦0.407斯洛伐克0.428科特迪瓦0.435瑞士0.5124日本0.385新西兰0.265朝鲜0.307智利0.505根据上表和世界杯赛制，可以预测小组赛出线的球队A组：法国，乌拉圭 B组：阿根廷，希腊 C组：英格兰，美国 D组：德国，塞尔维亚E组：荷兰，喀麦隆 F组：意大利，巴拉圭 G组：巴西，葡萄牙 H组：西班牙，洪都拉斯5.5.2 决赛阶段（1）1/8决赛根据赛制，我们可以得到1/8决

15、赛的对阵情况，由于比赛采用淘汰制，所以我们只要比较对阵双方的综合实力大小，就能决定谁晋级谁被淘汰。由综合实力，相对实力向量根据4.1中的模型可求其结果，“排名积分值”参考表二，“状态值” 参考表三，三者加总即为综合实力。我们用excel办公软件实现以上操作，结果如下：表六：1/8决赛成绩表A1 vs. B2A2 vs. B1C1 vs. D2C2 vs. D1球队法国希腊乌拉圭阿根廷英格兰塞尔维亚美国德国相对实力0.4170.5830.4950.5050.6670.3330.3330.667综合实力0.6110.5770.5880.6020.6900.5530.5550.665E1 vs. F

16、2E2 vs. F1G1 vs. H2G2 vs. H1球队荷兰巴拉圭喀麦隆意大利巴西洪都拉斯葡萄牙西班牙相对实力0.6670.3330.5000.5000.7670.2330.5420.458综合实力0.7990.4740.6680.6690.8730.5150.6250.764根据上表和赛制，本届杯赛八强预测名单出炉：法国，阿根廷，英格兰，德国，荷兰，意大利，巴西和西班牙。（2）1/4决赛参考1/8决赛的预测方案，同理可预测的1/4决赛的结果： 表七：1/4决赛成绩表球队法国英格兰阿根廷德国荷兰巴西意大利西班牙相对实力0.5680.4320.4670.5330.5000.5000.4830

17、.517综合实力0.6430.6300.5940.6360.7630.8150.6650.777根据上表和赛制，可以获得本轮晋级的球队，它们分别是法国，德国，巴西和西班牙。（3）半决赛同样，参考1/8决赛的预测方案，同理可预测的半决赛的结果：表八：半决赛成绩表球队法国巴西德国西班牙相对实力0.6670.3330.4550.545综合实力0.6650.7800.6200.783根据上表和赛制，可以获得晋级决赛的球队，它们是巴西队和西班牙队。（4）决赛 同样，参考1/8决赛的预测方案，同理可预测的决赛的结果：表九：决赛成绩表球队 巴西西班牙相对实力0.5000.500综合实力0.8160.774根

18、据上表和赛制，可预测本届世界杯冠军归属巴西队。综合以上对决赛阶段结果的预测，我们拟出如下赛事表表十：决赛阶段赛事表希腊B2英格兰C1塞尔维亚D2荷兰E1巴拉圭F2巴西G1洪都拉斯H2法国英格兰荷兰巴西法国巴西巴西vs西班牙西班牙德国意大利西班牙法国A1德国阿根廷阿根廷B1乌拉圭A2美国C2德国D1喀麦隆E2意大利F2葡萄牙G2西班牙H1巴西5.2.3 问题的结论综上所述，我们预测2010年南非世界杯冠军将被巴西队获得，八强球队分别为法国，阿根廷，英格兰，德国，荷兰，意大利，巴西和西班牙 。 6.模型的评价与推广 6.1 模型的优点 （1）此模型考虑的因素较多，我们针对杯赛之前对手之间的交锋情况

19、（相对实力），世界排名情况（绝对实力）以及各球队最近比赛状态进行了综合评价，全面地考虑了影响足球比赛成绩的主要因素。（2）以06年德国世界杯作为实例，考虑对手之间的交锋情况（相对实力），世界排名情况（绝对实力）以及各球队当期比赛状况对世界杯结果影响，同时求出了影响权数，且将此权数运用到2010年世界杯的预测中，模型由此变得更科学，可信度也增强。（3）对级别不同的比赛，及比赛胜负大小的差异，我们依据国际足联计算世界排名的标准，得出其各自的权值，增强了模型的权威性与精确性。（4）该模型对数据的处理运用了MATLAB、excel、C/C+等多种计算工具，确保了计算结果的准确性，且避免了我们将大量的时

20、间和精力耗费于繁杂的计算中。6.2模型的缺点（1）在两队赛前交锋情况的分析中，我们忽略了比赛距今时间的长短差别对相对实力影响程度的不同，所以模型失去了一定的精确性；然而我们在模型的建立中，只考虑最近16年的比赛，尽可能降低了上述情况对模型的影响。（2）众所周知，东道主球队会有一定的“主场优势”，而在此模型的中没有具体考虑这一点，因此，在对有东道主参加的比赛结果预测中，存在一定的误差。然而，如今世界杯已成为世界人民的盛会，加之便利的交通等良好的外部条件，大量的国外球迷会去到现场观看比赛，从而，“主场优势”对比赛的影响得到削弱。6.3 模型的推广此模型采用了科学方法来预测2010年南非世界杯的冠军

21、和八强，基于世界杯正赛赛制分为小组（循环）赛和淘汰赛两个阶段，我们不妨把该模型应用于采用类似赛制的比赛中，来预测它们的比赛结果。例如奥运会足球、篮球、排球比赛，NBA一个赛季的比赛等，都是采用了循环赛与淘汰赛相结合的赛制，运用本模型，就可以对这些比赛的最终结果做出不错的预测。喜欢体育博彩的人，可以参照这个模型所预测的结果进行交易，以获得更多的收益。7.参考文献（1）国际足联官方网站http:/ 10/05/28（2）六场预测法 http:/ 10/05/28（3）腾讯体育网 http:/ 10/05/28（4）新浪体育 http:/ 10/05/28（5）06世界杯各队赛前交锋 http:/

22、10/05/29（6）06世界杯分组及其比赛结果 http:/ 10/05/29（7）孙祥，MATLAB7.0基础教程，清华大学出版社，2005（8）Frank R.Giordano（美），数学建模（第3版），机械工程出版社，2005.18.附件 附件1：国际足联世界排名的标准COMPARISON OF BASIC CALCULATION CRITERIARevised World RankingExisting world rankingMatchesAll international “A” matchesAll international “A” matchesResult: Win-D

23、raw-Defeat3 points -1 points 0 pointsComplex points allocationImportance of match1 (friendly match) to 4 (FIFA World Cup)1 (friendly match) to 2 (FIFA World Cup)Strength of opponentPosition in world ranking (no. 1 = 2.00, no. 30 = 1.70, no. 118 = 0.82 etc.)Formula: 200 Position / 100Complex calculat

24、ion based on difference in strength of teamsRegional strengthBased on results in last three FIFA World Cups (wins per confederation per match)Complex calculation based on all inter-continental matches played in the previous 12 monthsPeriodLast four years, gradual decline in importance of results: 10

25、0%- 50% - 30% - 20%Last 8 years with linear importance of resultsNumber of matches considered per yearAverage points gained from all matches in last 12 months (minimum: 5 matches)Complex calculation (average between best 7 matches and all matches)Number of goals-Points value from the difference betw

26、een goals for and goals againstHome and away matches-3-point bonus for away team附件-2 2010南非世界杯32支球队世界排名（2010.5）组别ABCD球队南非墨西哥乌拉圭法国阿根廷尼日利亚韩国希腊英格兰美国阿尔及利亚斯洛文尼亚德国澳大利亚塞尔维亚加纳排名8317169721471381430256201532积分3928958991044107688363296410689578218601082886947800组别EFGH球队荷兰丹麦日本喀麦隆意大利巴拉圭新西兰斯洛伐克巴西朝鲜科特迪瓦葡萄牙西班牙瑞士洪都拉斯智利排名4364519531783411052732243818积分12317676828871184820410777161128585612491565866734888附件3：06年世界杯32支球队世界排名（2005.5）组别 A B C D球队德国哥斯达黎加波兰厄瓜多尔英格兰巴拉圭特立尼达多巴哥瑞典阿根廷科特迪瓦塞黑荷兰墨西哥伊朗安哥拉葡萄牙 排名1