[理学]第一章集合2.doc

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1、3 中的开集，闭集和Borel集一. 中的距离、邻域、区间定义1 设X是一个集合，若对X中的任意两个元素x与y由一个确定的实数与之对应，记为 ,它满足下述三条性质：（1） ；（2） ；（3） （），则称在X中定义了距离d，并称(X,d)为距离空间.定义2 设.任意,，定义.容易证明对任何满足：（1） ；（2） ；（3） ,则d为与的距离，是一个距离空间，也称为n维欧氏空间. 定义3 设E是中点集，令称为点集E的直径. 若，则称E为有界集. 显然，集合E是有界的充分必要条件是存在M0,使一切.定义4 设 ，称 为以为中心，为半径的开球，记为；称 为以为中心，为半径的闭球，记；称 为以为中心，为半

2、径的球面，记为.特别地，在中，.在中， 是以为中心,以为半径的圆;是以为中心,以为半径的闭圆；是以为中心，以为半径的圆周. 定义5 设 均为实数，且,称点集 为中开区间. 类似地，分别称 为中闭区间及半开半闭区间，称 为区间的边长. 开区间、闭区间、半开半闭区间通称为区间.区间常用符号等表示，其体积用等表示.若，则 ， .特别地，在中开区间是开矩形，闭区间是闭矩形，半开半闭区间是半开半闭矩形. 二中开集定义6 设集合，如果对任意，有，使，则称G为中开集.例1 在中空集、全空间和都是开集.由定义可得.思考题 在中开区间是否是中的开集？定理1 中开集构成的集族满足下述三条性质：（1）；（2）若 则

3、 ；（3）若 则 ,（称为上的一个拓扑，成为拓扑空间）.证明 （1）因为 不包任何点，故它满足开集条件，即；对任意， 必有，所以.（2）不妨设.,则，,且,于是有 ， 使， . 记,则,从而.（3），必存在 使，所以使 ，故 . 思考题 若，是否有？定义7 （1）设，若G为中开集且，则称为的一个邻域.（2）设 ,如果存在 的一个邻域,使,则称为E的一个内点.E的内点全体作成的集合记为，称为E的内核.的内点称为E 外点.（3）如果，在的任意邻域既含有E的点，又含有的点，则称为E的边界点，E的边界点全体作成的集合记为.显然（1） ； （2） ；（3） ，其中 互不相交.例2 （1）为的一个邻域；（

4、2）；（3）.证明留给读者.例3 （1）若 ，则，;（2）若（有理数集），则，.证明 （1） 因为任意，对的任意邻域，故，且.又任意，有存在，使.取0，有，故.（2）的证明留作习题.定理2 设，则（1）为开集；（2）E为开集的充分必要条件是.证明 （1）任意，根据的定义知，存在的邻域 ， 又为开集，对任意， 存在，即G中每一个元素都是E的内点，从而，所以为开集.（2）证明留作习题.三中闭集定义8 设 .若存在使得则称 为中收敛（于的）点列,的极限,记为 .若, 则由不等式 可知 的充分必要条件是，对每个=1，2，n，有 .用极限的语言来描述为:充分必要条件是，对的任何邻域G,存在,当，.定义9

5、 设，如果对的任何邻域G，必有则称为E的聚点或极限点.的聚点的全体称作E的导集，记为.称集合为E的闭包.如果存在的某个领域使 ,则称为E的孤立点.若E中每一点都是孤立点，则称E为孤立点集.例4（1） 若，则，,E中每一点都是孤立点，E为孤立点集.，.（2）设.（3）若为有限集，则为孤立点集.由定义可知略.思考题 若是可数集，任意是否为E的孤立点？E是否为孤立点集？是否为至多可数集？定理3 设, 则下列叙述等价：（1）为E的聚点；（2）；（3） 存在E中互异点列，使（或存在E中点列，使）；（4）对的任何领域G，它必含有E的无穷多个点.证明 显然成立. 由条件可知，对，可取，由条件知可取，依次类推

6、.对，取.由的取法知 为E中互异点列，且. 对的任何邻域G，存在，使.因为E中互异点列 ， 且 故存在，当时 ，即 . 从而G中含有E的无穷多个点. 显然成立. 由定理4容易看出，若，则E为无限集.定理4 设，则 （1）； （2）.仅证.若任意，存在，于是在x的任意邻域.从而，即.若任意，则存在中互异点列，使.因为集合是无限集，而是有限个集合，故存在某个集合，及的子点列，于是，从而，即.思考题 等式是否成立？例5 （1）若 ，则.（2）若（有理数集），则.证明 仅证（2）.任意，由有理数的稠密性，对x的任意邻域.故，且.定义9 若G为中开集，则称为中闭集.也简称为闭集.例6 闭球体 和球面均为

7、闭集. 证明 仅证明闭球体 为闭集.，则.取0，则，故为开集，从而闭球体 为闭集.定理5 设为所有闭集构成闭集族，则具有下述三条性质：（1）；（2）若；（3）若.证明留作习题.思考题 若是否有？定理6 设 则下列叙述等价：（1） 为闭集；（2） ；（3） ；（4） 对任意， 必有.证明 因为E为闭集，故为开集，于是对，存在的邻域，则 ，即 ，从而. 因为， 故 . 假设存在 ，但.由条件知，由 知 存在的邻域G，使.又，故 这与，且 矛盾. 假设E不是闭集，从而Ec也不是开集，于是存在 ，对任意 ，.取 ，显然 ，由条件知，这与矛盾.定理7（Cantor闭集套定理） 若是中的非空有界闭集列，且

8、满足则 .证明 若中有无穷多个相同的集合，又为递减集列，则存在自然数，当，故 .下面不妨设对一切的真子集，即 ，故可取，则是中的有界互异点列.根据Bolzano-Weierstrass定理可知，存在子列，使得 .若存在自然数使，由于是闭集，则存在x的邻域G使，.但这与且矛盾.从而，即 .定义10 若集合，满足，称集合为完全集（或完备集）.例7（1）若集合为有限集，则是闭集，但不是完全集；（2） 自然数集N是闭集，但不是完全集；（3）闭球体 和球面均为完全集.证明 （1） 因为.从而是闭集，但不是完全集.同理可证（2）.(3) 因为，所以闭球体 和球面均为完全集.思考题 （1）若集合为可数集，集

9、合是否为闭集？ （2）设是非空点集.若E中任一子集皆为闭集，试问E是有限集吗？定义11 设有集合 ，如果 则称E为中的稠密集；如果在每个非空开集中必有非空开子集完全含在中，则称E为中疏朗集或无处稠密集.例8集合E为中的稠密集的充分必要条件是：任意非空开集，必有 .证明留作习题.例9（1）有理数集中稠密集；无理数集也是中稠密集；（2） 有理数点集中稠密集.（3） 自然数集合N是疏朗集；有限集合E是疏朗集. 证明留作习题.例10 集合E为疏朗闭集的充分必要条件是：集合E的余集为稠密开集.证明 充分性 因为为稠密集，故任意非空开集，必有.又因为为开集，有为非空开集，即存在非空开集，所以E为疏朗闭集.

10、必要性 因为E为疏朗集，由疏朗集的定义知，任意非空开集中必有非空开子集，也即，从而为稠密集.又因为E为闭集，显然为开集.注意：疏朗集E的余集必为稠密集，但反之不成立，例如中有理数集中稠密集，但其余集无理数集仍是中稠密集，而不是中疏朗集.下面介绍一个构思巧妙的特殊点集Cantor集.它具有许多重要的特征，常是构造反例的基础.例11 Cantor集将0.1三等分，并挖去中央三等分开区间,记其留下部分为F1，即.再分别将F1中闭区间各三等分，并挖去中央三分开区间 ,记其留下的部分为F2，即，.如此类似作下去，一般地说，设第n次剩余部分为Fn，则分别将Fn中每个互不相交的闭区间三等分，并挖去中央三分开

11、区间记留下部分为，如此等等.于是得到一闭集列，及两两互不相交的开区间列.作点集 称为Cantor三分集，简称Cantor集.显然，. Cantor集的重要性质：（1）是非空有界闭集.因为中每个闭区间的端点都没有被挖去，故为非空集,又的余集为是开集，故为有界闭集.（2）为完全集.由（1）知为闭集，即.反之任意，故对任意，有 ，从而任意.因为任意的区间长 .所以对的任何邻域G，存在充分大的，这说明，综上所述得到.（3）为疏朗集（也即是稠密开集）对任意开区间.，则.由的构造知，存在充分大的，及，使 ，故为疏朗集.由此也可知无内点.（4）将0，1用三进位小数表示（三进位有理小数采用有限小数表示.例如

12、表示为0.1，而不采用0.0222）.显然其中.因此0.1 中的实数展开成三进位小数必然形如：即0，1 中的实数展开成三进位小数时，其中至少有一位是1，记则, 从而 .令B为0，1中二进位小数表示的全体（二进位有理小数也采用有限位小数表示），作映射：其中 . 易知 为一一映射，因此，从而 .注：（1）从是不可数集，及所有闭区间的端点之集为可数集，可知不仅包含的端点，还包含这些端点集的聚点，而这些聚点构成的集合是不可数集. （2）开集的可数个互不相交区间的长度的总和为.我们还可以在0，1中类似Cantort集的作法，作出由可数个互不相交区间构成的稠密开集G其区间长度的总和为是任一给定的数）.称为

13、类Cantor集.（3）若需要在中构造具有类似Cantor集性质的集合，只须取(为0.1中Cantort集) 即可.四中Borel集定义12 若为至多可数个开集的交集，则称它为（型）集；若为至多可数个闭集的并集，则称它为（型）集.容易证明 （1）开集是集，闭集是集；（2）集合E是集的充分必要条件是，是集.（3）至多可数个集的交仍为集；至多可数个集的并仍为集.例12 若集合是任一至多可数集，则E为集. 特别地，有理数集Q和有理点集是集. 无理数集和无理点集是集.证明 不妨设为可数集，则，其中是闭集，从而E为集.注：可以证明有理数集和有理点集皆不是集.定义13 由中一切开集构成的开集族 生成的代数

14、称为Borel代数，简记.中的元素称为Borel集.容易证明Borel集的性质：（1）开集，闭集，集和集皆为Borel集；（2）Borel集的余集仍是Borel集；（3）Borel集的集列的并、交、上（下）极限集皆为Borel集. 五开集的构造定理8 （中开集的构造）（1）中非空开集G是至多可数个互不相交的开区间的并集，反之亦真.（2） 中非空开集G是可数个互不相交的半开半闭区间并集.证明 （1） 设为非空开集，对任意，存在，使得令 ，显然.下证.事实上对任意，存在 使 ，由的构造知.又 从而.称的构成区间（区间满足条件1）；2）.如果 都是G的构成区间，下面证明它们或者重合或者不相交. 若，

15、下证.若，则，这与矛盾，故.同G理可证，从而.类似可证.从而G的所有构成区间是中互不相交的开区间族，于是G是至多可数个互不相交的开区间的并集.反之若G是至多可数个互不相交的开区间的并集，显然是非空开集.（2）先将用格点（坐标皆为整数）分成可数个边长为1的半开半闭区间，其全体记为，再将中每个区间的每边二等分，则每个区间可分成个边长为的半开半闭区间，记中如此作成的小区间的全体为，依此类推，可得边长为的小区间的全体组成.现将中凡含于G内的半开半闭区间J取出，记其全体为.再将中含于 内的区间取出，记其全体为，依次类推.设为中含于 内的半开半闭的区间全体.因为G是开集，对任意，使，而中的区间的直径，从而

16、可知必落入的某个区间中.又因为G是开集，故 必为可数集，从而.六点集间的距离定义14 设中非空集合，称为点到集合的距离.称为集合与之间的距离.例13 设中非空集合，则（1） ；（2） 若. 反之不成立；（3） 若E为闭集，则；（4） 若.反之不成立.证明留作习题.引理 设为非空集合，则函数在上是一致连续.证明 任意，对任意有 不等式两边关于取下确界，有 .同理有 .于是 ，从而函数在上是一致连续. 推论 1 设，则函数在上是一致连续.定理9 设为中非空闭集， ，则存在使得证明 由 的定义知，存在 使，因为数列 有界，故 为有界点集，由Bolzano -Weierstrass定理，必存在的子列收

17、敛 ，记 .因为F为闭集，且函数关于变量z是连续的，所以，且.定理10 设为中两个非空闭集，且其中至少有一个集合是有界的，则存在 ，使得.证明 不妨设有界，即存在M0，使得任意有.根据的定义，存在 使得因为有界，故点列有界，从而为有界点列.根据Bolzano-Weierstrass定理 ，必存在子列收敛.设，于是.注意 定理7中的条件“至少有一个集合是有界的”不可缺少.例14 设 , 易证 为非空闭集. ,故.但，故不存在使 .定理11 （隔离性定理） 若为中非空闭集，且，则存在中开集，使，且.证明 任意，因为是闭集，且，故0.显然集合 是开集，且.同理开集（其中0）.同时有，事实上若，则存在

18、，于是存在.不妨设，于是 矛盾，故. 例15 设集合0，则集合是开集，且.证明 任意.取，任意有 ，于是，故G是开集，显然. 例16 （1）若中闭集，则集； （2）若中开集，则集. 证明 （1）不妨设.设 ，由例14知，于是.对任意，有.令有，d(x,F)=0.因为F是闭集，故.从而，即集. （2） 因为是闭集，由（1）知是集，所以集.定理12 （连续延拓）若F是中的闭集，是定义在F上的连续函数且，则存在上的连续函数满足 证明 设，其中，且两两互不相交.作函数因为F是中的闭集且是定义在F上的连续函数，容易验证A与B是互不相交的闭集，故在上有定义且处处连续，且.对定义在F上的连续函数，用上述类似

19、方法作上的连续函数，且满足 ， .类似继续做下去，得到上的连续函数列，使得 （*） （*） （*）式表明函数项级数在上一致收敛，则其和函数上连续.（*）式表明在F上 .同时对任意，有 . 思考题 上述定理在无界时是否成立？4 集合与函数一、特征函数 定义1 设X是非空全集 ， , 称为集合A的特征函数.显然充要条件是A=B （即集合A由其特征函数确定）.定理1 （1）； （2） ； （3） .特别 时； （4） ； （5） ； （6） ；（7） 设 是任一集列，则；（8） 存在，且当极限存在时，.证明 仅证（3），（7）. （3） 任意，.当时，；当 时，；同理；当 时，有.（7） 任意，存在

20、使，故 ，从而.当 ，存在自然数N，故 .同理可证 .二、集合与函数例1 设是上的实值函数，则.证明 若则，于是存在从而，故.反之，若，则存在，使，于是，从而.例2 设是定义上的实值函数列，且任意，且，则任意， .证明 定义集列，显然.于是. 例3 设以及是定义在上的实值函数，则.证明 若，即 ，则存在 及使 ，取自然数k，使 从而 故 .反之也成立.例4 若是上实值函数，则集合是至多可数集，从而的第一类间断点所成之集为至多可数集.证明 令对每个自然数，作则 是的连续点集，下证是至多可数集，从而为至多可数集.事实上，对任意给定 ，设，由S的定义知，存在，使 时，有当 时，有根据的定义知， ，由

21、此知中每个点是某开区间的左端点，且.因此，当时有于是 是至多可数集.从而为至多可数集. 例5 设是定义在开集上的实值函数，则在E上连续的充要条件是，任意 .特别地，若在上连续的充要条件是，任意 ，是开集.证明 必要性 对，根据的连续性，存在，当时，有，因为E为开集，故存在使得，从而，即 为开集.同理可证 是开集.充分性 ， ，是开集，故在在 使 ，从而对 ， 有 且 ，即 从而在处连续.思考题 若例5中开集E改为闭集或一般集合，结论是否成立？定义2 设函数定义在集合上，若在根据的定义知， ，由此知中每个点是某开区间的左端点，且.因此，当时有于是 是至多可数集.从而为至多可数集. 例5 设是定义

22、在开集上的实值函数，则在E上连续的充要条件是，任意 .特别地，若在上连续的充要条件是，任意 ，是开集.证明 必要性 对，根据的连续性，存在，当时，有，因为E为开集，故存在使得，从而，即 为开集.同理可证 是开集.充分性 ， ，是开集，故在在 使 ，从而对 ， 有 且 ，即 从而在处连续.思考题 若例5中开集E改为闭集或一般集合，结论是否成立？定义2 设函数定义在集合上，若在上有定义，我们称 为在处的振幅，其中，特别当为开集时，在处的振幅简记为.例6 设函数定义在集合上，则在连续的充分必要条件是，.证明 必要性 函数在连续，即对任意，存在，当时，有 .因此，当时，有 ，故 .当时，有，也即， .

23、充分性 若，即对任意 ，存在,当时，有 ，特别当，任意时，有，也即在处连续.例7 （函数连续点集的结构）设为开集，为上的实值函数，则的连续点集为集.证明 先证对任意，为开集.不妨设 .任意，因为，故存在 ，,使得，且有.对任意从而，故 ，即 .这说明为开集.因为在连续的充要条件是，故的连续点所成之集E可表成又 为开集，从而E为集.第一章 习题1、 证明 .2、 证明 .3、 若设为单调递减集列，即 ， 则其中各项互不相交.4、 设和 为两集列.（1）证明 ；（2）举例说明 不成立；（3）如果和都是单调增的，则.5、 证明 （1） ；（2）.6、设有集合A、B和C，证明（1）若 ；（2）若 .

24、7、设为一集列.令.证明为一个彼此不相交的集列，并且 8、 设有集列，则.9、若是单调递减集列，则. 10、设实数列，则. 11、设是单调递减集合列，则 . 12、设，求.13、 设X为非空集合，F为X上集类，则F为代数的充要条件是：（1）F；（2）若F 则 F；（3）若 F ，F .14、若F则F也.15、 实数集的至多可数集的全体所成的集类F为环，但F不是代数.16、证明 设为映射，则（1）若，有；（2）；（3），并且举例说明， 不成立；（4）若；（5）；（6）. 17、设集合A，B和C，证明：（1） 若；（2） 若. 18、中以有理点为中心、以正有理数为半径的圆的全体为可数集.19、如果

25、是上单调函数，则的不连续点构成的集合为至多可数集.20、设A为无限集，则存在，使，且为可数集.21、 若A为一可数集合，则A的所有有限子集构成的集合也是可数集.22、证明 不存在集合A，使2A为可数集.23、证明 （1）整系数多项式的全体为可数集；（2）全体代数数（即整系数多项式的零点）构成一可数集合；（3）证明存在超越数（即不是整系数多项式的零点），且超越数全体的势为.24、证明 （1）定义在上的连续函数全体所作成的集合的势为； （2）定义在上的单调函数全体形成的集合的势为；（3）定义在上的实值函数全体所作成的集合的势为. 25、证明 （1）；（2）中无理点集的势为.26、设集合，证明（1）

26、； （2）E为开集的充分必要条件是，；（3） E是开集当且仅当.27、 证明（1）为的一个邻域；（2）；（3）.28、（1）设 证明；（2）设 证明 ，试问是否有 成立.29、若 ，则30、设为孤立点集（即E中每一点均为孤立点），证明E为至多可数集.31、若是非空至多可数集，且，则集合为可数集.32、设集合，则集合 都是闭集.33、设为所有闭集构成闭集族，则具有下述三条性质：（1）；（2）若；（3）若.34、证明 中每个闭集为集，每个开集为集.35、证明为有界闭集的充分必要条件是，对F的任何无限子集E，必有.36、证明（1）中开集全体所成的集类的势为；（2）中闭集全体所成的集类的势为.37、设

27、，且E为至多可数的非空闭集，证明E必含有弧立点.38、设， 时 .39、证明自然数集N是闭集，但不是完全集40、集合E为中的稠密集的充分必要条件是：任意非空开集，必有 .41、若集合E为中疏朗集，则.42、（1）有理数集中稠密集；无理数集也是中稠密集；（2）有理数点集中稠密集；（3）自然数集合N是疏朗集；有限集合E是疏朗集.43、设中非空集合，则 （1）； （2） 若.反之不成立；（3） 若E为闭集，则；（4） 若.反之不成立.44、若 ，记 ，则为开集，且.45、 设中互为相交的非空有界闭集，则存在开集 .46、设中互不相交的非空闭集，则存在上的连续函数，得（1） ；（2） .47、设中互不相交的开集，则 .48、证明（1）；（2） ； （3）；（4） ；（5） ；（6） 设 是任一集列，则；（7） 存在，且当极限存在时，.49、设是.50、设上的实值函数，c为任意一实数，则（1） ；（2）；（3） 当 ；（4）当 为E上实值函数， 且时，.51、 设及为E上的实值函数，且，对任意实数c有 .52、设上的实值函数列，且 ,则对任意 有 .53、设是上的实值函数，则的连续点所构成的集合E可表示为存在，当.54、设是上的实值函数，则在上连续的充要条件是，任意 .55、设和为E上的实值函数，则任意，有 .62