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1、曲线和曲面的网格法9.1 简介曲线和曲面在无论是在结构化的网格生成法还是在非结构化的网格生成法中都是非常普遍的几何体。在网格中曲线看作是二维区域或曲面的边界，或者是三维模块的边缘；曲面则出现在三维区域或模块的边界和表面。曲线上的网格划分的主要目的是为二维平面区域或曲面的贴体网格生成元提供边界数据。类似的，曲面的网格划分主要用来在三维区域或模块的边界上建立网格，为网格法提供边界数据。在结构化的观念中，曲面上的网格构造包括以下几个方面：曲面块集合，每个曲面块的参数说明，以及曲面块边界上的一维曲线的网格构造（为曲面网格生成元提供边界条件）。实际上，为了简洁和保持曲面网格法和实体几何直观上的一致性，网
2、格通常在二维参数平面中构造，然后再映射到原始的曲面块上。因此，曲面网格生成的过程可以分为以下三步：前期的映射，网格生成，后期映射。前期映射是把曲面块的表示由三维实体域转换为二维参数域。一旦前期映射完成后，就在参数空间中划分网格，然后再映射回实体空间（后期映射）。曲面块被划分成曲边三角形或四边形，分别有三条或四条边界。相应的参数域可能也是由曲线围成的三角形状或四边形状。后期将参数域变换成实体域由调整的插值决定，具体的要看曲面特征的变化。参数域的网格划分和平面中介绍的一样，有代数法，微分法，变分法。然而，这些方法需要根据曲面的必要特征加以调整，按照曲面二次型来表示，以满足曲面网格的一些性质。这章我
3、们回顾以前的曲线和曲面的网格生成法。9.2 曲线上的网格曲线上的网格划分方法规定方面和分析方面都是最简单的。这些方法为曲面网格法提供了一些参考。这部分我们讨论一些普遍的网格划分的方法。9.2.1 曲线上网格的规定N维空间的曲线用一个光滑的、非奇异的向量值函数表示，自变量区间为标准化的0,1:x:0,1Rn, x=x1,xn. (9.1)由参数函数x表示的曲线标记为Sx1。利用（9.1）所示的变换，我们可以把区间0,1上的网格节点映射成曲线Sx1上的离散网格，例如，网格点为xi, i=0,1,N，其中xi=xih, h=1/N .但是，为了构造具有更好性质的网格，我们需要引进一个控制工具。这个对
4、曲线网格划分的控制就是一个严格单调和光滑的中间变换:0,10,1 (9.2)这个中间变换在区间0,1上生成网格节点i，其中i=ih, i=0,1,N, h=1/N.选择这个变换的条件是：让代表Sx1的参数曲线x:0,1Rn, (9.3)生成的网格节点xi=xih=xi, i=0,1,N, h=1/N, (9.4)具有需要的性质。图9.1演示了曲线网格划分的步骤。因此，曲线上网格划分过程就转变成定义一个中间变换，使得它构成供曲线的一个合适的参数化表示。一个自然的变换与弧长参数有关，和（3.1）中类似，定义=1c0gxdx , c=01gxdx , (9.5)其中，gx=xx=x2 .函数，即的逆
5、，由如下条件决定：dd=cgx . (9.6)因此，对于网格区间0,1中的节点i=ih，我们有如下关系：i+1-ihdd=cgx , i=0,1,N, h=1N , (9.7)所以，对于曲线Sx1上的网格节点xi，我们可得：xi+1-xixi+1-ich , i=0,1,N, h=1N, (9.8)等式（9.6）-（9.8）是7.3章节所考虑的均匀分布原则的例子，它是基于网格点之间的一种距离，该距离与权函数成反比关系。9.2.2 网格法曲线上的一维网格划分的主要是规定网格的步长。这个方法主要是用合适的单参变量中间变换()来对曲线进行再参数化，如在第4章节中所考虑的那些中间变换，或者是中间变换的
6、一阶衍生物构成的方程或函数。9.2.2.1 微分法定义中间变换()的最简单的微分法就是解（9.6）中的初值问题dd=cF() , 01 ,0=0 , c=01Fd , (9.9)其中F是指定的非负函数。公式（9.9）对进行微分，我们就消去常数c，得到两点边值问题ddddF()=0 , 01 ,0=0 , 1=1 , (9.10)方程（9.9）和（9.10）体现了第7章的均匀分布原则。结合（9.6）-（9.8），我们看到（9.9）或（9.10）的解构造出了曲线Sx1上的网格，其步长与gxF()成反比。因此，在加权表达式xi+1-xihc1(i) , i=0,N-1 , 中，我们得到F= gx ,
7、 (9.11)其中， =1，与（9.6）中参数化的缩放长度保持一致。权函数由用户定义，依据是把网格节点聚集到特别感兴趣的区域。可以用物理量的衍生物来定义权函数，或者用3.5节中的曲线特征的一些度量参数来定义，特别是度规张量gx、曲率k，或张力。这些定义决定了曲线网格的中心区域，权函数在中心区域上的值变得越来越大。9.2.2.2 变分法根据第8章的结果，（9.10）中关于均与分布原则的微分方程是求如下函数的最小值得来的I=011F()dd2d , (9.12)它的Euler-Lagrange 方程（见8.2章节）dd1F()=0与（9.10）是等价的。利用（9.11），我们通过权函数得到（9.1
8、2）的等价表达式：I=011gxdd2d =Sx1 1gxdd2dSx1 =Sx1 1gxdSx1 , (9.13)其中，gx=dx()ddx()d=xxdd2=gxdd2 .和微分法类似，（9.13）中的权函数由解或解的衍生物的值来定义，或者是一些物理量的值来定义。9.2.2.3 监控法对曲线Sx1网格步长的监控法主要是引入一个监控曲线，该监控曲线由定义在曲线Sx1上的向量值函数f:XnRk , fx=f1x, ,fk(x) ,来确定，其中Xn是包含曲线Sx1的一个区域。参数函数（9.1）和fx给出了监控曲线的一个参数表达式r()，记作Sr1：r:0,1Rn+k , r=r1,rn+k()
9、, (9.14)其中ri=xi , i=1,n, rn+j=fjx(), j=1,k . 由此我们得到gr=gx+gf , (9.15)其中gf=dfx()ddfx()d=fjxl fjxm xld xmd , j=1,k,l,m=1,n .在监控法中，曲线Sx1上的网格是通过将Sr1上的均匀网格用函数P:Rn+kRnPx1,xn+k=x1,xn 映射而得到的。Sr1上的均匀网格可由弧长法导出，包括用初值问题（9.6）求得的，用两点边值问题（9.10）求得的，或是用变分问题（9.12）（其中F=gr）求得的。最终，我们得到中间变换()ddddgr=0 , 01 ,0=0 , 1=1 , (9.
10、16)其中gr由（9.15）来定义。变换x()在Sx1上定义的网格与从Sr1映射得到的网格是一致的。因此xi+1-xihdxd dd=gxgr=11+gf/gx , 监控法得到的网格节点集中在gf取值大的区域，所以，函数fx的衍生物的取值也是大的。为了和（9.13）保持一致，监控法的变分公式化为I=Sr1 1gr dSr1 , (9.17)9.3 曲面网格法的公式化：在本章我们假定曲面都在三维欧式空间中。不失一般性，我们将曲面Sx2在局部范围内参数化表示为xs: S2R3 , xs=x1s,x2s,x3s , s=s1,s2 , (9.18)其中S2是二维参数平面，笛卡尔坐标分别为s1,s2，
11、xs是非简单的光滑函数。9.3.1 映射方法曲面Sx2上的网格划分需要引入一个有坐标网格的标准计算域E2，和一个一一变换s: E2S2 , s=s1,s2() , E2 . (9.19)映射（9.19）实际上生成了一个二维空间S2上的网格。然而，通过复合变换xs: E2Sx2 , (9.20)可以将E2中的坐标网格映射到Sx2上，从而得到Sx2上需要的网格。或者，等价的，通过一些合适的变换s: E2S2（见图9.2）得到S2上的网格，然后再用xs映射到Sx2即可。因此，曲面网格的划分问题转变成为选择一个合适的有坐标网格的计算域E2，和构造一个由计算域到参数域的适当的变换。构造二维坐标变换的一些
12、技巧我们曾在48章考虑过。然而，如果直接运用这些方法去构造二维平面上的网格，得到的曲面上的网格可能不能令人满意，因为曲面上的网格是经过xs映射得到的，这个映射可能会造成网格的扭曲变形。所以，我们需要考虑所关注的曲面的几何特征，以及它的参数化表达式xs。9.3.2 相关的度量关系曲面的特征曾用第一、第二基本表格来描述过（3.3章节），尤其是源于切向量和坐标线的点积的度量元素。曲面Sx2上的网格划分实际上需要对曲面进行两次参数化：参数空间S2上的原始参数表达式x(s)，以及参数空间E2上的最终参数表达式xs()。在曲面网格划分的过程中，原始参数表达式可以看成是一个输入，而最终参数表达式则是一个输出
13、。中间变换s()通过将x(s)转换成xs()，从而修正原始变换的缺点，使生成的网格满足用户的要求。曲面坐标1 ,2之间的协度规张量记作Gx=gijx , i,j=1,2, 定义为切向量xi=xs/i , i=1,2 ,也就是gijx=xi xj , i,j=1,2 . 类似的，在坐标si , i=1,2 , 上协度规张量的元素为Gxs=gijxs , i,j=1,2 ,用以下形式表示：gijxs=xsi xsj , i,j=1,2 .很明显 gijx=gmkxs smiskj ,gijxs=gmkx msiksj , i,j,k,m=1,2 , (9.21)中使用了对重复指数求和缩写。曲面坐标
14、i , i=1,2, 之间的逆度规张量记作Gx=gxij , i,j=1,2, 在坐标si , i=1,2, 上就是Gsx=gsxij , i,j=1,2, 它们分别是Gx和Gxs的矩阵反演。因此gxij=(-1)i+jg3-i,3-jx/gx ,gijx=(-1)i+jgxgx3-i,3-j ,gsxij=(-1)i+jg3-i,3-jxs/gxs ,gijxs=(-1)i+jgxsgsx3-i,3-j , (9.22)其中， i,j=1,2 ，且有gx=detGx , gxs=detGxs .注意在这里，（9.22）中各等式的右边没有对i和j使用求和缩写。和（9.21）类似，坐标i和si
15、,i=1,2,的逆度规张量的元素有以下关系 gxij=gsxmk ismjsk ,gijxs=gxmk simsjk , i,j,k,m=1,2 , (9.23)由这些关系和（9.21），很容易得出gsrij=gxmkgmk ,sgx=gxsgs ,i,j,k,m=1,2, (9.24)其中gmk ,s k,m=1,2, 是S2在坐标i上的协度规张量的元素，也就是当gs=detgijs=det2si/j时，有gmks=sm sk。下面我们继续介绍几种曲面Sx2上的网格生成法。9.4 Beltramian系统如果能找到一种能在参数化xs:S2Sx2 中保持不变的网格生成法，则很令人振奋。其中有一
16、种网格生成系统源于Beltrami的二阶微分算子。9.4.1 Beltramian 算子Beltramian算子B定义为Bf=1gxs sjgxs gsrmj smf , j,m=1,2 . (9.25)当Sx2是一个平面，并且坐标系s1 , s2 是正交的，也就是gijxs=gsxij=ji ，则（9.25）就是Laplace算子。所以算子（9.25）是Laplace算子在曲面上的一般化。Beltrami算子与曲面的参数表达式无关。例如，让ui , i=1,2, 变成另外一个参量化，考虑到一般的关系（2.56），我们可以得到，对于任意的光滑函数A1和A2，有Ajsj=1gsu ukgsu A
17、m uksm , i,j,k,m=1,2, (9.26)其中gsu=detsium , i,m=1,2假定Aj=gxsgsrmjsmf , j=1,2, 从（9.25）我们有1gxs Ajsj= Bf , j=1,2 . 所以由（9.26）可得Bf=1gru uj gru gsrmp ujsp uksm fuk , j,k,m,p=1,2, 其中 gru=gxs gsu。因此，利用（9.23），我们可得1gxs sj gxs gsrmj smf= 1gru uj gru gurjk fuk , j,k,m=1,2. 所以算子B在一个函数f上的值与曲面Sx2上的常数表达式无关。9.4.2 曲面网
18、格系统与Laplace系统（6.4）类似，曲面网格系统也可以用Beltrami方程中的i(s)部分（即中间变换s()的逆映射）来形成：Bi=0 , i=1,2, 也就是，利用（9.25），1gxs sj gxs gsrmj ism=0 , i,j,m=1,2. (9.27)系统（9.27）是二维Laplace系统（6.4）在一般平面网格上的一般化形式。在Laplace方程中，Dirichlet边值问题（9.27）的解满足生产有效网格的条件。特别的，如果计算域E2是凸的，则当(s)把S2的边界映射为E2的边界时，函数(s)的值在E2中满足（9.27）式。此外，如果该变换在边界上是同胚的，则它还是
19、一个一一变换。这就是药用逆变换(s)构造（9.27）的原因。为了在S2上划分网格，我们调换系统（9.27）中的因变量和自变量。这可因用经典的方法，在系统两边乘以sl/i，然后对i求和，我们得到1gxssj gxsgsrmjismsli=-gsrmjismksj2slik+1gxssj gxs gsrlj=0 所以，利用（9.23），系统（9.27）转变成以下含有因变量si()的非线性系统：gxij 2slij= 1gxs si gxs gsril , i,j,l=1,2. (9.28)我们可以把这个方程叫做逆Beltrami方程。（9.28）的右边部分实际上是Beltrami算子作用在函数sl
20、上的值；因此系统（9.28）可以这样写为：gxij 2slij= Bsl , i,j,l=1,2. 利用（9.22），系统（9.28）转换成一个系数由度规张量元素gijx和gijxs决定的系统：B2xsl=(-1)lgxgxss2g3-l,1xsgxs-s1g3-l,2xsgxs , l=1,2. (9.29)其中B2x是一个算子，定义如下：B2xy= g22x 2y11- 2 g12x 2y12+ g11x 2y22特别地，让曲面Sx2是一个由标量高度函数u(s)形成的监控曲面，则它可以用参数表示为xs=s1,s2,u(s) .然后我们得到gijxs=ji+usiusj , gsxij=(-
21、1)i+jji+us3-ius3-j1+us12+us22 , i,j=1,2, gxs=1+us12+us22 , gx=J2gxs , J=detsi/j , 不对i和j求和，相应的，有Bsl=(-1)j+l1+us12+us22 sj lj+us3-jus3-l1+us12+us22 , j,l=1,2, 固定l，则系统（9.29）有如下形式B2xsl=(-1)k+lJ21+us12+us22sk lk+us3-kus3-l1+us12+us22i,j,k,l=1,2, l固定 .另一个与系统（9.29）等价的形式是：B2xsl+B2xu1usl=0, l=1,2,其中u1=us()。系
22、统（9.28）和（9.29）的右边是用原始曲面参数表达式的在坐标si , i=1,2, 上度量元素来定义的，与变换s:E2S2无关；所以可以提前计算它们，或者在迭代过程中进行预处理。边值问题（9.28）或（9.29）在有坐标网格的E2中的数值解给出了参数域S2中网格的定义。通过逆Beltrami系统（9.28），用原始参数变换x(s)对这些网格进行映射，最终得到曲面Sx2上的网格。9.5 Beltramian系统的解释方程（9.27）是二维Laplace系统在曲面上的一般化。在这一部分，我们给出系统（9.27）（9.29）中关于网格生成的一些解释和理由。9.5.1 变分公式化正如8.2章节所示
23、的，在区域中生成网格的Laplace系统（6.4）可以由以下光滑函数的最小化问题而得到：Is=Xn i=1ngijdx , gij=m=1nixmjxm . (9.30)有一个类似的泛函，它的Euler-Lagrange 方程与（9.27）等价，也可以用来表示Beltrami方程。这个泛函与（9.30）形式相同，不过就是把gij和Xn分别用gxij和Sx2替换：Is=Sx2 i=12grijdSx2=Sx2 tr GxdSx2 . (9.31)为了写出这个函数的Euler-Lagrange方程，我们在S2上积分。利用（9.23）和等式dSx2=gxsds ，我们得到Is=S2 gxs gsrm
24、k ismiskds . (9.32)泛函（9.32）是在一组光滑函数i(s)上构造的，它的被积函数gxs gsrmk是通过原始参数表达式x(s)的度量元素来定义的，所以与这些函数无关。所以，源于泛函（9.32）的Euler-Lagrange方程与（8.6）有相同的形式，即sj gxs gsrmj ism=0 , i,j,m=1,2, (9.33)并且它们与（9.27）等价。这个变分公式使得我们可以用变分法来构造曲面网格。为此，我们在区域E2上进行积分，泛函（9.31）可以写成Is=E2 1gx g11x+g22x d , 9.5.2 调和映射的解释根据微分几何里面的公认术语，积分（9.31）
25、以及（9.32）表示函数s:S2E2 的总能量，其中s是流形Sx2上的度规张量gijxs和计算域E2的笛卡尔坐标i之间的映射。能量泛函的临界点函数称之为调和函数。根据流形上的调和函数的理论，如果存在一个微分同胚映射fs:S2E2，且流形E2的边界是凸的，则当曲率非正时，在流形Sx2边界上与 f 相等的调和函数就是S2和E2之间的微分同胚。考虑到流形E2采用的是笛卡尔坐标，所以它的曲率是非正的。所以，如果计算域E2的边界是凸的（例如E2是矩形），并且曲面Sx2与E2微分同胚，则使平滑泛函（9.32）最小化的映射s是一对一变换，用以上提到的变分法生成的网格是非简单的。9.5.3 通过不变量构造根据
26、（3.22），逆 22 度规张量的迹trGx 可以用协度规张量Gx的正交变换不变量I1 , I2 来表示，即trGx=I1I2 . 因此平滑泛函（9.31）可以用这些不变量表示：Is=Sx2 I1I2dSx2 . (9.34)不变量I2是矩阵Gx的Jacobian行列式，它就是切向量x1和x2夹成的平行四边形的面积。不变量I1是g11x+g22x，表示那个平行四边形的边的长度。所以I1I2=g11x+g22xgx . (9.35)很明显gx=g11xd22 , gx=g22xd12 , 其中， di ,i=1,2, 是向量xi和其它向量 x j , j=3-i 的顶点之间的距离。因此，由（9.
27、35）I1I2=1d12+1d22 . (9.36)di的值与网格线i=c 和i=c+h 之间的距离li有关，li=di+O(h)2 .所以，由（9.36），I1I2=i=12h/li2+Oh.当网格节点朝垂直于i=const 的方向聚集时， h/li2将增大，因此它可以看成是网格在这个方向集中程度的一种度量，所以泛函（9.34）是网格在各个方向聚集程度的整体度量。因此，平滑泛函（9.31）的最小化问题可以看成是在曲面Sx2上寻找均匀聚集的网格。所以，正如Laplace系统一样，Beltrami方程（9.27）倾向于在曲面上生成均匀的网格。9.5.4 通过曲面Christoffel符号的构想可
28、以从Gauss公式得到系统（9.27）和（9.28）的等价形式。这些公式以x1,x2,n 为基底表示切向量x1和x2 的派生物，其中 n 是曲面法向量的单位。9.5.4.1 曲面Gauss方程根据（2.5）我们可写出xij=almxij al am , i,j=1,2, l,m=1,2,3, (9.37)其中a1=x1 , a2=x2 , a3=n ， alm是akp=akap的逆矩阵。容易得出矩阵aij的元素aij=gijx , ai3=a3i=0 , i,j=1,2, a33=1 . 所以aij=gxij , ai3=a3i=0 , a33=1 , i,j=1,2 . (9.38)因此由（
29、9.37）导出 xij=gxkmxij rm xk+xij n n , i,j,k,m=1,2. (9.39)（9.39）中的xijxm是第一类曲面Christoffel符号，记作i,j,m。这些量与空间Christoffel符号（2.39）在i,j,k=1,2 时是一致的，与（2.44）一样，它们由以下关系式决定i,j,k=12gikxj+gjkxi+gijxk+ , i,j,k=1,2 .第二类曲面Christoffel符号，记作ijk ，与（2.42）类似，定义为ijk=gxkmi,j,m=gxkmxij xm , i,j,k,m=1,2 . (9.40)（9.39）中的xij n ，记
30、为bij ，即bij=xij n , i,j=1,2, (9.41)是第二基本形式的系数。利用这些指标，由（9.39）得xij=ijk xk+bij n . (9.42)关系式（9.42）被称为曲面Gauss恒等式。9.5.4.2 Weingarten方程还有一些与法向量单位n 的第一类派生物有关的重要等式。因为ni n=0 , i=1,2 ，所以向量ni , i=1,2 和n 正交，可以在切向量xi , i=1,2上进行扩展。利用（2.5）和（9.38），我们可得ni=gxlmni xl xm , i,l,m=1,2. (9.43)因为ni xl=n xli-n rli=-bli , 所以（
31、9.43）具有以下形式ni=-gxlmblixm , i,l,m=1,2. (9.44)关系式（9.44）称为Weingarten方程。9.5.4.3 平均曲率Beltrami算子在位置向量上的值与平均曲率有关。根据（3.19），平均曲面曲率可以表示为Km=12gxijbij , i,j=1,2. (9.45)平均曲面曲率与曲面的参数无关。实际上，如果si ,i=1,2 是新的曲面坐标，则xij=skismjxsksm+2smijxsm ,因此bij=skismjxsksm n , i,j,k,m=1,2.根据关系式（9.23），逆变张量gxij变换成坐标si，我们很容易看到平均曲率是曲面参数
32、化的一个不变量。所以它可以用原始参数表达式x(s)定义。回想到，在几何中，坐标1, 2 上，第一、第二基本形式分别是I=gijxdidj , II=bijdidj , i,j=1,2.来源于曲面度量的第一基本形式描述了曲面的内部几何特征，而第二基本形式描述的是外部几何特征，因为它源于曲面嵌入到R3中的规范。很明显，第二基本形式表示了曲面在局部区域内偏离切平面的程度。9.5.4.4 Beltrami方程与Christoffel符号的关系假设基底向量x1,x2,n构成一个右手体系，则有n=1gxx1 x2 . (9.46)注意到切向量xi ,i=1,2 都不相互标准正交，而 n 与x1和 x2都标
33、准正交。利用向量恒等式uvw=uwv-uvw.考虑到（9.46），由（9.22）得到xin=1gxgi2xx1-gi2xx2 .由此导出，当i 固定时，(-1)i+1x3-in=gx gxijxj , i,j=1,2, (9.47)把（9.47）应用到Beltramian算子上得到Bx=1gx jgx gxij xi =-1j+11gx jx3-jn =-1j+11gx x3-jnj , i,j=1,2. (9.48)利用Weingarten方程（9.44）和（9.46），我们有-1j+11gx x3-jnj=-1j1gxgxlmbljx3-jnm =gxljblj n, j,l,m=1,2.
34、因此（9.48）可以表成Bx=bijgxij n=2 Km n , (9.49)其中由（9.45）定义的Km是曲面的平均曲率。方程（9.49）表明，可以用Beltrami算子将曲面位置向量x()转换成与曲面正交的向量Bx。扩大Bx的差异，结合Bx的表达式，我们得到Bx的另一个形式：Bx=gxijxij+Bixi , i,j=1,2. (9.50)等化（9.49）和（9.50）的右边，我们得到恒等式gxijxij+Biri=2 Km n , i,j=1,2. (9.51)因此，如果曲面坐标系1 , 2 是由（9.27）得到的，则从（9.51）可得gxijxij=2 Km n , i,j=1,2.
35、在（9.42）乘以grij，我们可以得到另一个恒等式gxijxij=gxijijkxk+2 Km n .将这个恒等式和（9.51）做对比，可得Bi=-gxklkli , i,k,l=1,2, (9.52)也就是，把Beltrami算子应用到函数i(s)上得到的值由曲面的Christoffel符号和度量元素决定。曲面恒等式（9.52）是（6.29）的再形式化，对区域也有效。利用（9.52），Beltrami系统（9.27）可以用下面的等价形式写出：gxklkli=0 , i,k,l=1,2, (9.53)或者，利用（9.40），写成gxklgxijkl,jgxklgxijxklxj=0 , i,
36、j,k,l=1,2. (9.54)用gimx乘以（9.54），并对 i 求和，得到gxklxklxm=0 , k,l,m=1,2. (9.55)回想起在（9.53）和（9.54）中用坐标 i 定义的第一、第二Christoffel符号。在特殊情况下，曲面Sx2 是控制曲面，由高度函数 us 在S2上的值来定义，也就是xs=s1,s2,u(s) , 用gxm/si 乘以（9.55）并对 m 求和，得到以下反向的曲面Beltrami方程：B2xsi+B2xuusi=0 , i=1,2, (9.56)其中B2xygxgxij2yijg22x2y11-2g12x2y12+g11x2y22 , i,j=1,2.反向Beltrami系统的另一种形式可以由用于曲面网格生成的（9.28）得到。即将（9.52）应用到（9.28），并使用标识符 i=si , i=1,2 ，我们得到B2xsl+gxgsxkmkml=0 ,