[经济学]第一章 函数与极限.doc

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1、第一章 函数与极限函数的特性 有界性:设函数的定义域为,数集,如果存在数(),使得 ()对都成立,则称函数在上有上界(有下界)；如果存在正数,使得对都成立,则称函数在上有界.否则称函数在上无界.有界当且仅当既有上界又有下界.单调性:设函数的定义域为,区间.如果函数对于区间上任意两点及,当时,总有 ()则称函数在区间上是单调增加(单调减少)的.在整个定义域上单调增加(或单调减少)的函数称为单调函数.奇偶性:设函数的定义域关于原点对称,如果对于任意的,都有 ()则称为偶函数(奇函数).偶函数的图形关于轴对称；奇函数的图形关于原点对称.周期性:设函数的定义域为,如果存在一个正数,使得对于任意的,有,

2、并且恒有,则称为周期函数,称为的周期.通常所说的周期是指最小正周期.函数的运算复合函数定义 设函数和的定义域分别为和,且有,则函数称为由函数及构成的复合函数.它的定义域为,称为中间变量.初等函数定义 由常数和基本初等函数(幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数)经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,统称为初等函数.由基本初等函数经过有限次四则运算和函数的复合运算所得到的函数,称为初等函数.基本初等函数：常值函数、指数函数、三角函数、幂函数、反三角函数、对数函数.（1）常值函数如果当自变量在函数定义域中任意变化时，函数值恒等于一个常数，即，则称这个函

3、数为常值函数.性质：它的自然定义域为，值域为.的图形是一条水平直线.（2）指数函数 形如 的函数称为指数函数。其中底数，性质：当时，函数单调增加；当时，函数单调减少；指数函数经过点，它的自然定义域为，值域为；对于,为实数，我们规定：；运算法则： 对于指数函数通过掌握的图形，掌握指数函数的性质.（3）三角函数 三角函数有, (=)和 ()，它们都是周期函数.正弦函数性质：它的自然定义域为，值域为.它是奇函数.它的图像如图所示. 余弦函数性质：它的自然定义域为，值域为.它是偶函数.它的图像如图所示. 正切函数性质：它的自然定义域为，值域为.它是奇函数.它的图像如图所示. 余切函数性质：它的自然定义

4、域为，值域为.它是奇函数.它的图像如图所示. 同角三角函数基本关系式倒数关系：,商的关系,平方关系,两角和的正弦、余弦公式两角差的正弦、余弦公式倍角公式降幂公式, 特殊角的三角函数值（4）幂函数 形如的函数为幂函数，其中为任意常数.; ;,的图形，性质：为正整数时，幂函数的定义域是;为负整数时，幂函数的定义域是;对任意实数，曲线都通过平面上的点；为偶数时，为偶函数； 为奇数时，为奇函数；时，在单调增加； 时，在单调减少.幂函数：（是常数）（5）反三角函数反正弦函数：，性质：它的自然定义域为，值域为. 它是奇函数. 在定义域内单调递增. 它的图像如图所示.反余弦函数：, 性质：它的自然定义域为，

5、值域为. 它没有奇偶性. 在定义域内单调递减. 它的图像如图所示.反正切函数： 性质：它的自然定义域为，值域为. 它是奇函数. 在定义域内单调递增. 它的图像如图所示.反余切函数： 性质：它的自然定义域为，值域为. 它没有奇偶性. 在定义域内单调递减. 它的图像如图所示.分段函数定义 在自变量的不同变化范围中,对应法则用几个不同式子来表示的函数,我们通常称为分段函数.例如就是一个分段函数.注意:不能说“凡是分段函数都不是初等函数”,例如是一个分段函数,但是它可以表示成,所以这个分段函数是初等函数.典型例题解析例1 设,求.分析 本题是求函数的表达式,可以用凑元法或换元法.解法一 (凑元法) 因

6、为 ,所以 即 ,故 .解法二 (换元法) 令,则,所以故 .例2 若对任意,有,求.分析 此题可以用解函数方程组的方法求出.解 令,则,即 ,与原式联立,消去,得到 .例3 判断下列函数的奇偶性:(1)；(2)；(3).分析 要判断函数的奇偶性,只需用定义来证明.解 (1) 由于的定义域为的全体实数,不关于原点对称,所以所给函数是非奇非偶函数.(2) 由于 +=.得到.所以所给函数是奇函数.(3) 由于 ,即.所以所给函数是偶函数.例4 单项选择题: 设,则是( ).(A)有界函数；(B)单调函数；(C)周期函数；(D)偶函数.分析 此题主要是考察函数的性质,用定义来分析.解 当时,只要,则

7、,所以无界.又,显然不是单调函数,周期函数,并且很容易证明它是偶函数.所以答案是(D).例5 单项选择题: 设,则( ).(A)；(B)；(C)；(D).分析 此题是考查函数及分段函数的概念.解 ,答案是(D)例6 设是的反函数,求的反函数.分析 此题关键是对反函数定义的理解.解 因为是的反函数,所以对一切都成立,用代,得到,由此推出故的反函数为2.例7 设函数 ,求.分析 本题是将两个分段函数复合成一个分段函数.解 首先需写出以为自变量的函数的表达式,得到由的定义可知,当时,；当时,.代入的表达式,得到 .第二章 函数的极限数列的极限1.数列的极限定义 设为一数列,如果存在常数,对,当时,恒

8、有,则称是数列的极限,或称数列收敛于,记作 (或).如果不存在这样常数,则称数列无极限,或称数列是发散的.2.收敛数列的性质(1)极限的惟一性. 如果数列收敛,则它的极限惟一.(2)收敛数列的有界性. 如果数列收敛,则数列必有界.(3)收敛数列的保号性. 如果且(或),则存在正整数,当时,都有(或)；反之,如果数列从某项起有(或),且,那么(或).(4)收敛数列与其子数列间的关系. 如果数列收敛于,那么它的任一子数列也收敛于.函数的极限1.时,函数的定义设函数在点的某个去心邻域内有定义,如果存在常数,对, ,当时,恒有.那么常数就称为函数当时的极限,记作 (或).单侧极限 设函数在点的左侧附近

9、有定义,如果存在常数,对, ,当时,恒有,则称为函数当时的左极限,记作 (或).类似地可定义右极限,记为 (或).存在当且仅当、都存在且相等.2.时,函数的定义设函数当大于某一正数时有定义.如果存在常数,对,当时,恒有,那么常数就称为函数当时的极限,记作 (或).单侧极限 设函数当大于某一正数时有定义.如果存在常数,对, ,当时,恒有,则称为函数当时的极限,记作 (或).类似地可定义 (或).存在当且仅当、都存在且相等.3.函数极限的性质(1)函数极限的惟一性. 如果存在,那么这个极限惟一.(2)有极限函数的局部有界性. 如果,那么存在常数和,使得当时,有.(3)有极限函数的局部保号性. 如果

10、,而且(或),那么存在常数,使得当时,有(或)；反之,如果在点的某个去心邻域内(或),而且,那么(或).(4)函数极限与数列极限的关系. 如果存在,为函数的定义域内任一收敛于的数列,且满足,那么相应的函数值数列必定收敛,且.无穷小与无穷大(1)定义. 如果函数当(或)时的极限为零,那末称为当(或)时的无穷小.(2)当(或)时,函数有极限的充分必要条件是,其中是无穷小.(3)定义. 设函数在点的某个去心邻域内(或当大于某一正数时)有定义,如果对于,(或),当(或)时,恒有,则称函数当(或)时为无穷大,记作(或).(4)无穷大与无界函数的关系. 无穷大必无界,反之,无界函数不一定是无穷大.(5)无

11、穷大与无穷小的关系. 在自变量的同一变化过程中,如果为无穷大,则为无穷小；反之,如果为(非零)无穷小,则为无穷大.五、极限运算法则(1)有限个无穷小之和为无穷小.(2)有界函数与无穷小之积为无穷小.(3)常数与无穷小的乘积是无穷小.(4)有限个无穷小之积为无穷小.(5)如果每一个函数极限存在,则函数的和,差,积,商的极限均存在,且等于各极限的和,差,积,商(其中商的极限中,要求分母的极限不为零).(6)如果存在,而为常数,则 .(7)如果存在,而为正整数,则 .(8)如果,而,那末.以上性质,函数与数列完全类似.(9)复合函数的极限运算法则 设函数由函数及复合而成,它在点的某个去心邻域内有定义

12、,若,并且在的某个去心邻域内,有,则.六、极限存在准则 两个重要极限1.准则1(两边夹定理)数列极限：如果(1),；(2),那末数列的极限存在,并且.函数极限: 如果在(或)内,恒有(1)；(2),则有.2.准则2单调增加有上界或单调减少有下界的数列必收敛.3.两个重要极限(1)；(2).注意: (1)；(2).七、无穷小的比较1.定义 设与是同一极限过程中的两个无穷小,并且如果,则称是比高阶的无穷小,记作；如果,则称是比低阶的无穷小；如果,则称与是同阶无穷小,记作；特别地,如果,则称与是等价无穷小,记作.如果,则称是的阶无穷小.2.关于等价无穷小的定理定理1 与是等价无穷小的充分必要条件为

13、.定理2 设并且存在,则有 .3.常用的等价无穷小 当时,有如下等价式:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)八、函数的连续性与间断点1.连续性的定义(1)函数在一点处连续. 设函数在点的某个邻域内有定义,如果(或),那末就称函数 在点连续.(2)单侧连续. 如果,(或),称函数在点左连续(或右连续).函数在点连续的充要条件是函数在点左连续且右连续.(3)函数在区间连续. 如果函数在开区间内任一点连续,称在开区间内连续；如果函数在开区间内每一点连续,并且在右连续,在左连续,则称在闭区间上连续.2.函数的间断点(1)定义. 如果函数在点不连续,则称为函数的间断点.(2)间断点的分

14、类. 左、右极限都存在的间断点称为第一类间断点,特别地,左、右极限都存在且相等(即极限存在)的间断点称为可去间断点；不属于第一类间断点(即左、右极限至少有一个不存在)的间断点称为第二类间断点.九、连续函数的运算与初等函数的连续性(1)若及在点处连续,则,在点处也连续.(2)若函数在某区间上单调且连续,则它的反函数在对应的区间上也单调且连续.(3)设函数是由函数及复合而成的复合函数, ,若在连续,且,而函数在 点连续,则复合函数在也连续.(4)一切初等函数在其定义域内是连续的.十、闭区间上的连续函数性质1.最值定理闭区间上的连续函数在该区间上有界,并能取到最大值和最小值.2.介值定理设在闭区间上

15、连续,则必能在上取到介于最大值和最小值之间的任何值.3.零点定理设在闭区间上连续,且和异号,则,使.4.分段函数在分界点处的连续性设是一分段函数,为一分界点,若,则在 点连续.否则点为间断点.典型例题解析例1 求极限.分析 此类题目常常采用分子有理化.解 原式.例2 已知,则 , .分析 此类题目实际上是计算题.解 ,得到 .例3 设,求.分析 此题只需将化简,并且利用重要极限来求.解 .例4 求分析 函数的表达式中含有绝对值符号,或指数函数的指数趋向于无穷大时,解题时必须求其左、右极限,并判断是否相等.解 ,.因为左、右极限存在并且相等, .例5 如果,求.分析 本题是已知一个函数的极限,求

16、另一个函数的极限.解本题的关键是将所给的函数变形,分解出部分,而后求极限.解 .故 .例7 求极限 .分析 求指数函数当时的极限,必须区分正、负无穷.解 ,.故原极限不存在.例8 求极限 .分析 此极限为型,可以化为重要极限来求. 解 令,则有.例9 已知极限,问分析 此极限为型,可以转化为重要极限来求.解 而 . 所以,原极限=.故 .例10 求极限.分析 将有不等于零的极限分离出来,并且用等价无穷小替代.解 .例11 单项选择题: 时,变量是( ).(A)无穷小量 (B)无穷大量(C)有界的,但不是无穷小量 (D)无界的,但不是无穷大量分析 此题主要是区分无穷大量与无界变量.解 答案是(D

17、)因为,取,时,.而此时,但是,取,时,仍有.而此时.所以,时,变量不是无穷大量,更不可能是无穷小量,而是无界变量.例12 设,证明数列收敛,并求数列的极限.分析 此题关键是用单调有界数列有极限这个定理来证明.证 由于 . 并且 得到:数列单调递减有下界,从而数列有极限.记.在等式两边取极限得到:解得 (舍去,因为).故 .例13 设,试证数列的极限存在,并求此极限.分析 此类题目应该采用极限存在准则进行证明.证(1)有界性：,设,则,由归纳法可知,对一切,有,即数列有下界；(2)单调减少：,设,则,由归纳法可知,数列单调减少；故数列极限存在；(3)设,对,令,得,由,解得.例14 已知,求.

18、分析 本题是已知一个函数的极限,求另一个函数的极限.解本题的关键是将所给的函数适当变形,分解出部分,而后求极限.解 ,于是, .例15 求.分析 将分子拆开,并且用等价无穷小来替换.解 分子而 .例16 设,其中存在,求.分析 两边求极限即可.解 设,则,令,得,故.例17 若函数在上连续,求的值. 分析 本题只需根据连续的定义做.解 , .例18 讨论函数的间断点及其类型.分析 只需用定义判断间断点的类型.解 间断点为及,所以为(第一类)跳跃间断点；,所以为(第二类)无穷型间断点.例19 设函数在闭区间上连续,并且在上,都有,证明在上至少存在一点,使得.分析 构造一个连续函数,利用连续函数的

19、零点定理进行证明.证 令,在上连续,在上也连续,如果(1)或,则结论显然成立.(2)且,则有,所以,根据连续函数的零点定理,必定存在一点,使得.即.所以.根据(1)及(2)可知,必定在上至少存在一点,使得.第二章练习题1. 判别下列各组函数是否相等：(1) 函数与.(2) 函数与.2. 求函数的定义域.3. 求双曲正弦函数的反函数.4. 设函数,求 .5. 单项选择题:已知极限,并且则( )不正确.(A)(B)(C)(D)6. 用数列极限的定义证明.7. 用函数极限的定义证明.8. 求下列极限(1)(常数)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).9. 已知,求.10. 已知,求的值.

20、11. 单项选择题:设和在内有定义,连续且,有间断点,则( ).(A) 必有间断点(B) 必有间断点(C) 必有间断点(D) 必有间断点12. 设对于均有,并且,证明数列有极限,并求.13. 设,问为何值时在其定义域内连续?14. 设,求 (1)的间断点及其类型.(2)的连续区间.15. 设,(1)求,(2)讨论的连续性.16. 设在上连续,证明:至少存在一点,使得 .17. 证明方程在之间至少有两个实根.18. 设函数,在上连续,且,试证:必定存在一点,使得.第三章 导数与微分内容提要一、导数概念1. 导数的定义和其他形式(1)设函数在点的某个邻域内有定义,如果极限存在,则称函数在处可导,并

21、把此极限值称为函数在处的导数,记作,即=,也可记作,等.(2)如果极限不存在,则称函数在处不可导.(3)若在开区间内每一点都可导，则称函数在开区间可导.这时,对于任一,都对应着的一个确定的导数值.这样就构成了一个新的函数,这个函数叫做原来函数的导函数,记作,或.(4)导数的其他形式如下:；.(5)注意: 在极限中，是变量,为常量,并且,但可正可负.而极限的结果与有关,与无关.2.单侧导数(1)称为函数在点的左导数.(2)称为函数在点的右导数.(3)在处可导都存在并且相等.(4)如果函数在开区间可导,并且在处右导存在,在处的左导存在,则称函数在闭区间可导.3.导数的几何意义函数在点的导数在几何上

22、表示为曲线在点处的切线斜率,即,其中是曲线上点的切线的倾角(见下图).4.可导与连续的关系可导一定连续,但连续不一定可导.二、函数的求导法则1.和、差、积、商的求导法则设在点都可导,则；(其中为任意常数)；,(其中).2.反函数的求导法则如果函数在区间内单调、可导且，则它的反函数在区间内也可导，且 或 .3.复合函数的求导法则如果在点可导,在点可导,则复合函数在点可导,且其导函数为 或 .4. 基本导数公式,.5.分段函数在分界点的求导法设点是分段函数的分界点,则先判断在处是否连续,(1)如果在处不连续,则在点不可导；(2)如果在处连续,则用公式法或定义分别求出在处的左,右导,如果左导右导,则

23、在处不可导.如果左导右导,则在处可导,并且导数左导右导.三、高阶导数1.高阶导数的几个基本公式(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).2.莱布尼茨公式如果及都在点处具有阶导数,则有.四、隐函数所确定的函数的导数隐函数求导法(1)设由一个二元方程确定了一个隐函数,则隐函数的求导有两个关键步骤:第一,在方程的两边对求导数.第二,必须将看作为的函数.例如,对求导,应该得到.(2)如果是一个幂指函数(如),或者是一个较复杂的乘,除,乘方,开方的函数(如),则往往采用对数求导法.即:先将方程的两边求对数,然后方程两边对求导,其中的仍然看作为的函数.五、函数的微分1微分的定义设函数在某区间内有定义

24、,及都在该区间内,如果函数的增量可表示为,其中是不依赖于的常量,而是的高阶无穷小,那末称函数在点是可微的.否则的话,称为不可微的.在可微的情况下,称为函数在点相应于自变量增量的微分,记作,即.注意:(1)如果可微,则,即.(2) 与的差是的高阶无穷小,即时,.即.(3)在可微的条件下,在任意点的微分.2.可微与可导的关系可微与可导是等价的,即在点可微的充分必要条件是在点可导.3.微分的计算公式.4.从常用的导数公式立刻可以得到常用的微分公式5.微分形式的不变性设函数,无论是自变量还是中间变量,微分形式保持不变.这一性质称为一阶微分的形式不变性.典型例题解析例1 设存在,求.分析 在导数存在的条

25、件下,将所求的极限化为定义的形式即可.解 .例2 设在处连续,且,求.分析 本题只能用导数的定义来求,并且利用连续函数的性质.解 为此,先求出.所以.例3 单项选择题:设在点处可导,而在点处不可导,则在点 处( ).(A)必不可导,而未必不可导(B)和都可导(C)可导,且不可导(D)与都不可导分析 本题是要考察导数的运算法则解 因为,如果可导,则由上式可推出可导,与已知矛盾.所以必不可导,又如果在可导,在不可导,而在也可导.故未必不可导.所以答案为(A).例4 单项选择题:如果存在时,( ).(A)(B)(C)(D)分析 可以用导数的定义来考虑.解 因为 .所以答案为(B).例5 设，求.分析

26、 本题是幂指函数,用对数求导法.解 由两边求对数,得到:，再两边对求导,得到， 例6 设处处可导，求的值.分析 本题是分段函数的求导问题,只需考虑分界点的连续性及可导性.解 由于在处,显然是可导的,所以只需考虑在处的可导性.因为在处连续，.又,，而在处可导，于是.例7 单项选择题:设,则在点可导的充分必要条件是( ).(A)存在(B)存在(C)存在(D存在分析 注意:由于本题并没有在点处可导作为已知条件,所以在考虑充分条件时应该特别注意.解 (A)由于, (1)如果在点可导,说明存在,因为,所以存在.如果存在,因为,所以,由(1)式可知存在,因为,即只能表示在点的右导存在,并不能说明在点可导.

27、因此,在点可导只是存在的充分条件.(B)由于, (2)如果在点可导,说明存在,因为,由(2)式可知,所以存在.如果存在,因为,所以存在,所以在点可导.因此,在点可导是存在的充分必要条件.(C)用同样的方法可以说明在点可导是存在的充分条件,而不是必要条件.(D)同样,在点可导只是存在的充分条件而不是必要条件.综上所述,本题的答案是(B).例8 设，求.分析 这是一个分段函数的求导问题,当不是分界点时,采用公式求导. 当是分界点时,往往采用定义的方法或采用求左、右导的方法.解 当时,.又,因此, .例9 函数的不可导点的个数是（ ）.(A) 3 (B)2 (C)1 (D) 0分析 本题技巧性较强,

28、关键是,由导数定义可知,在点不可导,而在点可导.故对进行因式分解,并考察使的点.解 ，故在不可导.在可导,所以,函数的不可导点的个数是两个.答案是(B).注:本题如果用定义来求的话,虽然也可以得到正确的结果,但太麻烦.例10 设可导,.问在的可导性如何?分析 本题只需要用定义来分析.解 .所以, 在点可导.例11 设,其中具有一阶连续导数,求.分析 抽象函数的求导往往采用定义求导.解 一阶可导,从而连续. ,得到.而以下的方法是错误的:.故 .上述方法错误的原因是:并不知道是否二阶可导,而这种错误,初学者是经常犯的.例12 设，求.分析 此题可以先将表达式化简,然后求导.如果直接求导就比较麻烦

29、.解 先化简，所以 .例13 设是由方程所确定的隐函数，求.分析 本题用隐函数求导解 方程两边对求导， (1)用代入原方程,得到，代入(1)式 ，(1)式两边再对求导：，用,，代入得:.例14 设,试计算在处当时函数的增量以及函数的微分.分析 本题是利用定义来求增量及微分.解 ,故 .而 .例15 单项选择题: 如果对于函数有.则当时,在点处的微分是( ).(A)与等价无穷小(B)与同阶无穷小,但不是等价无穷小(C)比高价无穷小(D)比低价无穷小分析 此题是考察微分的定义及无穷小的阶.解 因为 . 所以,微分是与同阶无穷小,但不是等价无穷小.答案选(B).例16 设，其中可微，求.分析 本题是

30、抽象函数的复合函数求微分.要注意抽象函数的求导符号.解 .第二章练习题1.求下列函数的导数:(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.设,，求.3.设，求 .4.设，求 .5. 设,求 .6.设,求.指出下面解法的错误,并写出正确的解法.解 因为,所以.7.设在处可导,并且 .求.8.为何值时, 在点处可导?9.设在内有定义,且对任意的都有 , ,其中,证明: 在内处处可导.10.设在内有定义,且对任意的,都有,又,求.11.求当,时的微分.12.若函数在点的某邻域内可表示为:.则在点处( )(A) 不一定可导(B) 二阶可导且(C) 二阶可导且(D) 可微13.求曲线的切线,使该切线平行于直线.14.设,其中二阶可导,且,.15.已知 ,求.16.设,求.17.已知,求.33