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1、第一讲 奇数与偶数一张画面向上的扑克牌，将它翻动一次，扑克牌就会变成画面向下。再翻动一次，它的画面又会向上。不停地翻动，就会发现，当翻动的次数是2，4，6，8时，扑克牌的画面向上；当翻动的次数是1，3，5，7，9时，扑克牌的画面向下。这样，就把整数分成了两类：一类是2，4，6，8，10叫作偶数；另一类是1，3，5，7，9叫作奇数。特别地，0也是偶数。偶数中只有2是质数，其余都是合数。也就是说，质数中只有2一个偶数，其余都是奇数。自然数是一奇一偶顺序排列的。两个连续的自然数，必然是一个奇数，一个偶数。奇数和偶数在运算中表现出不同的特性。一个数在与奇数进行加减运算时，必会改变其奇偶性。即一个奇数加
2、上（或减去）一个奇数，其得数将是一个偶数；一个偶数加上（或减去）一个奇数，其得数将是一个奇数。一个数在与偶数进行加减运算时，必会保持其奇偶性。即一个奇数加上（或减去）一个偶数，其得数将是一个奇数；一个偶数加上（或减去）一个偶数，其得数将是一个偶数。而在进行乘法运算时则不同，任何一个数乘以偶数，都得偶数；而只有奇数乘以奇数时，才得奇数。我们将以上性质总结如下：（1）奇数奇数偶数奇数偶数奇数偶数偶数偶数（2）奇数奇数奇数奇数偶数偶数偶数偶数偶数进一步，我们还可以得到：（3）奇数个奇数相加，和为奇数；偶数个奇数相加，和为偶数；任意个偶数相加，和为偶数。（4）如果两个整数的和为奇数，那么这两个数一定是
3、一奇一偶；如果两个整数的积为奇数，那么这两个数一定都是奇数。例1 有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗？解：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。5个奇数的和为奇数。所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。而小明每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。例2 有6张扑克牌，画面都向上。小明每次翻转其中的5张，那么，要使6张牌的画面都向下，他至少需要翻动多少次？解：同上题一样，只有将一张牌翻动奇数次，才能使
4、它由画面向上变为画面向下。要使6张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。6个奇数的和为偶数。所以翻动的总张数为偶数时才能使6张牌的牌面都向下。小明每次翻动5张，只有翻动偶数次时，翻动的总张数才为偶数。翻动两次时，一张牌最多被翻两次。而要使每张牌画面向下，就要使每张牌翻动的次数是奇数。小于2的奇数只有1。从而要使每张牌画面向下只能翻动6张。而小明翻了5210张。所以翻两次不能使6张牌画面向下。翻动4次时，每张牌最多翻4次。而要使每张牌画面向下，就要使每张牌翻动的次数是奇数。小于4的奇数有1和3。即使每张牌都翻动3次，也只翻动了6318张。而小明翻了5420张。所以翻4次也不能使6张牌画面都向
5、下。翻动6次时，可以使6张牌画面都向下。下面给出一种方法：第一次翻动第1、2、3、4、5张；第二次翻动第1、2、3、4、6张；第三次翻动第1、2、3、5、6张；第四次翻动第1、2、4、5、6张；第五次翻动第1、3、4、5、6张；第六次翻动第2、3、4、5、6张。这样，每张牌都翻动了5次，所以每张牌的画面都向下。例3 博物馆有并列的5间展室，保安人员在里面巡逻。他每经过一间，就要拉一下这间展室的电灯开关。他从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间，走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间。如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100个房间后，还有几间亮着灯？分析：当一个房间的开关被拉动偶数
6、次时，这间房间的灯亮着，反之则熄灭。警卫经过第1、2、3、4、5、4、3、2展室，又从第1展室开始重复这个过程。在这个过程中，2、3、4展室的电灯开关被拉动2次，第1、5展室的开关被拉动1次。解：1008124即警卫走了12个来回，并重新走过第l、2、3、4、展室。这时有如下情形：第1展室的电灯开关被拉动了12113（次）；第2展室的电灯开关被拉动了122125（次）；第3展室的电灯开关被拉动了122125（次）；第4展室的电灯开关被拉动了122125（次）；第5展室的电灯开关被拉动了12次。所以，第1、2、3、4展室的灯熄灭了，第5展室的灯亮着。例4 甲盒中放有180个白色围棋子和 181个
7、黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子。李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少次后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？解：不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会放一个棋子回甲盒。所以他每拿一次，甲盒中的棋子数就减少一个。所以他拿1801811360次后，甲盒里只剩下一个棋子。如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒中的黑子数不变。就是说，李平每次从甲盒中拿出的黑子数是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，不大于1的奇
8、数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。例5 图51是一张88的正方形纸片。将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个12的长方形纸片？解：如图52我们在方格内顺序地填上奇、偶两字。这时就会发现，要从上长方形纸片，不论怎样剪，都会包含一个奇，一个偶。我们再数一下奇字和偶字的个数，奇字有30个，偶字有32个。所以这张纸不能剪成若干个12的长方形纸片。习题一11351993的得数是奇数还是偶数？2两个数的和，减去这两个数的差，其得数是奇数还是偶数？3相邻两个整数的和是奇数还是偶数？4一串数排成一行，它们的规律是：前两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是
9、：1，1，2，3，5那么这串数的第100个是奇数还是偶数？530个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？6一个小于200的奇数，它的各位数字之和是奇数，并且它可表示成两个两位数的积，那么这个数是几？7小红将99个球放入十几个盒子，其中有些盒子中放了12个球，其余的各盒放5个。问他共有多少个盒子？8将19这9个数字填入33的方格中，每格填一个数字。要求满足以下两个条件：（1）如把每行看成一个三位数，那么第一行加上第二行，恰好等于第三行；（2）相邻两个数字所在的格子也相邻。第二讲 整除问题（一）在学习整数除法时，我们已经知道：被除数除数商数余数这里要求除数不为零，且余数小于除数。当两个整数a和b（b0）
10、，a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或者b整除a，也把a叫作b的倍数，b叫4a的约数，记作ba。如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，很显然，1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a，0是任何非零整数的倍数，a0，a为整数，则a0。一般来说，整数a是否能被整数b整除，只要真正作除法就可判断。但是对于一些特殊数，可以有比较简单的判断办法。一、数的整除的特征1前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。偶数总可表为2k，奇数总可表为2k1（其中k为整数）。2末
11、位数字为零的整数必被10整除。这种数总可表为10k（其中k为整数）。3末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。4末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。如1996190096，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。由于496能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。5末三位数字组
12、成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。由于10008125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。如判断765432是否能被8整除。因为765432765000432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。由于432854，即8|432，所以8|765432。能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，984，992。由于1251125，1252250，1253375；1254500，1255625；1256750；1257875；125810000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，625
13、，750，875。6各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。如478323是否能被3（9）整除？由于478323410000071000081000310021034（999991）7（99991）8（9991）3（991）2（91）3（49999979999899939929）（478323）前一括号里的各项都是3（9）的倍数，因此，判断478323是否能被3（9）整除，只要考察第二括号的各数之和（478323）能否被3（9）整除。而第二括号内各数之和，恰好是原数478323各个数位上数字之和。47832327是3（9）的倍数，故知478323是3（9）的倍数。在实际考察
14、478323是否被3（9）整除时，总可将3（9）的倍数划掉不予考虑。即考虑被3整除时，划去7、2、3、3，只看48，考虑被9整除时，由于729，故可直接划去7、2，只考虑4833即可。如考察9876543被9除时是否整除，可以只考察数字和（9876543）是否被9整除，还可划去9、54、63，即只考察8如问3是否整除9876543，则先可将9、6、3划去，再考虑其他数位上数字之和。由于3|（8754），故有3|9876543。实际上，一个整数各个数位上数字之和被3（9）除所得的余数，就是这个整数被3（9）除所得的余数。7一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那么这个整数也是
15、11的倍数。（一个整数的个位、百位、万位、称为奇数位，十位、千位、百万位称为偶数位。）如判断42559能否被11整除。4255941000021000510051094（99991）2（10011）5（991）5（111）9（4999921001599511）（42559）11（4909291595）（42559）前一部分显然是11的倍数。因此判断42559是否11的倍数只要看后一部分42559是否为11的倍数。而42559（459）（25）恰为奇数位上数字之和减去偶数位上数字之和的差。由于（459）（25）11是11的倍数，故42559是11的倍数。现在要判断7295871是否为11的倍数，
16、只须直接计算（1897）（752）是否为11的倍数即可。由251411知（1897）（752）是1的倍数，故11|7295871。上面所举的例子，是奇数位数字和大于偶数位数字和的情形。如果奇数位数字和小于偶数位数字和（即我们平时认为“不够减”），那么该怎么办呢？如867493的奇数位数字和为346，而偶数位数字和为978。显然346小于978，即13小于24。遇到这种情况，可在1324这种式子后面依次加上11，直至“够减”为止。由于1324110，恰为11的倍数，所以知道867493必是11的倍数。又如738292的奇数位数字和与偶数位数字和的差为（223）（987）72472411115（加
17、了两次11使“够减”）。由于5不能被11整除，故可立即判断738292不能被11整除。实际上，一个整数被11除所得的余数，即是这个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差被11除所得的余数（不够减时依次加11直至够减为止）。同学们还会发现：任何一个三位数连写两次组成的六位数一定能被11整除。如186这个三位数，连写两次成为六位数186186。由于这个六位数的奇数位数字和为618，偶数位数字和为861，它们的差恰好为零，故186186是11的倍数。数位数字和为cab，偶数位数字和为bca，它们的差恰为零，象这样由三位数连写两次组成的六位数是否能被7整除呢？如186186被7试除后商为26598，余数
18、为零，即7186186。能否不做1861867，而有较简单的判断办法呢？由于18618618600018618610001861861001而100171113，所以186186一定能被7整除。这就启发我们考虑，由于711131001，故若一个数被1001整除，则这个数必被7整除，也被11和13整除。或将一个数分为两部分的和或差，如果其中一部分为1001的倍数，另一部分为7（11或13）的倍数，那么原数也一定是7（11或13）的倍数。如判断2839704是否是7的倍数？由于283970428390007042839100070428391001283970428391001（2839704）2
19、8397042135是7的倍数，所以2839704也是7的倍数；2135不是11（13）的倍数，所以2839704也不是11（13）的倍数。实际上，对于283904这样一个七位数，要判断它是否为7（11或13）的倍数，只需将它分为2839和704两个数，看它们的差是否被7（11或13）整除即可。又如判断42952是否被13整除，可将42952分为42和952两个数，只要看95242910是否被13整除即可。由于9101370，所以13|910，8一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13
20、）整除。另法：将一个多位数从后往前三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差若被7（11或13）整除，则原多位数也被7（11或13）整除。如3546725可分为3，546，725三段。奇数段的和为7253728，偶数段为546，二者的差为7285461827267213二、整除的几条性质整除的以下性质是最基本的，也是最常用的。（1）aa（a为非零整数）；（2）若ab，且ba，那么ab；（3）若cb，且ba，那么ca；（4）若ca，且cb那么c（ab）；若ab，那么c（ab）；（5）若m是非零整数，且ba，则必有bmam；反之，若bmam，则必有ba；（6）如果ba，ca，且b
21、、c没有除1以外的公共约数（此时称b、c互质），那么bca。对于（3），如由24，412，可推出212。对于（4），如由436，416，可推出4（3616），4（3616）。对于（5），如由39可推出3494。反之，由3494可推出39。对于（6），如由324，224，且3和2之间没有1以外的公共约数（即3与2互质），可推出3224。这一性质在很多情况下将被多次使用。例1 求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。分析：由于要求被9整除，可只考虑数字和、又由于要求最小的，故从第二位起应尽量用最小的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为9的倍数。解：一个以5为首
22、位的六位数5，要想使它最小，只可能是501234（各位数字均不相同）。但是501234的数字和为50123415，并不是9的倍数，故只能将末位数字改为7。这时，50123718是9的倍数，故501237是9的倍数。即501237是以5为首位，且是9的倍数的最小的六位数。例2 老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数，回校后发现有两个数字已看不清了。你能帮助补上这两个数字吗？（13.7元，中为看不清的数字）。分析：首先将13.7元化为分，这样总钱数就是137分（整数分）。由于每本书价格相同，所以72137。但7289，所以8和9都应整除137。由于8整除137
23、，所以837。由此可知，当37376时，才有8376。故原数为1376。又由于9整除1376，所以其数字和1376必为9的倍数。即9（17）。而只能是1到9中的某个数，所以只能是1。因此，原数为11376分，即113.76元。例3 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能的小。数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：（1）数字和（568abc）是3的倍数；（3）末位c为0或5。又因3（568abc），即3（568ab0），所以当b2时，3（568a2），a可为0，3，6，9。当b4时，3（568a4），a可为1，4，7。当b6时，3（568
24、a6），a可为2，5，8。当b8时，3（568a8），a可为0，3，6，9当b0时，3（568a0），a可为2，5，8。例4 求能被26整除的六位数1993。分析与解：由于26213，所以所求六位数1993应分别被2和13整除。被2整除的数个位只能是0，2，4，6，8；所求六位数被13整除，必有19与93的差（9319）是13的倍数。（1）当原数个位为0时，93071137，故19也应满足被13除余7。19100136713913613（71）96即9613K7 91应是13的倍数，故只能是3。即六位数为319930。（2）当原数个位数为2时，93271139，故19也应满足被13除余9。由于
25、19（71）13969613K9，故93应是13的倍数，只能是9。即六位数为919932。（3）当原数个位数为4时，934711311，故19也应被13除余11。由于19（71）1396 9613K11，即95应是13的倍数，故只能是2。即六位数为219934。（4）当原数个位数为6时，9367213，所以19也应被13整除。由于19（71）13969613K，971313K，故97应是13的倍数，只能是8。即六位数为819936。（5）当原数个位数为8时，93872132，故19也应被13除余2。由于19（71）13969613K2，即94应是13的倍数，只能是1。即六位数为119938。综
26、合以上情况，满足条件的六位数有：319930，919932，219934，819936，119938，共五个。例5 将自然数1，2，3依次写下去组成一个数12345678910111213。如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，问这个自然数是多少？分析与解：由于要求恰好第一次能被72整除，因此，应以从前往后的顺序去寻找。如果先考虑被8整除，那么末位应为偶数，且末三位数字组成的三位数应是8的倍数。因而依次看三位数234，456，678，810，112，314，516，718，192，920，202，212，122，222，232，324，242，252，526，262，272，
27、728，282，930，132，334，536，738，394中哪些是8的倍数。如知456、112为8的倍数，就要再看123456以及123456789101112是否为9的倍数。由于123456的数字和为21，123456789101112的数字和为56，都不是9的倍数，所以不满足题目的条件。满足条件的数要在其它8的倍数中寻找。象这样试验三位偶数能否被8整除，速度较慢，由于被8整除的数一定能被4整除，故只须对被4整除的数（这种数极易看出）进行检验即可。经检验，形如123456，末三位为516，192、920，232、272、728的自然数都不是9的倍数。而当末三位为536时，才满足题目的条件
28、，即12345678910111233343536恰被72整除，故所求自然数为36。现在换一种方法，先考虑被9整除，再考虑被8整除，由于数 12345678910111218192021前九个数字之和为45，是9的倍数，故在考察位数超过九的数是否被整除时，前九个数字可不再看；接下来，由于101112131415161718的数字之和为45，是9的倍数，故在考察位数超过27位的数是否被9整除时，前27个数字可不再看；1920212223242526的数字之和为36，是9的倍数，因而在考察位数超过43位的数是否是9的倍数时，前43个数字可不再看；272829303的数字的之和为36，是9的倍数，因
29、而在考察位数超过52位的数是否被9整除时，前52个数字可不再看；1323的数字和为9，因而在考察位数超过56位的数是否被9整除时，前56个数字可不再看；33343536的数字和为27，因而在考察位数超过63位的数是否被9整除时，前63个数字可不看。以上做法把按自然数依次写下去组成的数分成若干段，各段的数字和均为9的倍数，即123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536然后从中再看各段末三位数字组成的三位数是否为8的倍数。789、718、526、627、303、435都不是8的倍数，但536是8的倍数。即写到36时，
30、第一次恰好是72的倍数。这样做比先考虑被8整除，后考虑被9整除要快速简单得多。习题二1 一个数是任何自然数的倍数，问这个数是几？一个数是任何自然数的约数，问这个数是几？2 四位数55能被5、6、7整除，问这样的四位数应该是多少？3 写出能被3、4、5整除的最大三位数和最小的四位数。4 一个无重复数字的五位数365，千位与十位数字看不清了，但知这个数是75的倍数。问这种五位数有哪几个？5 求一个能被11整除且首位数字为7，其余各位数字各不相同的最小六位数。6 六位数1993能被33整除，这样的六位数是多少？7 前若干个自然数1，2，3的乘积的最末13位数都是零，问最后一个自然数最小应该是多少？8
31、 在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得三位数比原数大8倍。求这个两位数。9 从1，2，3，4，5中任取三个数，组成没有重复数字的三位数，在这些三位数中找出能同时被2和9整除的数来。10 四个小朋友恰好一个比一个大1岁，他们年龄的乘积等于3024。问这四个孩子年龄各是多少？第三讲 质数与合数（一）质数与合数概念是数学运算、算式化简以及分析一些数字问题时常用到的。如果一个比1大的自然数只有两个约数：1和本身，那么这个自然数就叫质数。质数也叫素数。例如：4314343只有1和43两个约数，所以43是质数。100以内的质数是极为常用的，它们是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31
32、，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97在自然数中，如果除了1和本身两个约数，还有其它的约数，这个自然数就叫合数。例如：6的约数有1、2、3、6，那么6是合数。合数也叫复合数或合成数。应特别注意1既不是素数也不是合数。例1 求出924的质数约数的和。解：我们要充分利用数字的整除特征，运用短除的形式，把924作质约数分解。924112237质约数有：11、2、3、7，其和为1123723。例2 求出852的约数。分析：我们首先可把852的质数约数求出来进而求出全部约数。注意：1，852也是约数。解：85222371约数有1，2，3，4，6，12，71，
33、142，213，284，426，852共12个约数。一般地：对一个自然数作质约数分解（也称质因数分解）nm都是正整数）A的约数个数有（n11）（n21）（nm1）个。例3 有两个两位数的积是3927，这两个数的和是几？解：首先将这个积做质因数分解3927371117把这四个质因数适当搭配可以得到这两个两位数是31751，71177。所以两数的和是5177128。分析：我们可以把分母是13的分数按照规定的范围先列出来，再将其中分子是13的倍数的那些分数去掉。分子应在7至64这58个自然数中选择，因为13是质数，去掉13，26，39，52，用余下的54个自然数做分子，可以得到54个满足条件的最简分
34、数。例5 有八个数693，35，48，28，175，108，363，165把它们分为两组，使两组数的积相等。分析：要使两组数的乘积相等，那么两组中相同质因数的个数一定相等。首先，将它们分解质因数。69332711 17552728227 35571082233 36311231653511 48324为了观察得清楚，我们将他们放在一个表格中：这8个数的分组情况一组是：693，35，165，48另一组是：175，28，108，363例6 要使四个数的积1351925486（ ）结果的最后五位都是零，括号中的数最小填入几？分析：要使乘积结果的最后五位是零，就应当使这四个数中保证有五对2和5的因子。
35、解：首先将前面三个数字分解质因数：135335192555711486235它们当中共有三个5，一个2。应再补上两个5，四个2，括号中的数最少应当取552222400。例7 合数3570，有很多的约数，其中最小的三位约数是多少？分析：如果我们一味地把3570的质因子凑成满足条件的三位数，也是可以的。还可将三位数由小到大逐个分解质因数，看其因子是否都是3570的因子即可。3570235717三位数从小到大：100，101，102，1031005222 显然100中因子里5和2各多一个，100不是3570约数，101是质数，也不是3570的约数，1022317 2，3，17都是3570的质因子，所
36、以102是3570最小的三位约数。例8 九个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有几个？分析：我们用不同的条件做筛子，逐步加强条件的限制，使其结果明显化。由于大于2的质数一定是奇数，而大于80的九个连续自然数至多只有5个奇数，所以质数的个数不大于5个。我们知道：在三个连续的奇数中至少有一个数是3的倍数。所以这五个连续奇数中至少有一个是合数。因此，质数至多只有四个。如：101109中，质数有101，103，107，109例9 把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？分析：首先假设可以分成五个质数之和（分成6个以上质数之和不可能）：33是奇数，因此
37、五个质数中不能有2（否则和是偶数），取最小连续五个奇质数3，5，7，11，13的和是39超过33。所以分成五个是不可能的。假设33可以分成四个质数之和，33是奇数，因此四个数中一定有一个是偶质数2，即其余三个的和是31，显然可以找出其余三个分别是：3，5，23 3，11，17 7，11，13 5，7，19 三数乘积最大的是711131001 假设33可分成三个质数和，只可能是3，13，17；3，11，19；3，7，23；5，11，17；乘积均小于271113，33若分为两个质数之和，只可能是2和31，乘积仅为62。故应将33写成四个质数：2，7，11，13的和。例10 A，B，C是三个自然数，
38、已知：A，B42，B，C66，（A，C）3，求所有满足上述条件的A，B，C。说明：A，B表示A，B的最小公倍数，（A，B）表示A，B两数的最大公约数。解：由A，B42237可知A，B中只含有2，3，7的质因子。由B，C662311可知B，C中只含有2，3，11的质因子。因此，B的因子只可能取2，3。又因为（A，C）3，A，C都含有3的因子，且A，C不同时含有2的因子，这样B中一定含有2的因子。下面我们排一个表格，将A，B，C的数值写进去。可以看出，满足条件的A，B，C有六组。由于一个整数的质因数分解是唯一的，这往往就成为我们进一步分析问题的一个理想的出发点。习题三1 把下面的整数分解质因数：1
39、001，546，19932 由1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成的九位数是质数吗？3 把下列八个数，分为两组，每组四个数，使两组数的积相等，问如何分？14，33，35，75，39，30，143，1694 自然数199119921993，除本身之外最大的约数是几？5 要使975935972（ ）的积，最后四位都是“零”，括号中最小填入几？6200除以一个两位数质数，余数是14，求这个两位数。第四讲 最大公约数与最小公倍数如果一个数同时是几个数的约数，那么我们就称它为这几个数的公约数。几个数的公约数中最大的一个，称为这几个数的最大公约数。如果一个数同时是几个数的倍数，那么我们就称它是
40、这几个数的公倍数。几个数的公倍数中最小的一个，称为这几个数的最小公倍数。求最大公约数和最小公倍数一般有以下几种方法。1短除法：例1 求8，12，18的最大公约数和最小公倍数。解：求最大公约数和最小公倍数的最常用的办法就是短除法。具体作法如下：8、12、18的最大公约数为2。8、12、18的最小公倍数为2232372我们习惯上用（8，12，18）表示，8，12，18的最大公约数，即：（8，12，18）2用8，12，18表示8，12，18的最小公倍数，即8，12，1872短除法的长处在于它可同时求出最大公约数和最小公倍数。在求三个以上数的最大公约数和最小公倍数时，尤其简便。2分解质因数法：分解质因
41、数是求最大公约数的最直接的方法。但往往被忽视。解：化简分数实际上就是求分子分母的最大公约数。如果用短除法，就会发现很难找出其公有的质因数。但很容易看出6933是3的倍数，25421是11的倍数。实际上，只要将分子分母分解质因数，就很容易看到结果。69333231125421112311无论是短除法，还是分解质因数法，在质因数较大时，都会觉得困难。这时就需要用新的方法。3辗转相除法：例3 从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是_毫
42、米。解：剪的过程如图所示第一、二次剪下847847平方毫米的正方形。第三、四次剪下边长308毫米的正方形。第五次剪下边长231毫米的正方形。第六、七，八次剪下边长77毫米的正方形。以上的解题过程，实际上给出了求最大公约数的另一个办法辗转相除法。以上过程可用算式表示如下：200284723088473082231308231177231773由以上算式可以看出；这种方法就是用大数除以小数，再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直至余数为零。最后一个除数就是两数的最大公约数。这是因为；两个数的最大公约数，同时是两个数的约数，也就是余数的约数。拿这道题来说，2002和847的公约数，也就是847与308的公约数，也就是308与231的公约数，也就是231与77的公约数。由于231是77的倍数，所以它们的最大公约数就是77，即2002与847的最大公约数。辗转相除法的竖式格式如下：最大公约数与最小公倍数的一个重要性质是：两个数的乘积等于其