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1、 网址：专题八 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题81 直角坐标系【知识要点】1数轴上的基本公式设数轴的原点为O，A，B为数轴上任意两点，OBx2，OAx1，称x2x1叫做向量的坐标或数量，即数量ABx2x1；数轴上两点A，B的距离公式是d(A，B)|AB|x2x1|2平面直
2、角坐标系中的基本公式设A，B为直角坐标平面上任意两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点之间的距离公式是.A，B两点的中点M(x，y)的坐标公式是.3空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，A，B两点之间的距离公式是.【复习要求】1掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题；2了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)|x3|1；(2)|x3|4；(3)1|x3|4略解：(1)设直线坐标系上点A，
3、B的坐标分别为x，3，则|x3|1表示点A到点B的距离等于1，如图所示，所以，原方程的解为x4或x2(2)与(1)类似，如图所示，则|x3|4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为x|1x7(3)与(2)类似，解不等式1|x3|，得解集x|x4，或x2，将此与不等式|x3|4的解集x|1x7取交集，得不等式1|x3|4的解集为x|1x2，或4x7【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式|xa|的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离例2 已知矩形ABCD及同一平面上一
4、点P，求证：PA2PC2PB2PD2解：如图，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系设ABa，ADb，则 A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，设P(x，y)，则，所以PA2PC2PB2PD2【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法，非常重要坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便例3 已知空间直角坐标系中有两点A(1，2，1)，B(2，0，2)(1)求A，B两点的距离；(2)在x轴上求一点P，使|PA|PB|；(3)设M(x，y，0)为
5、xOy平面内的一点，若|MA|MB|，求x，y满足的方程解：(1)由两点间的距离公式，得.(2)设P(a，0，0)为x轴上任一点，由题意得即a22a6a24a8，解得a1，所以P(1，0，0)(3)由题意，得，整理可得x2y10所以，x，y满足的方程为x2y10【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用练习81一、选择题1数轴上三点A，B，C的坐标分别为3，1，5，则ACCB等于 ( )A4B4C12D122若数轴上有两点A(x)，B(x2)(其中xR)，则向量的数量的最小值为 ( )AB0CD3在空间直角坐标系中，点(1，2，3)关于yOz平面的对称点是 ( )A(1，2，
6、3)B(1，2，3)C(1，2，3)D(1，2，3)4已知平面直角坐标内有三点A(2，5)，B(1，4)，P(x，y)，且|AP|BP|，则实数x，y满足的方程为 ( )Ax3y20Bx3y20Cx3y20Dx3y20二、填空题5方程|x2|3的解是_；不等式|x3|2的解为_6点A(2，3)关于点B(4，1)的对称点为_7方程|x2|x3|4的解为_8如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|DA|3，|DC|4，|DD1|2，A1C的中点为M，则点B1的坐标是_，点M的坐标是_三、解答题9设A(x)为数轴上一点，它到点B(2)的距离大于3，到点C(2)的距离小于3，求x的取值范围10求证
7、：平行四边形ABCD满足AB2BC2CD2DA2AC2BD211求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形专题八 解析几何练习81一、选择题1A 2D 3C 4B二、填空题51，5 x|x1，或x5 6(10，1) 78(3，4，2) 三、解答题9解：由题意，得，解得5x1，所以x的取值范围为x|5x110证明：如图，以点A为坐标原点，AB为x轴，向右为正方向，过A作AB的垂线为y轴，向上为正方向设ABa，点D(m，n)，则B(a，0)，C(ma，n)，所以AB2BC2CD2DA22(a2m2n2)，又AC2BD22(a2m2n2)，所以AB
8、2BC2CD2DA2AC2BD211证明：因为,所以|AC|BC|，则ABC为等腰三角形82 直线的方程【知识要点】1直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线2直线的倾斜角和斜率x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角因此，倾斜角a 的取值范围是0180我们把直线ykxb中的系数k叫做这条直线的斜率设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线ykxb上任意两点，其中x1x2，则斜率k.倾斜角为90的直线的斜率不存在，倾斜角为a
9、 的直线的斜率ktana (a90)3直线方程的几种形式点斜式：yy1k(xx1)；斜截式：ykxb；两点式：；一般式：AxByC0(A2B20)4两条直线相交、平行与重合的条件设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则(1)l1与l2相交A1B2A2B10或(2)l1与l2平行(3)l1与l2重合当直线l1与l2的斜率存在时，设斜率分别为k1，k2，截距分别为b1，b2，则l1与l2相交k1k2；l1l2k1k2，b1b2；l1与l2重合k1k2，b1b25两条直线垂直的条件设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1l2A1A2B1B20当直线l1与l
10、2的斜率存在时，设斜率分别为k1，k2，则l1l2k1k216点到直线的距离点P(x1，y1)到直线l：AxByC0的距离d的计算公式.【复习要求】1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系2掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标【例题分析】例1 (1)直线xy80的斜率是_，倾斜角为_；(2)设A(2，3)，B(3，2)，C(1，1)，过点C且斜率为k的直线l与线段AB相交，则斜
11、率k的取值范围为_略解：(1)直线xy80可以化简为，所以此直线的斜率为，倾斜角；(2)如图所示，设直线AC的倾斜角为a，因为此直线的斜率为，所以；设直线BC的倾斜角为，因为此直线的斜率为，所以.因为直线l与线段AB相交，所以直线l的倾斜角满足a，由正切函数图象，得tantana或tantan，故l斜率k的取值范围为.【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：已知直线的倾斜角a ，当a 90时，ktana；已知直线上两点的坐标(x1，y1)，(x2，y2)，当x1x2时，；已知直线的方程AxByC0，当B0时，.(2)已知直线的斜率k求倾斜角a 时，要注意当k0时，a arctank；当k0时
12、，a arctan|k|例2 根据下列条件求直线方程：(1) 过点A(2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2) 过点P(2，1)，且点Q(1，2)到直线的距离为1解：(1)设所求直线方程为y3k(x2)，或x2(舍)，令y0，得；令x0，得y32k，由题意，得，解得或k1，所以，所求直线方程为3x2y0或xy50；(2)设所求直线方程为y1k(x2)或x2，当直线为y1k(x2)，即kxy(2k1)0时，由点Q(1，2)到直线的距离为1，得，解得，所以，直线，即4x3y50符合题意；当直线为x2时，检验知其符合题意所以，所求直线方程为4x3y50或x2【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择
13、直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况例3 已知直线l1：(m2)x(m2)y10，l2：(m24)xmy30(1)若l1l2，求实数m的值；(2)若l1l2，求实数m的值解法一：(1)因为l1l2，所以(m2)(m)(m2)(m24)，解得m2或m1或m4，验证知两直线不重合，所以m2或m1或m4时，l1l2(2)因为l1l2，所以(m2)(m24)(m)(m2)0，解得m2或m1或m4解法二：当l1斜率不存在，即m2时，代入直线方程，知l1l2；当l2斜率不存在，即m0时，代入直线方程，知l1与l2既不平行又不垂直；当l1，l2斜率存
14、在，即m0，m2时，可求l1，l2的斜率分别为，截距，若l1l2，由k1k2，b1b2，解得m2或m1或m4，若l1l2，由k1k21，解得m1或m4综上，(1)当m2或m1或m4时，l1l2；(2)当m2或m1或m4时，l1l2【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注意正确使用例4 已知直线l过两直线l1：3xy10与l2：xy30的交点，且点A(3，3)和B(5，2)到l的距离相等，求直线l的方程【分析】所求直线l有两种情况：一是l与AB平行；二是点A，B在l的两侧，此时l
15、过线段AB的中点解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当l与AB平行；或l过A，B的中点时，可以使得点A，B到l的距离相等当lAB时，因为，此时l：，即x2y50；当l过AB的中点时，因为AB的中点坐标为M，所以l：，即l：x6y110综上，所求的直线l的方程为x2y50或l：x6y110例5 已知直线l1：ykx2k与l2：xy5的交点在第一象限，求实数k的取值范围解法一：解方程组，得交点，由题意，得，解得.解法二：如图所示，由l1：yk(x2)，知l1过定点P(2，0)，由l2：xy5，知l2坐标轴相交于点A(0，5)，B(5，0)，因为，kBP0，由题意，得.【评析】在例4，例5中，要充
16、分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想练习82一、选择题1若直线l的倾斜角的正弦为，则l的斜率k是 ( )ABC或D或2点P(ab，ab)在第二象限内，则bxayab0直线不经过的象限是 ( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3“”是“直线(m2)x3my10与直线(m2)x(m2)y30相互垂直”的( )A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件4若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则l的倾角的取值范围( )ABCD二、填空题5已知两条直线l1：ax3y3
17、0，l2：4x6y10，若l1l2，则a_6已知点A(3，0)，B(0，4)，则过点B且与A的距离为3的直线方程为_7若点P(3，4)，Q(a，b)关于直线xy10对称，则a2b_8若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)，(ab0)共线，则的值等于_三、解答题9已知点P在直线2x3y20上，点A(1，3)，B(1，5)(1)求|PA|的最小值；(2)若|PA|PB|，求点P坐标10若直线l夹在两条直线l1：x3y100与l2：2xy80之间的线段恰好被点P(0，1)平分，求直线l的方程11已知点P到两个定点M(1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1求直线PN的方程练
18、习82一、选择题1C 2A 3B 4C二、填空题52 67x24y960或x0 79 8三、解答题9(1)解：点A到直线2x3y20的距离d即为|PA|的最小值所以，.(2)解：因为|PA|PB|，所以P点在AB的垂直平分线l上，AB的中点为(0，1)，所以,故AB的垂直平分线l：,又点P在直线2x3y20上，所以解方程组，得P(4，2)10解：设直线l为：ykx1或x0(舍)，设直线l与l1，l2分别相交于点A(xA，yA)，B(xB，yB)，由，解得,由，解得,因为P(0，1)是AB的中点，则，解得.故所求直线方程为,即x4y4011解：设点P的坐标为(x，y)，由题设有,即.整理得x2y
19、26x10因为点N到PM的距离为1，|MN|2，所以PMN30，则直线PM的斜率为,直线PM的方程为.将式代入式整理得x24x10解得，或.代入式得点P的坐标为或；或.直线PN的方程为yx1或yx183 简单的线性规划问题【知识要点】1二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般的，二元一次不等式AxByC0在平面区域中，表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线不等式AxByC0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分(3)可在直线AxByC0的某一侧任取一点，一般取特
20、殊点(x0，y0)，从Ax0By0C的正(或负)来判断AxByC0(或AxByC0)所表示的区域当C0时，常把原点（0，0)作为特殊点(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：ykxb表示直线上方的半平面区域；ykxb表示直线下方的半平面区域当B0时，AxByC0表示直线上方区域，AxByC0表示直线下方区域2简单线性规划(1)基本概念：目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如zxy，zx2y2等约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的
21、最大值或最小值问题最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：分析并将已知数据列出表格；确定线性约束条件；确定线性目标函数；画出可行域；利用线性目标函数，求出最优解；实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解【复习要求】1了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；2能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x2ya0的上方，则实数a的取值范围是_；(2)若点(3，1
22、)和(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则实数a的取值范围是_解：(1)将直线化为，由题意，得，解得a7(2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(332a)3(4)12a0，即(a7)(a24)0，所以，实数a的取值范围是(7，24)例2 (1)如图，写出能表示图中阴影部分的不等式组；(2)如果函数yax2bxa的图象与x轴有两个交点，试在aOb坐标平面内画出点(a，b)表示的平面区域略解：(1).(2)由题意，得b24a20，即(2ab)(2ab)0，所以或，点(a，b)表示的平面区域如图所示【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个
23、逆问题例3 已知x，y满足求：(1)z1xy的最大值；(2)z2xy的最大值；(3)z3x2y2的最小值；(4)的取值范围略解：如图，作出已知不等式组表示的平面区域易求得M(2，3)，A(1，0)，B(0，2)(1)作直线xy0，通过平移，知在M点，z1有最大值5；(2)作直线xy0，通过平移，知在A点，z2有最大值1；(3)作圆x2y2r2，显然当圆与直线2xy20相切时，r2有最小值，即z3有最小值；(4)可看作(1，0)与(x，y)两点连线的斜率，所以z4的取值范围是(，23，)【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z的几何意义z的几何意义常见的有：直
24、线的截距、斜率、圆的半径等例4 某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z10x10y的最大值是 ( )A80B85C90D95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x，y)的可行域如图所示作直线xy0，通过平移，知在M点，z10x10y有最大值，易得.又由题意，知x，yN，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z取最大值，所以，zmax10510490，选C【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克今
25、预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？解：设此工厂每日需甲种原料x吨，乙种原料y吨，则可得产品z90x100y(千克)由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域作直线l：90x100y0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值这里M点是直线2x3y12和5x4y20的交点，容易解得,此时z取到最大值.答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品.例6 设函数f(x)ax2bx
26、，且1f(1)2，2f(1)4(1)在平面直角坐标系aOb中，画出点(a，b)所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求f(2)的取值范围.解：(1)f(1)ab，f(1)ab， 即如图，在平面直角坐标系aOb中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域.(2)目标函数f(2)4a2b在平面直角坐标系aOb中，作直线l：4a2b0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值.这里B点是直线ab2和ab4的交点，容易解得B(3，1)，此时f(2)取到最大值432110同理，其中有一条直线经过可行域上的
27、C点，此时目标函数达到最小值.这里C点是直线ab1和ab2的交点，容易解得.此时f(2)取到最小值.所以5f(2)10【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一.练习83一、选择题1原点(0，0)和点(1，1)在直线xya0的两侧，则a的取值范围是 ( )Aa0或a2Ba0或a2C0a2D0a22若x0，y0，且xy1，则zxy的最大值是 ( )A1B1C2D23已知x和y是正整数，且满足约束条件则z2x3y的最小值是 ( )A24B14C13D11.54若当实数x，y满足时，zx3y的最小值为6，则实数a等于 ( )A3B3CD二、填空题5在平面直
28、角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是_.6在约束条件下，z3x4y的最大值为_.7若实数x、y满足，则的取值范围是_.8点P(x，y)在直线4x3y0上，且满足14xy7，则点P到坐标原点距离的取值范围是_.三、解答题9如果点P在平面区域内，点Q(2，2)，求|PQ|的最小值.10制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100和50，(盈利率)，可能的最大亏损率分别为30和10(亏损率100)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个
29、项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大？11设a，bR，且b(ab1)0，b(ab1)0(1)在平面直角坐标系aOb中，画出点(a，b)所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，指出a的取值范围.练习83一、选择题1C 2B 3B 4A二、填空题54 611 7 80，10三、解答题910解：设投资人对甲、乙两个项目分别投资x、y万元，由题意知目标函数为zx0.5y，上述不等式组表示的平面区域如右图所示，阴影部分(含边界)即为可行域作直线l：x0.5y0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值这里M点是直线xy1
30、0和0.3x0.1y1.8的交点，容易解得M(4，6)，此时z取到最大值140.567答：投资人用4万元投资甲项目，用6万元投资乙项目，才能确保在可能的资金亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大11(1)区域如右图所示(2)由上述区域，可得|a|184 圆的方程【知识要点】1圆的方程(1)标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中点(a，b)为圆心，r为半径.(2)一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，其中圆心为，半径为2点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆的圆心距离为d，则dr 点在圆外；dr 点在圆上；dr 点在圆内.3直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与
31、圆的方程，解方程组，消去字母y，得关于x的一元二次方程，则0方程组有两解直线和圆相交；0方程组有一解直线和圆相切；0方程组无解直线和圆相离.(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d，设圆的半径为r，则dr 直线和圆相切；dr 直线和圆相离.4圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r(Rr)，两圆的圆心距为d(d0)，则dRr 两圆相离；dRr 两圆外切；RrdRr 两圆相交；dRr 两圆内切；dRr 两圆内含.【复习要求】1掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程.2能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题.【例题分析】例1 根据下列条件，求圆
32、的方程：(1)一条直径的端点是A(3，2)，B(4，1)；(2)经过两点A(1，1)和B(1，1)，且圆心在直线xy20上；(3)经过两点A(4，2)和B(1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2【分析】求圆的方程，可以用待定系数法.若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问.若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问.解：(1)由题意圆心为AB的中点M，即M，因为,所以圆的半径.所以，所求圆的方程为.(2)方法一：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则，解得，所以，所求圆的方程为(x1)2(y1)24方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB
33、的垂直平分线上.易得AB的垂直平分线为yx.由题意，解方程组，得圆心C为(1，1)，于是，半径r|AC|2，所以，所求圆的方程为(x1)2(y1)24(3)设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，因为圆过点A，B，所以4D2EF200，D3EF100，在圆的方程中，令y0，得x2DxF0，设圆在x轴上的截距为x1，x2，则x1x2D在圆的方程中，令x0，得y2EyF0，设圆在y轴上的截距为y1，y2，则y1y2E.由题意，得D(E)2，解，得D2，E0，F12，所以，所求圆的方程为x2y22x120【评析】以A(x1，y1)，B(x2，y2)为一直径端点的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)
34、(yy2)0求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；待定系数法求圆的方程时，要恰当选择圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量.例2 (1)点P(a，b)在圆C：x2y2r2(r0)上，求过点P的圆的切线方程；(2)若点P(a，b)在圆C：x2y2r2(r0)内，判断直线axbyr2与圆C的位置关系.解：(1)方法一：因为切线l与半径OP垂直，又可求出直线OP的斜率，所以可得切线l的斜率，再由点斜式得到切线方程.但要注意斜率是否存在(详细过程略).方法二：设Q(x，y)为所求切线上任一点，则，即(xa，yb)(a，b)0整理得axbya2b2，又因为P在圆上，所以a
35、2b2r2，故所求的切线方程为axbyr2(2)由已知，得a2b2r2，则圆心O(0，0)到直线axbyr2的距离.所以此直线与圆C相离.【评析】随着点P(a，b)与圆C：x2y2r2的位置关系的变化，直线l：axbyr2与圆C的位置关系也在变化.当点P在圆C上时，直线l与圆C相切；当点P在圆C内时，直线l与圆C相离；当点P在圆外时，直线l与圆C相交.例3 已知点A(a，3)，圆C：(x1)2(y2)24(1)设a3，求过点A且与圆C相切的直线方程；(2)设a4，直线l过点A且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；(3)设a2，直线l1过点A，求l1被圆C截得的线段的最短长度，并求此时l1的方程
36、.解：(1)如图所示，此时A(3，3)，设切线为y3k(x3)或x3，验证知x3符合题意；当切线为y3k(x3)，即kxy3k30时，圆心(1，2)到切线的距离,解得,所以，切线方程为3x4y210或x3(2)如图所示，此时A(4，3)，设直线l为y3k(x4)或x4(舍)，设弦PQ的中点为M，则|PM|，|CP|r2，所以，即圆心到直线l的距离为1，于是，解得k0或，所以，直线l的方程为yx或y3(3)如图所示，此时A(2，3)，设所截得的线段为DE，圆心到直线l1的距离为d，则，即,因为直线l1过点A，所以圆心到直线l1的距离为d|CA|，故当d时，|DE|min2，此时ACl1，因为，所
37、以1，故直线l1方程为y3(x2)，即xy50【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：比较圆心到直线的距离与半径的大小；如图842，在由弦心距、半径及弦组成的RtCMP中，有|CM|2|MP|2|CP|2，CMMP等；如图841，由切线段、半径组成的RtABC例4 两个圆C1：x2y22x2y20与C2：x2y24x2y10(1)这两个圆的公共切线有几条？(2)求两圆公共弦所在的直线方程.【分析】当两圆相离时，两圆有4条公共切线；当两圆外切时，两圆有3条公共切线；当两圆相交时，两圆有2条公共切线；当
38、两圆内切时，两圆有1条公共切线；当两圆内含时，两圆没有公共切线.所以第(1)问只要判断两圆位置关系即可.解：(1)圆C1的圆心O1(1，1)，半径r12圆C2的圆心O2(2，1)，半径r22所以，圆心距,又r1r24，r1r20，04，所以两圆相交，故两个圆的公共切线有2条；(2)方法一：由(1)知r1r2，且两圆相交，所以两圆公共弦所在的直线为O1O2的垂直平分线，因为O1O2的中点为,设两圆相交于点A，B，则kAB1，所以.所以，两圆公共弦所在的直线方程为，即6x4y30方法二：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组由，得6x4y30，则A，B两点满足方程6x4y30，所以，两圆公共
39、弦所在的直线方程为6x4y30【评析】设圆C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20如果两圆相交，那么将两圆的方程相减所得的直线(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0即为两圆公共弦所在的直线方程.例5 已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：mxym0求证：不论m取何值，直线l与圆C恒交于两点.【分析】要证明直线l与圆C恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大.如果能说明直线l恒过圆内一定点，那么直线l与圆C显然有两个交点.解：因为直线l：mxym0可化为ym(x1)，所以直
40、线l恒过点A(1，0)，又圆C：(x1)2(y2)225的圆心为(1，2)，半径为5，且点A到圆C的圆心的距离等于,所以点A为圆C内一点，则直线l恒过圆内一点A，所以直线l与圆C恒交于两点.练习84一、选择题1以点(2，1)为圆心且与直线3x4y50相切的圆的方程为 ( )A(x2)2(y1)23B(x2)2(y1)23C(x2)2(y1)29D(x2)2(y1)292圆x2y24x4y60截直线xy50所得的弦长等于 ( )ABC1D53若直线与圆x2y21有公共点，则 ( )Aa2b21Ba2b21CD4圆(x2)2y25关于点(1，2)对称的圆的方程为 ( )A(x4)2(y2)25B(x4)2(y4)25C(x4)2(y4)25D(x4)2(y2)25二、填空题5由点P(