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1、3 汽车的操纵稳定性目 录3 汽车的操纵稳定性03.1 自由刚体运动微分方程1补充知识：自由刚体的运动（摘自理论力学上册）1（一）建立坐标系3（二）汽车上任一点的运动方程5（三）汽车运动的动力学方程83.2 线性二自由度汽车运动微分方程及分析11（一）运动微分方程11（二）稳态响应分析13（三）瞬态响应分析173.3 车厢侧倾分析19（一）车厢的侧倾轴线19（二）悬架的侧倾线刚度22（三）悬架的侧倾角刚度25（四）车厢的侧倾角26（五）车厢侧倾后垂直载荷在左、右侧车轮上的重新分配29（六）车厢侧倾对转向系统的其它影响323.4 线性三自由度汽车运动微分方程分析35（一）三自由度汽车运动微分方程
2、35（二）稳态响应43（三）瞬态响应433.5 前轴和转向轮摆振方程47（一）前左轮主销的摆动方程47（二）前右轮主销的摆动方程52（三）前轴绕纵轴的摆动方程523汽车的操纵稳定性操纵稳定性定义（两个方面）：a、汽车能遵循驾驶员通过转向系及转向车轮给定的方向行驶；b、当遭遇外界干扰时，汽车能抵抗干扰而保持稳定行驶的能力。汽车的操纵稳定性是决定高速汽车安全行驶的一个主要性能，也称为“高速车辆的生命线”。3.1 自由刚体运动微分方程补充知识：自由刚体的运动（摘自理论力学上册）工程中，有一些刚体，如飞机、火箭、人造卫星等，它们在空间可以作任意的运动，这样的刚体称为自由刚体。为了确定自由刚体在空间的位
3、置，取定坐标系oxyz和与刚体固结的动坐标系，如下图所示。只要确定了动坐标系的位置，刚体的位置也就确定了。动坐标系的原点是任意选取的，称为基点。在基点上安上一个始终保持平动的坐标系，则自由刚体的运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动。设基点在定坐标系上的坐标为、和，刚体相对于动坐标系的位置由三个欧拉角、和确定，于是刚体的位置完却由这6各参数确定，即空间自由刚体有6个自由度。当刚体运动时，这6个参数都是时间的单值连续函数，即上式称为自由刚体的运动方程。自由刚体内任一点M的速度，按照速度合成定理有其中，。设动点M在动坐标系中的矢径为，如下图所示。刚体绕基点转动的瞬时角速度为，则。于是，自由刚体内任
4、一点的速度公式为由于牵连运动为平动，自由刚体内任一点的加速度合成式为式中，为刚体绕基点转动的瞬时角加速度，如下图所示。于是自由刚体内任一点的加速度公式为（一）建立坐标系将汽车视为一个自由刚体，建立该刚体的运动微分方程。为分析方便，常针对固结于运动着的汽车上的动坐标系来建立运动微分方程。原点o：根据讨论的汽车模型的不同，有时令其与重心重合，有时位于其它位置；xoz平面：处于汽车的左右对称平面内； x轴：平行于车头指向（当车头与地面平行时，则x轴平行于地面，否则只平行于车头）；z轴：通过o点且垂直于汽车（当汽车平行于地面时，z轴才垂直于地面，否则z轴只垂直于汽车）；y轴：垂直于xoz平面，且指向驾
5、驶员右方如采用地面坐标系（静坐标系），由于汽车的运动方向时刻在变，所以进行运动与受力分析时，都需将汽车的运动方向、受力方向投影折算到地面坐标系上，相当不方便。而若针对固结于汽车的动坐标系，则汽车前进方向便是动坐标系的x方向，侧倾运动便是绕x轴的运动，垂直运动便是沿z方向，横摆运动便是绕z轴的运动，侧向速度便是沿y轴方向，俯仰运动便是绕y轴的运动，相当方便，不需投影折算，而且受力方向也一般是平行于动坐标系方向或绕动坐标轴，可以简化模型。当把汽车看成一个自由刚体时，汽车的运动将由6个参数来表示，沿三根坐标轴的平移运动和绕三根坐标轴的旋转运动，所以汽车运动微分方程应为6自由度方程。1）大地坐标系2）
6、动坐标系oxyz，固结于汽车（具体参看汽车坐标系）研究刚体上点M（x，y，z）的运动微分方程重要参数：极点（动坐标系原点）o：运动速度为，此速度为极点o的绝对速度（即牵连速度），而不是极点o相对动坐标系的速度（极点o相对动坐标系的速度为0），需将其投影到动坐标系上oxyz上，为u、v、w；M点的相对动坐标系的角速度，在oxyz上投影为p、q、r；M点在动坐标系oxyz上的位置向量为（二）汽车上任一点的运动方程加速度合成定理：刚体上任意点的加速度等于随基点移动时的加速度（牵连运动带来的）与绕基点作定点运动时的加速度（相对运动带来的）的矢量和。1）相对运动相对运动方程针对汽车而言，可将汽车视为一个
7、自由刚体，且为方便分析，这里假设为绝对坐标系，为固结于汽车的动坐标系，为在基点上安上的一个始终保持平动的坐标系。则为相对角速度，将往固结于汽车的动坐标系上投影，可得角速度分量为p、q、r，此三个角速度分别对应汽车的侧倾、俯仰和横摆运动。矢径变为相对动坐标系的，而不是相对动坐标系。因此，汽车上任一点M相对于动坐标系的瞬时速度和瞬时加速度分别为 (1) (2)设汽车上任一点M相对动坐标系的矢径为，式中、和分别为动坐标系三个坐标轴的单位矢量；则 (3) (4)为此，求得关键是在求解。动坐标轴的矢量微分设动坐标系中，轴单位矢量的末端有点A，则，所以上式中，为A点的绝对速度；为动坐标系原点的绝对速度，可
8、将其看作是A点牵连速度。所以上式应等于A点的相对速度所以 同理，可得 （5）相对加速度求解将式（5）代入式（4）得所以 （6）（7）所以将（6）、（7）式代入（2）式可得 （8）2）汽车上任一点的牵连运动方程设动坐标系基点的绝对速度为，在动坐标系上的投影为分别为动坐标系沿x、y、z轴的单位矢量。基点的加速度：将式（5）代入上式可得基点的加速度表达式为： （9）3）汽车上任一点的绝对加速度方程所以，汽车上任一点M的绝对加速度为：其在动坐标系上的投影分别为：其中： （10）（三）汽车运动的动力学方程动静法：其中：而 惯性力对x轴取力矩得同理可得惯性力对y轴和对z轴的力矩为所以有式中：表示全部外力在
9、x、y、z方向投影的代数和；表示全部外力在x、y、z方向力矩的代数和；微元质量；刚体微元质量的加速度；刚体微元质量加速度在x、y、z方向的投影；微元质量的位置。所以有： （11）如果动坐标系原点与刚体质心重合，则有x=0,y=0,z=0，所以又设刚体的全部质量为M，则此外将加速度表达式代入（11）式可得刚体运动6自由度微分方程式（12）在研究汽车操纵稳定性时，常忽略汽车的垂直位移和俯仰运动，即沿z轴的移动（沿z方向的受力之和，且速度）与绕y轴的转动始终很小（绕y轴的力矩之和，且角速度），于是可得运动微分方程式为当刚体对称于xoz平面时，即沿刚体的y坐标正负对称出现，所以，则运动微分方程变为（4
10、）3.2 线性二自由度汽车运动微分方程及分析（一）运动微分方程二自由度即只考虑沿y轴的侧向运动（侧滑），与绕z轴的旋转运动（横摆运动），所以，因此可列出微分运动方程式为： （5）受力分析：插图527，汽车前轮向右转过角，前、后轴中点的车速为、，侧偏角为、，重心位置的侧偏角为。若汽车的前进速度为，沿y轴的侧偏速度为，则根据侧偏角方向的规定，前轮侧偏角为式中，是前轴中点速度向量与x轴的夹角，根据刚体中任意点的速度等于参考点的平动速度加上绕参考点的转动速度，所以的数值可表示为因此可得：同理可得后轮的侧偏角为 1)沿y方向的力平衡方程假设较小，则2）对重心的力矩平衡方程将、表达式代入上、，然后将、表达
11、式代入二自由度汽车运动微分方程可得（二）稳态响应分析前轮角阶跃输入的稳态响应为等速圆周行驶，横摆角速度r、侧向速度v都是一个常数。此时，以此代入二自由度汽车运动微分方程可得两个方程组中存在三个未知量r、v、，联立消去v，则可得表达式为稳态横摆角速度增益式中：稳定性因数，常作为用于表征汽车稳态转向特性的参数。1）用稳定性因数K表示稳态转向特性将上式变形为： 当K0时，当前轮转向角固定时，转向半径不随车速而变化，汽车具有中性转向特性。当K0时，当前轮转向角固定时，转向半径随车速的增大而增大，汽车具有不足转向特性。此时具有极大值，将对u求导得：令，则可得，称为特征车速，记为。当K0，汽车具有不足转向
12、特性；当时，K0，汽车具有不足转向特性；当时，K0时，在重心位置上作用的侧向力引起前轴的侧偏角大于后轴侧偏角，汽车具有不足转向特性；当S.M.0时，在重心位置上作用的侧向力引起前轴的侧偏角小于后轴侧偏角，汽车具有过多转向特性。（三）瞬态响应分析重写二自由度汽车运动微分方程式：再加上方程 则共有三个方程，四个未知数，所以可通过消元，获得关于的方程规范型：式中：阶跃输入信号特点：，所以当时，进一步整理，可得标准型式中：瞬态特性是求时的，特解：通解：其中，所以解：式中：反映瞬态响应特性的四个参数：1）无阻尼圆频率越大，则振荡周期越短，响应越快，为此通常希望无阻尼圆频率大些，轿车的值在0.81.2Hz
13、。影响因素分析：轮胎侧偏刚度越大，则高；汽车质量和转动惯量大，则低，另外车速u越大，则也越高。2）阻尼比二阶系统的阻尼在0.707附近时，系统动态特性较好。3）反应时间反应时间指角阶跃转向输入后，横摆角速度第一次达到稳定值所需的时间，反应时间越小越好。4）超调量超调量指第一个最大横摆角速度r对稳态值比值的百分数。超调量越小越好。一般根据与，便可推导出和。3.3 车厢侧倾分析（一）车厢的侧倾轴线定义：车厢相对地面转动的瞬时轴线称为车厢侧倾轴线。该轴线通过车厢在前后轴横断面上的瞬时转动中心，此瞬时转动中心称为侧倾中心。复习速度瞬心：作平面运动的两个构件在任一瞬时总存在一个两构件的瞬时重合点P12，
14、在该点处两构件的绝对速度相等，相对速度为0，在该瞬时两构件的相对运动可看成是绕该点作相对转动，该点称为速度瞬心。那么两构件上任一点A处的相对速度必垂直于A到瞬心P12的连线，且大小，这里是构件1相对构件2的相对转动角速度。瞬心分析图复习三心定理：三个彼此作相对运动的构件有三个瞬时中心，这三个中心位于同一直线上，例如下图四连杆机构中，杆2和杆4相对运动的瞬时中心在与的延长线上，换言之，这两根线的交点便是。1）单横臂独立悬架上车厢的侧倾中心左侧车轮与车厢的瞬心在E点，左侧车轮与地面的瞬心在D点，所以地面与车厢的瞬心一定在线上；同理，地面与车厢的瞬心也一定在上，所以交点便是车厢与地面的瞬心，由于地面
15、不动，固车厢相对地面的转动便是绕om点运动的。车轮相对地面转动的瞬心在轮胎接地点，所以在瞬心处车轮与地面的绝对速度相等。因此轮胎上D点相对车厢的相对速度即为地面上D点相对于车厢的相对速度。2）双横臂独立悬架上车厢的侧倾中心双横臂独立悬架的侧倾中心根据三心定理，左侧车轮相对车厢的速度瞬心为，所以通过点可画出左侧车轮接地点D相对车厢的速度，由于左侧车轮与地面的速度瞬心也在D点，所以车轮上D点相对车厢的速度即为地面上D点相对车厢的速度；同理右侧车轮相对车厢的速度瞬心为，右侧地面相对车厢的速度为。与的垂直线的交点即为地面与车轮的速度瞬心。从运动学的观点看，以、为铰接点的单横臂独立悬架可用来代替双横臂独
16、立悬架，故称它为等效单横臂悬架。3）空间双横臂独立悬架空间横臂指横臂支撑销的中心线在水平面和侧视面的投影都是斜的。绘制方法：在对横臂支撑销中心线在前、后轴横断面上的交点运用三心定理，同样可得到等效单横臂独立悬架。4）所有独立悬架均可应用此方法得到等效的单横臂独立悬架。5）钢板弹簧（非独立悬架）在汽车侧视图上，一般认为侧倾中心位于主片板煌的中心线H1、H2两点的连线上，轿车常把车轴置于板簧之上，因此可以认为侧倾中心即在车轮中心上。分为两种情况，一为钢板弹簧落在车桥上方；二为钢板弹簧落在车桥下方。分析：假设A、B两点的速度大小相等，则瞬心一定在连线的中垂线上，再假设A、B两点速度方向相反，则瞬心一
17、定再连线的内部，根据以上两个假设可画出瞬心的位置。（二）悬架的侧倾线刚度定义：车轮保持在地面上车厢作垂直运动时，单位车厢位移下，悬架系统给车厢的总弹性恢复力。1）非独立悬架悬架线刚度，为一个弹簧的线刚度。2）独立悬架独立悬架对车厢在垂直方向上的力由两部分构成：一为弹簧直接作用于车厢的弹性力在垂直方向的分量；另一个为导向杆系约束反力在垂直方向的分量。若把整个悬架（包括车轮在内）作为隔离体，则车厢对悬架在垂直方向上的力（包括弹簧力和导向杆系绞接点受到的力）等于地面对轮胎的垂直反作用力Z，所以可将两个力变为一个力。利用可逆原理：地面不动、车厢垂直移动时，地面对轮胎的力等于车厢不动、地面移动时，地面对
18、轮胎的力。单横臂独立悬架式中：根据力矩平衡：所以整个悬架刚度为：双横臂独立悬架的线刚度复习虚位移原理：对于具有理想约束的质点系，其质点系的主动力在任何虚位移中所作虚功之和等于零。理想约束是指约束反力所作虚功之和等于零的约束，如光滑表面、光滑铰链、刚性杆等。设有一质点系处于静止平衡状态，取质点系中一质点mi，作用在该质点上的主动力的合力为Fi，约束反力的合力为FNi。因为质点系平衡，则这个质点也处于平衡，因此有。若给质点系以某种虚位移，其中质点mi的虚位移为，则作用在质点mi上的力Fi和FNi的虚功之和为，所以有，如果质点系具有理想约束，则约束反力在虚位移中所作虚功之和为零，即，所以。求上、下横
19、臂不平行且弹簧也不垂直于横臂的双横臂独立悬架的线刚度。车轮接地处的垂直位移：又有 式中因为将双横臂等效为单横臂，则所以将双横臂等效为单横臂之后，其悬架线刚度为（三）悬架的侧倾角刚度车厢垂直位移时受到的弹性恢复力就是具有悬架线刚度的等效弹簧所产生的弹性力。因此，车身侧倾时受到悬架的弹性恢复力偶矩，也可以用等效弹簧的概念来分析。所以对单横臂独立悬架，悬架的角刚度为由表达式可知，悬架角刚度的所有参数均由悬架结构决定，与车厢无关。（四）车厢的侧倾角（本节论述的求解车厢侧倾角的公式只是非常简单的近似计算，如果要较为准确的计算车厢侧倾角，需要运用三自由度微分方程综合来求解）定义：车厢在侧向力作用下绕侧倾轴
20、线的转角称为车厢侧倾角。车厢侧倾角大，乘客感到不舒服；过小，则悬架的侧倾角刚度大，汽车一侧车轮遇到凸起或凹坑时，车厢内会感到冲击，平顺性差。车厢侧倾角决定于车厢所受到的总的侧倾力矩与悬架总的角刚度，即由悬架参数决定，所以一旦悬架确定后，车厢侧倾角主要由车厢侧倾力矩决定。车厢的侧倾力矩主要由三部分构成：悬挂质量离心力引起的侧倾力矩、悬挂质量重力引起的侧倾力矩，独立悬架中非悬挂质量的离心力引起的侧倾力矩。1）悬挂质量的离心力引起的侧倾力矩悬挂质量的离心力为式中，为悬挂质量，所以 为悬挂质量的质心到侧倾轴线的距离。2）侧倾后悬挂质量重力引起的侧倾力矩车厢侧倾后，悬挂质量重力偏出距离e，因此重力引起的
21、侧倾力矩为3）独立悬架中非悬架质量的离心力引起的侧倾力矩假设非悬挂质量的质心通过车轴的轴线，即质心离地面高度等于车轮半径r。整个非悬挂质量产生的离心力为，此力由地面侧向反作用力来平衡。设作用于每侧轮胎的地面侧向反作用力为总的地面侧向反作用力的一半，即根据力矩平衡，可得铰链处垂线方向的力为所以两侧铰链对车厢的回正力矩为式中，为侧倾中心到地面的高度（五）车厢侧倾后垂直载荷在左、右侧车轮上的重新分配车厢侧倾时由于离心力的作用，垂直载荷在左右车轮上是不相等的，其对操纵稳定性的影响主要表象在两个方面。影响轮胎的侧偏特性，导致汽车转向特性发生变化；内侧车轮垂直载荷减小，可能导致内侧车轮离开地面，产生侧翻。
22、模型简化：将车厢模型简化为工字形车架，代表车厢质量，工字形车架由前后铰链固结于侧倾轴线上，经由弹性元件支承于刚性的前后轴上。在讨论时，把静止状态下汽车重量及相应的四个车轮地面垂直反作用力作为一个平衡力系分离出去，单独讨论侧倾力矩作用下垂直载荷的重新分配。车厢上作用的侧向力按重心所在位置分配到前后轴悬架的侧倾中心及上：假设车厢侧倾角为，则前后悬架的恢复力矩分别为（前一节中公式的为车厢受到的总的侧倾力矩，为悬架总的角刚度，不同于此处只是针对单个悬架而言）所以针对前悬架，可列出力矩平衡方程如下同理，对后悬架也有式中，、前后轴左右车轮垂直载荷变动量；、前后轴非悬挂质量产生的离心力，在匀速圆周运动时分别
23、等于和；、前后非悬挂质量重心离地面高度，一般可取为车轮半径；、前后侧倾中心高。载荷变动量在外测车轮起增大载荷作用，在内侧车轮起减少载荷作用。而且前、后轴的变动量是可不一样的。载荷变动对侧偏特性的影响分析：没有侧倾时，左右车轮的侧偏刚度是一样的，相应的侧偏角为式中，Y为左右两侧车轮总的侧偏力。侧倾时，由于载荷变动的影响，左右车轮的侧偏刚度也发生了变化，变为、，但左右车轮的侧偏角是一样的，所以有左右侧车轮总的侧偏力进而可得 令为垂直载荷重新分配后每个车轮的平均侧偏刚度，则每个车轮的侧偏角可写为结论：平均侧偏刚度即为梯形abcd中线的高度，显然，即。而且，左右侧车轮垂直载荷差别越大，车轴的侧偏刚度下
24、降越多。由此可知，在侧向力作用下，若汽车前轴左右车轮垂直载荷变动量大，则汽车趋于增加不足转向量；反之，则趋于减少不足转向量。（结合前后轮侧偏角差与转向特性的关系分析）（六）车厢侧倾对转向系统的其它影响1）侧倾时车轮外倾角的变化由悬架导向杆系的运动学关系可知，当车厢侧倾时，车轮也会随之侧倾，导致车轮车轮外倾角发生变化，从而影响车轮侧偏角。车厢侧倾引起的车轮外倾角变化由下式计算：式中，为车轮外倾角，为车厢侧倾角，车厢侧倾引起的外倾角变化率。2）车厢侧倾时的轴转向（运动学侧偏）车厢侧倾时，在侧向力作用下，由于悬架导向杆系运动学的关系，会使前轴或后轴相对于车厢转动某一角度。从运动学的观点来看，车轴转向
25、的效果与轮胎的侧偏是一样的，所以这种现象称为运动学侧偏，或轴转向。以纵置半椭圆板簧非独立悬架为例进行说明图中M点为固定吊耳销子轴线，N点为活动吊耳销子轴线，为车轴中心。试验证明，这种悬架在垂直载荷作用下发生变形时，奖不绕M点摆动，而是绕Q点摆动。当车厢侧倾时，外侧悬架受压缩，车轴中心绕Q点以r为半径向上运动到点，为此M点到的水平距离比M点到点的水平距离大；而内侧悬架受拉升，车轴中心绕Q点向下运动到点，为此M点到的水平距离比M点到点的水平距离小，为此，车轴出现摆角，带来轴转向。车轴转角表达式式中，车轴转角，车厢侧倾引起的轴转向角变化率。此值与吊耳布置的型式、板簧对车架原有倾角、板簧半椭圆圆弧的曲
26、率等有关。3.4 线性三自由度汽车运动微分方程分析（一）三自由度汽车运动微分方程三自由度：汽车沿y轴侧向运动、绕z轴横摆和车厢绕x轴侧倾。四个假设：x、z轴、侧倾轴线和汽车重心均处于汽车纵向垂直于地面的中分平面内，汽车左右两侧对此中分平面是对称的；z轴通过重心，z轴与侧倾轴线的交点o取为动坐标系的原点；一般侧倾轴线的倾角不大，分析中假设侧倾轴线与x轴重合；假设非悬挂质量的质心也在x轴上。、和是整车、悬挂和非悬挂质量，其质心分别位于、s和u点。质量和质心关系式：式中，c悬挂质量质心s到z轴的距离；e非悬挂质量质心u到z轴的距离。下面分别讨论惯性力、惯性力矩、外力和外力矩。1）沿y轴的惯性力（侧向
27、运动）重写刚体运动中沿x、y和z轴方向的加速度表达式：悬挂质量质心s的坐标，无绕y轴俯仰运动q0，无沿z轴方向运动w0，悬挂质量质心处y0，关于所以悬挂质量侧向加速度为非悬挂质量质心u的坐标为，所以非悬挂质量侧向加速度为因此，沿y轴的惯性力为因为所以 2）对z轴的惯性力矩（横摆运动）各微元质量对z轴的总惯性力矩为由于为零，可得由于汽车左右的形状是对称的，故，又由于重心位置的x轴坐标为0，所以。而，（惯性积），故得3）悬挂质量对x轴的惯性力矩（非悬挂质量经过x轴）侧倾运动悬挂质量对x轴的总惯性力矩为由于汽车左右的形状是对称的，故，所以式中，悬挂质量对x轴的转动惯量。根据平行移轴定理可知，其中为悬
28、挂质量对通过其重心s，且平行于x轴的轴的转动惯量。悬挂质量对x轴z轴的惯性积，显然式中，非悬挂质量对x轴z轴的惯性积。由于x轴通过非悬挂质量的质心，并设非悬挂质量对xoy平面是对称的，故。所以因此对x轴的惯性力矩为4）沿y轴方向的外力前轴假设前轮为独立悬架，则车厢侧倾时将引起车轮外倾侧向力式中，前轮外倾刚度；侧倾外倾角刚度作用在前轴上的总的侧偏力根据二自由度微分方程中分析得所以后轴假设后悬架为钢板弹簧非独立悬架，车厢侧倾时，后轴发生轴转向，所以式中，后轴侧倾转向刚度，以表示所以后轴上的侧偏力为因此，沿y轴方向总的外力为式中，单位整车侧偏角引起的地面侧向反作用力；单位横摆角速度引起的地面侧向反作
29、用力；单位侧倾角引起的地面侧向反作用力；单位前轮转角引起的地面侧向反作用力。5）对z轴的外力矩在二自由度汽车模型中，对z轴的外力矩为。在三自由度汽车模型中，还考虑了轮胎侧偏时产生的回正力矩和左、右两侧滚动阻力不相等而产生的力矩。轮胎侧偏时的回正力矩式中，、前、后轮胎侧偏角引起的回正力矩；、前、后轮胎单位侧偏角引起的回正力矩；滚动阻力对z轴的力矩悬挂质量侧向惯性力和非悬挂质量侧向惯性力作用于前、后轴上的作用点离地面的距离分别为、，加上减振器的作用后得载荷变动量式中，、前后悬挂质量和非悬挂质量作用于前、后轴上的侧向惯性力，；、前、后减振器单位侧倾角速度产生的阻力偶矩；、前、后轮距。因此，滚动阻力对
30、z轴的力矩为式中，、前、后轮滚动阻力系数，设两者相等均为；因此，可求得对z轴的总外力矩为式中，为单位整车侧偏角引起的对z轴的力矩；，为单位横摆角速度产生的对z轴的力矩；，为单位侧倾角速度产生的对z轴的力矩；，为单位侧倾角产生的对z轴的力矩；，为单位前轮转角产生的对z轴的力矩。6）对x轴的外力矩作用于悬挂质量的外力矩有：前后悬架弹性恢复力矩，减振器的阻力矩和悬挂质量重力造成的力矩。式中，为单位侧倾角产生的对x轴的外力矩；，为单位侧倾角速度产生的对x轴的外力矩。根据上面求得的惯性力、力矩和外力、外力矩，可列出三自由度汽车模型的运动微分方程组为：记，较小，予以忽略，上述微分方程组可写成矩阵形式：（二
31、）稳态响应在稳态时，u、v为定值，所以为定值，且车身横摆角速度、车厢侧倾角度都是固定值，所以有，于是三自由度汽车运动模型变为解上式，可得稳态横摆角速度增益为式中，为三自由度汽车模型的稳定性因数。与二自由度分析相同，当时，汽车为过多转向；当时，汽车为不足转向；当时，汽车为中性转向。将汽车各参数代入上式，即可求出与的数值。（三）瞬态响应1）瞬态响应的稳定性判别对三自由度汽车运动微分方程组进行拉氏变换。在t0时，给汽车前轮一个角阶跃输入，即t0时，、及其一阶导数均为零。拉氏变化式为上式的特征方程为将其展开后得到一个四阶代数方程：式中：根据自动调节原理劳斯古尔维茨有关运动稳定性判断的条件，特征方程为四
32、阶代数方程时，其运动稳定充要条件是且其中，稳定性的必要条件是特征方程的各系数均为正。对于一般汽车而言，上述系数总是正值，而可能为正值，也可能为负值，为临界条件。而正好为稳态横摆角速度增益的分母，当分母为零时，出现过多转向的临界车速此时K为负值。2）瞬态响应特性的影响因数分析按照下面给出的参数对三自由度汽车运动瞬态特性进行计算机仿真分析，仿真结果见下图2。分析：纵坐标，为横摆角速度的稳态值，横坐标为时间。曲线1为依据表中所给参数计算的标准情况；曲线2为增大前轮侧偏刚度情况，前轮侧偏刚度增大，则前轮侧偏角减小，汽车趋于过多转向，超调量，响应速度变慢，固有频率减小。曲线3为增大后轮侧偏刚度，则后轮侧
33、偏角减小，趋于不足转向，。曲线4为重心后移，引起静态储备系数趋于负值，重心后移，使得后轮侧偏力增大，后轮侧偏角增大，汽车趋于过多转向，、。曲线5为轴距缩短、重量分配比例不变，则、。一般说来，不足转向的响应速度要比过多转向快。（此结论从二自由度汽车模型的阻尼比表达式可以得到，参看汽车理论第一版P157。3.5 前轴和转向轮摆振方程汽车转向轮摆振问题是汽车在设计开发过程中最易出现的问题之一。所谓转向轮摆振是指汽车在平坦的路面上行驶时所产生的转向轮绕主销持续的振动现象。摆振问题的存在,不仅使汽车操纵性、平顺性变坏，而且也会使轮胎及转向系统的构件出现早期磨损，还额外增加了滚动阻力。转向轮摆振直接表现为
34、方向盘上有轻微抖动。转向轮摆振主要由前轴绕纵轴线的摆动以及左右两个车轮的摆振耦合所致，是一个三自由度的模型。（一）前左轮主销的摆动方程惯性力：外力：1）纵拉杆所产生的外力矩设沿使增大的方向，纵拉杆沿纵轴向的变形：假设较小，则弹性力矩为： 阻尼力矩：2）横拉杆所产生的外力矩横拉杆变形：弹性力矩：阻尼力矩：3）车轮绕汽车纵轴线摆动而产生的陀螺力矩补充知识陀螺力矩汽车行驶时，可把高速转动的车轮看成一个转子，而绕主销转动的转向节（车轮轴线）视为该转子的框架，从而构成一个二自由度的陀螺。力学中的陀螺就是除能绕其自转轴转动外，还能绕其它轴线转动的刚体。根据陀螺理论，当转子（车轮）以高速旋转时，如果框架也以
35、某角速度转动，则框架上将受到一个力矩作用，此力矩称为陀螺力矩式中，为车轮绕自转轴的转动惯量。陀螺力矩方向可用左手螺旋法则决定，四指从陀螺自转方向向自转轴线摆动方向，则拇指方向即为陀螺力矩方向。力矩的方向遵循右手螺旋法则，让四指旋向为力矩旋转，则拇指方向为力矩方向。当行驶中车轮遇到一个凸起障碍时，车轮轴线产生绕悬架导向杆轴线上、下摆动的角速度，则会激发陀螺力矩：它使车轮绕主销出现左、右摆动，车速越高，越大，如左轮升高，使车轮右摆，左轮下降，使车轮左摆。如果车轮行驶在波形路面上，则车轮持续上下跳动，陀螺力矩将使车轮左右摆动不停。根据以上分析，当前轴绕汽车纵轴线上下摆动时，由于陀螺效应的作用，车轮将
36、受到绕主销转动的陀螺力矩式中，车轮转动惯量，车轮角速度，车轴绕汽车纵轴线的摆动角度。4）车轮侧偏力产生的力矩5）车轴绕汽车纵轴线摆动时轮胎变形产生的力矩当前轴绕汽车纵轴线摆动时，轮胎产生侧向变形和垂直方向变形。轮胎侧向变形力产生的绕主销转动的力矩式中，轮胎的侧向变形刚度，主销后倾角轮胎垂直变形力产生的绕主销转动的力矩轮胎垂直变形力为，垂直变形力沿垂直于主销轴线的分量为轮胎切向变形力为，切向变形力沿垂直于主销轴线的分量为所以轮胎垂直方向与切向变形沿垂直于主销轴线的分量之和为因此，此分力对主销的力矩为式中，L主销轴线与地面交点至车轮对称纵平面的距离。综上分析，可得前左轮主销的摆动方程（二）前右轮主销的摆动方程同理分析，前右轮与左轮相比，就是缺少了纵拉杆产生的力矩，为此可得前右轮主销的摆动方程（三）前轴绕纵轴的摆动方程联立以上三式可得关于、以及四个未知数，为此可解得关于的函数，得到关于车速与车轮摆角的稳态与瞬态响应特性。53