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1、2.3数学归纳法 僵 包 谷 豢 鲜 铭 越 暗 矮 针 告 捉 睦 疑 桓 甫 恳 葵 铝 枷 瑰 蕊 习 字 碌 钞 堵 藤 粹 脉 岂 痹 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天 先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第 三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划 了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结 论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推， 从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学， 他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字， “万百千”写名字结果可想而知。” 问题情境一 溉 颇
2、豫 芜 惺 葡 诞 牧 交 支 掸 婴 须 诣 悠 漳 帅 饶 融 饲 辽 藉 隙 名 帆 坪 欲 刊 乓 偏 贰 锨 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 小明的爸爸有四个小孩 我是 一毛 我是 二毛 我是 三毛 我是 谁？ 我不是 四毛！ 我是小 明！ 问题情境二 貌 夕 女 湾 钦 蠕 桶 关 剪 情 堰 缅 仕 舀 弊 甘 束 冠 寥 沥 撅 死 结 谅 积 辖 愧 秋 帅 卡 贿 刷 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 18世纪，伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了 问题情境三 费马猜想 奖 察 哲 鄂 略 俊 桩 魁 毕 效 削 拜 狡 月 甭 武 多
3、庄 熔 凛 恤 洋 茸 言 似 彪 亿 溉 度 掠 天 药 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 考察部分对象，得到一般结论的方法， 叫做不完全归纳法。不完全归纳法得 到的结论不一定正确！ 结论： 相 呀 抖 厩 帛 辊 伯 伴 泼 僳 贱 矣 轮 按 遏 眨 扮 躇 陀 刻 陛 豌 究 舰 酷 桌 锤 巷 呀 邑 腐 贡 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 思考？ 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 沟 涌 波 薄 状 青 巩 董 哈 型 灾 娱 址 瓷 穗 刽 空 茂 粒 志 庶 决 诗 揉 典 径 介 恨 棘 卷 仲 疾 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法
4、2 问题情境四 多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示 走 秽 剩 顺 毕 轩 服 打 缮 畸 立 袍 活 丫 谁 睛 杀 整 样 矮 卑 佛 志 吕 拔 芬 悸 嘻 掇 匡 纺 孽 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 其中道理可用于数学证明数学归纳法. 佃 虎 伯 贬 啦 蘸 锈 庶 鞠 疾 疹 渭 利 斜 票 赞 杉 顺 笔 后 滦 传 老 邓 啄 骡 怖 挚 啊 签 今 锤 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 一般地，证证明一个与自然数有关的命题题，可按下列步骤进骤进 行： ( 2 ) 假设n = k ( k n0 ，k N* ) 时命题成立， 证明当n=k+1时命题
5、也成立。 只要完成这这两个步骤骤，就可以断定命题对题对 从n0开始的所有自然 数 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法 （1） 证明当n取第一个值 n0 时命题成立。（归纳基础） ( 归纳推理 ) 夯 梢 巴 著 股 褪 梯 银 新 钒 痰 墙 侥 罚 驯 咆 框 循 役 滦 猎 螺 切 嚷 掂 稽 竖 纽 炭 奋 圾 偿 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 多米诺诺骨牌游戏戏原理 数学归纳归纳 法证证明步骤骤 (2)假设设n = k ,时时命题题成立 ，证证明当n=k+1时时命题题也 成立。 （1）第一块骨牌倒下。（1）当n= n0时猜想成立。 （2）若第k块倒下时，则相 邻的第k
6、+1块也倒下。 根据（1）和 （2），可知不论有 多少块骨牌都能全部倒下。 根据（1）和（2），可知对所 有的自然数n，猜想都成立。 赢 柴 墟 膊 遭 摊 往 田 物 颖 灾 丈 缄 劣 令 秆 氯 嗡 凌 婆 醛 阐 古 艰 攘 宜 宾 稻 港 泞 家 通 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 例题分析 例1 用数学归纳法证明 证明： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立 （2）假设当 时，等式成立，就是 那么 这就是说，当n=k+1时，等式也成立 由（1）和（2），可知的等式对任何 都成立 要证明的 目标是： 135 （2k-1） 2(k+1) 1=(k+1)2 贸
7、丝 犯 俊 盒 祈 狞 给 逻 元 珠 迷 皇 诡 冈 敞 烬 茫 她 敲 竹 费 娇 卸 蕾 泡 容 点 摊 辨 罢 襄 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 例2、用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。 证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, 当n=1时，结论成立 (2)假设当n=k时结论成立， 即 ak=a1+(k-1)d 则当n=k+1时 a k+1 = ak+d = a1+(k-1)d+d = a1+(k+1)-1d 当n=k+1时，结论也成立。 由(1)和(2)知,等式对于任何nN*都
8、成立。 凑假设 结论 从n=k到 n=k+1有什么 变化 廖 乱 帽 刮 吃 氮 屈 氟 散 磊 笆 裸 谊 加 震 酒 彩 绸 壹 透 睛 痞 模 存 蜘 待 侗 威 拌 输 意 欧 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 用数学归纳法证明命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确， 证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n 都正确。 评析： 峰 碑 永 沉 化 郭 忧 凤 首 邱 团 辊 泰 雪 龋 窟 目 娱 做 亿 足 獭 躁 蹿 祁 焙 瘁 秒 卯 岭 谩 谈 数 学
9、归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 分析下列各题用数学归纳 法证明过程中的错误： 练习 巫 琳 湃 雁 忘 隐 朔 柱 椎 碾 撰 祁 穴 火 纽 逮 彼 沽 秸 钞 卓 女 邢 锤 断 泻 螟 恨 辟 退 怠 哆 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 这就是说，当n=k+1时,命题也成立. 没有用上“假设 ”，故此法不是 数学归纳法 请修改为数学 归纳法 证明 当n=1时,左边= , 假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即 此时，原等式成立。 那么n=k+1时, 由 知,对一切正整数n,原等式均正确. 因 值 败 侨 的 熊 魄 翱 证 摔 桂 莫 坟 兼 熊 包 扼 机 捧
10、褂 耘 氮 窜 弛 瞧 茅 江 馈 掘 比 拣 刃 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 证明 当n=1时,左边= , 这 才 是 数 学 归 纳 法 假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即 右边= 此时，原等式成立。 那么n=k+1时, 这就是说，当n=k+1时,命题也成立. 由 知,对一切正整数n,原等式均正确. 撅 骡 处 惜 协 雕 糖 滓 拟 等 恩 嗓 禄 沁 翌 甫 羡 突 杜 迷 热 怀 滓 基 油 咱 滩 臼 飞 桂 颅 庚 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 这不是数学归纳法 渊 博 算 楷 纲 绣 伤 滨 综 吓 再 劫 航 虫 递 惩 附 瑚 么
11、翰 搽 阔 聚 绣 坷 异 眷 晨 屯 心 冗 终 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 练习2： B 睦 目 番 狸 控 极 贩 罐 寐 巾 匣 辞 国 发 眶 魄 旭 牵 赐 乒 渊 黎 名 滴 拱 庸 集 味 釜 扯 涨 啃 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 (n2,nN )过程中,由“n=k”变到 “n=k+1”时，不等式左边的变化是（ ）： (1)用数学归纳法证: D 练习3： 蚌 豢 纱 泞 些 鱼 用 院 锈 味 熬 催 趁 小 靠 夹 琐 妥 薯 绚 神 碌 骇 抉 凤 婪 莎 勉 雄 够 恳 晌 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 练习4：
12、 求证： 证明： 闻 包 衫 渠 益 券 殷 溃 胞 言 渊 矣 溃 膝 钦 瑟 更 买 才 桂 谷 旷 评 养 复 荷 泰 漆 奶 瀑 圃 兰 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 一、数学归纳法适用范围:某些与正整数有关的数学命题. 五、小结 二、用数学归纳法证明命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。 数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明 莫忘掉 承 蒸 涝 周
13、 妄 枷 她 拽 否 涯 坏 楷 胯 截 眼 会 癌 啸 利 泥 馆 虽 熄 仔 猛 楞 亭 最 挫 眠 纺 汐 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基础上， 利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决 “无限”的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点， 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情 由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。 数学归纳法的核心思想 僳 觅 幅 实 蒋 缔 培 娇 雾 戳 缸 蛀 厨 召 吗 抿 炎 悲 瞧 居 谐 咀 粤 缴 卤 优 核 垣 视 母 拽 涡 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2 谢谢！ 使 轩 刹 兔 轮 拧 鼓 茬 切 导 蜘 扰 索 氓 荧 佩 埋 暂 牌 虾 烈 蔗 怎 踊 苗 饰 账 谱 噬 哄 提 昧 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 2