《2015届《创新设计》高考数学(江苏版,理科)8-7.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届《创新设计》高考数学(江苏版,理科)8-7.ppt（48页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第7讲 立体几何中的向量方法(二) 求空间角,知 识 梳 理 1两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则,辨 析 感 悟 1直线的方向向量与平面的法向量 (1)若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2. () (2)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角 () (3)已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则ac，ab. (),感悟提升 1利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算,2两种关系 一是异面直线所成的角
2、与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角，如(2) 二是二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，如(6).,图1,图2,【训练1】 如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_,考点二 利用空间向量求直线与平面所成的角 【例2】 (2013湖南卷)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC
3、，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13. (1)证明：ACB1D； (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值,(1)证明 法一 因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD.ACBB1，又ACBD， AC平面BB1D， 又B1D平面BB1D，从而ACB1D.,规律方法 (1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，在第(2)问中，运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想 (2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量,【训练2】 (2014青岛质
4、检)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160. (1)证明：ABA1C； (2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值,(1)证明 如图1，取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CACB，所以OCAB. 由于ABAA1，BAA160， 故AA1B为等边三角形， 所以OA1AB. 因为OCOA1O，所以AB平面OA1C. 又A1C平面OA1C，故ABA1C.,图1,图2,考点三 利用向量求二面角 【例3】 (2013天津卷)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，A
5、DCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点 (1)证明B1C1CE； (2)求二面角B1CEC1的正弦值；,【训练3】 (2014重庆调研)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F为PC的中点，AFPB. (1)求PA的长； (2)求二面角BAFD的正弦值,1若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算 (1)求两异面直线a，b的夹角，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos |cosa，b|. (2)求直线l与平面所成的角，可先求出平面的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sin |cosn，a|. (3)求二面角l的大小，可先求出两个平面
6、的法向量n1，n2所成的角，则n1，n2或n1，n2,2(1)利用向量夹角转化为各空间角时，一定要注意向量夹角与各空间角的定义、范围不同 (2)求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点,规范解答 (1)证明 取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD.由BB1C1C为矩形知，DD1B1C1.因为平面BB1C1C平面A1B1C1，所以DD1平面A1B1C1.又由A1B1A1C1知，A1D1B1C1. 故以D1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D1xyz. (3分),【自主体验】 如图所示，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH. (1)求证：ABGH； (2)求二面角DGHE的余弦值,(1)证明 因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EFAB，DCAB. 所以EFDC. 又EF平面PCD，DC平面PCD， 所以EF平面PCD. 又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH， 所以EFGH. 又EFAB，所以ABGH.,