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1、1.4 行列式按行(列)展开,行列式按行(列)展开,余子式与代数余子式,行列式的计算方法,行列式按行(列)展开,余子式与代数余子式： 定义1.3 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后。余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij。,例如，求4阶行列式中a32的代数余子式：,M32,A32(-1)3+2M32,=-M32,举例,令Aij(1)ijMij，,Aij称为元素aij的代数余子式。,行列式按行(列)展开,例如，求4阶行列式中a13的代数余子式：,M13,A13(-1)1+3M13,=M13,余子式与代数余子式： 定义1.3 在n阶行列式
2、D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后。余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij。,令Aij(1)ijMij，,Aij称为元素aij的代数余子式。,练习,求行列式 中元素a31和a32的代数余子式。,解：,练习：,A31=(-1)3+1,=0。,A32=(-1)3+2,=29。,按行展开,定理1.4 n行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即,定理1.5 n行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积的和等于零。即,行列式按行(列)展开：,ai1Ai1,ai2Ai2, , a
3、inAin,(i=1, 2, , n)，,或 D,D,a1jA1j,a2jA2j, , anj Anj,(j=1, 2, , n)。,ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 (i j)，,或 a1iA1ja2iA2j ani Anj 0 (i j)。,例1,例1分别按第一行与第二列展开行列式,解：按第一行展开：,a11A11,a12A12,a1nA1n,D,=1,(-1)1+1,+0,(-1)1+2,(-1)1+3,+(-2),=1(-8)+0+(-2)5,=-18。,例2,按第二列展开：,=0+1(-3)+3(-1)5,=-3-15,=-18。,例2分别按第一行与第二列展开行列式,解：
4、按第一行展开：,a11A11,a12A12,a1nA1n,D,=1(-8)+0+(-2)5,=-18。,(-1)3+2,+3,(-1)2+2,+1,(-1)1+2,=0,a12A12,a22A22,a32A32,D,例3,解：,A13(1)13,A23(1)23,A33(1)33,A43(1)43,=19，,=-63，,=18，,=-10，,所以 D=319,=-24。,+0(-10),+(-1)18,+1(-63),因为,直接按第三列展开。,方法一，,方法二,+2,+2,解：,将某行(列)化为一个非零元后展开。,方法二，,=(-1)(-1)3+2,6 0 2,9 0 -1,1 1 2,=1(
5、-1)2+2,=-6-18,=-24。,7 0 1 4,7 0 -2 -5,3 -1 -1 0,1 0 1 2,+(-1),+2,例 4,解：,1 1 0 0,0 0 2 k,0 0 k 2,0 k-1 1 0,=(k-1),=(k-1)(k2-4)，,所以，当k1且k2时，所给行列式不为0。,练习及解,已知四阶行列式D中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，求D=？,解：,D=a13(-1)1+3M13+ a23(-1)2+3M23 + a33(-1)3+3M33+ a43(-1)4+3M43 =(-1)(-1)1+35+2(-1)2+33+1(-1)4+
6、3 4 =-15。,练习：,行列式计算,行列式的计算,行列式的计算是本章的重点。,利用本节以及前面几节所学过的知识，我们可以对行列式的计算方法总结如下：,方法一：利用行列式的定义和性质,例5：计算行列式,解法一：,利用行列式的定义,D的展开式只有一项不为零，,继续,行列式的计算,行列式的计算是本章的重点。,利用本节以及前面几节所学过的知识，我们可以对行列式的计算方法总结如下：,方法一：利用行列式的定义和性质,例5：计算行列式,解法一：,利用行列式的定义,解法二,例5：计算行列式,解法二：,利用行列式的性质,将行列式的第一、第六列交换，第二、第五列交换，第三、第四列交换得行列式D1：,D化为D1
7、共进行了三次两列的交换，改变了三次符号，,小结,小结：,根据例5的解法，可以推广出如下公式：,方法二,行列式的计算,方法二：利用行列式的性质化为三角行列式进行计算,例6：计算行列式,解：,继续,小结,小结：,把行列式化为上（下）三角行列式的步骤是：,设（1，1）处的元素不为零，,若（1，1）处的元素为零，,可将第,一行（列）与另一行（列）交换，使（1，1）处的元素不为零，,最好将（1，1)处的元素交换为1或-1 ，更易于计算。然后将第一行（列）分别乘以适当的数加到其它行（列）上，使第一列（行）除第（1，1）处元素外。其它元素全化为零。继而用同样的方法将第二列（行）除（2，1），（2,2)处元素
8、外，其余元素全化为零， ，继续下去，直到将主对角线（下）上的元素全化为零，这样就将行列式化为上（下）三角行列式，从而就可直接计算出行列式的值。,注意：,交换行列式的两行（两列）时，行列式的值要变号。,例7,例7：,计算行列式,解：,把各行都加到第一行得,把第一行提取公因式 得,继续,例7：,计算行列式,解：,把各行都加到第一行得,把第一列乘以-1加到其它各列得,继续,例7：,计算行列式,解：,把各行都加到第一行得,小结,小结：,在进行行列式的计算时，有时先利用行列式的性质把行列式进行变型，计算较为简单，如例7。对一个具体的行列式，要观察分析各行（列）元素的构造特点，决定采用什么样的方法化简行列
9、式。,方法三,行列式的计算,方法三：把行列式按某一行（列)展开,解法一：直接按第三列展开,原式=,解法二,行列式的计算,方法三：把行列式按某一行（列)展开,解法二：按化简后的第三列展开,原式=,小结,小结：,一般地，在使用解法三时，应选择含零元素较多的行与列展开,如例7的解法一，将行列式化为几个降了一阶的行列式的代数和。也可先用行列式的性质，将选定的行（列）化为只含有一个非零元素，再将行列式化为一个降了一阶的行列式，如例7的解法二。,一般说来，计算行列式时，应采取解法二的做法比较简单，即将选定的行（列）化为只含有一个非零元素，然后将行列式化为一个降了一阶的行列式。依此继续做下去，直到将行列式降
10、为三阶或二阶行列式，即可求出其值。但有时也可直接按所选定的行（列）展开。,例8,例8：,计算下列n阶行列式：,解：,原式,例9,解：,小结,小结：,如果行列式中没有含零元素较多的行（列），也没有那一行（列）的元素明显便于计算，则按第一行（列）展开比较顺手。至于按行展开，还是按列展开，要是具体情况决定。,例10,解法一：,将第四行与第一行交换，并按新的第一行展开,解法二,解法二：,按第四行原地展开,小结,小结：,如果按第一行（列）展开，但第一行（列）的元素不理想，则可将第一行（列）与元素较理想的行（列）交换，如例10的解法一。但作为行列式按某一行（列）展开，可按元素较理想的行（列）就原地展开，而不必换至第一行（列），如例10的解法二，这样更为简单。,例11：,已知四阶行列式D的第一行元素依次为1，3，0，-2， 第三行元素对应的代数余子式依次是8，k，-7，10，求k的值。,解：,根据行列式某一行(列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代属余子式乘积值和等于零，可得,作业,结束,结束,作 业,习题一(P43-44页):,23,24,25,26,27题,线性代数课件,课件研制与制作：沈家云,Email: S,2003年1月,