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1、第六节 多元函数微分学的几何应用,一. 空间曲线的切线与法平面,设空间曲线L的参数方程为 x=x(t), y=y(t), z=z(t) (1) 并设x(t),y(t),z(t)都可导,且导数不同时 为0.和平面曲线一样,通过空间曲线上 任一点M0(x0,y0,z0)(对应于参数t=t0)的 切线,定义为割线M0 M,当M趋向M0时的极限位置M0T.,设M0的邻近点M(x0+x,y0+y,z0+z)所对应的参数为 t=t0+t.设p(x,y,z)是曲线的割线M0M上的一点.曲线的割线 M0M的方程为xi+yj+zk, MP=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k,因 为M0MM0p,所以
2、有,切线的一个方向向量为T=x(t0), y(t0), z(t0),通过点M而与切线垂直的平面称为曲线L在点M处的法平面, 它通过点M而以T为法向量的平面,这法平面的方程为,例1 求曲线 x=2t,y=3t2,z=t3.在点M(2,3,1)处的切线方程和 法平面方程.,例2 求曲线 xyz=1,y2=x 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程 分析:我们把曲线方程写成参数方程,(1)现在我们讨论空间曲线C的方程以y=(x), z=(x)的形式 出现,取x为参数,它可表示为参数方程的形式: x=x, y=(x), z=(x).,若(x), (x)都在x=x0处可导,那么由上述讨论可知, T=(1
3、, (x0 ),(x0 ),因此曲线C在点M(x0,y0,z0)处的切线方 程为,在点M(x0,y0,z0)处的法平面方程为,(2)如果曲线用两个空间曲面相交的交线形式出现时,可根 据隐函数求导的方法处理.,设空间曲线C的方程以,(7) 的形式给出,M(x0,y0,z0)是曲线C上的一点,又设F,G有对各个变量的连续偏导 数,且,这时方程组(7)在点M(x0,y0,z0)的某邻域内,确定一组函数y=(x),z=(x),要求曲线C在点M处的切线方程 和法平面方程,只要求出(x0 ), (x0 ),然后代入(5),(6)两式就 可以了为此,我们在恒等式,两边分别对x求全导数,得到,由假设可知,在点
4、M的某个邻域内,故可解得,于是T=(1, (x0 ),(x0 ) 是曲线C在点M(x0,y0,z0)处的切向量.,分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点M(x0,y0,z0)的,值,把上面的切向量T乘以,得,这也是曲线C在点M处的一个切向量,所以在点M(x0,y0,z0)的 切线方程为,曲线C在点M(x0,y0,z0)的法平面方程为,例3 求球面,与椭球面,交线上对应于x=1点处的切线方程和法平面方程.,分析:先求出x=1,点为 (1,1/2,1) (1,1/2,-1),曲线的向量方程及向量值函数的导数 曲线C的参数方程(1)x=x(t), y=y(t), z=z(t)也可写成向量的形 式.
5、记 r=xi+yj+zk, r(t)=(t)i+(t)j+(t)k 则方程(1)就成为向量方程 r=r(t), t, (4) 方程(4)确定一个从, R3的映射. 由于这个映射把每一个t , ,映成一个向量r(t),故称这映 射为向量值函数.,在几何上, r(t)是R3中的点(t),(t),(t)的向径.空间曲线 C就是变向径r(t)的终点的轨迹.我们称C为向量值函数r(t)的 矢量曲线.根据R3中向量的模的概念与向量的线性运算法则, 可定义一元向量值函数r(t)的连续性与可导性: 设r(t)在点t0的某邻域内有定义,如果,则称r(t)在t0连续;又若存在常向量T=(a,b,c)使得,则称r(
6、t)在t0可导,并称T为r(t)在t0的导数(或导向量),记作r(t0) 即r(t0)=T,容易证明:向量值函数r(t)在t0连续的条件是: r(t)的三个分量 函数(t),(t),(t)都在t0连续; r(t)在t0可导的充分必要条件 是r(t)的三个分量函数(t),(t),(t)都在t0可导,当r(t)在t0可 导时,其导数为,采用向量形式,上面研究的空间曲线的切线,切向量的结果可 表达为若向量值函数r(t)在t0可导,且r(t0 )0,则r(t)的矢端曲线 C在r(t0)的终点处存在切线, r(t0 )就是切线的方向向量,它的指 向与参数t的增大时点M移动的走向一致.,二 曲面的切平面及
7、法线,定义 在曲面上,通过一点M0的任何曲线在 该点的切线,如果都在同一平面上,这个平 面就称为曲面在M0的切平面.正如过平面 或空间曲线上一点不一定总是存在切线一样,曲面也必须具备 一定的条件,它才有切平面设曲面的方程为 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)有连续的偏导数,且三个偏导数在该 点不同时为0.,现在来证明在点M0处存在切平面,并求切平面的方程. 设 x=x(t), y=y(t), z=z(t) (7) 是过M0在曲面 上所引的任一曲线L,t=t0 对应于点M0(x0,y0,z0),又x(t), y(t), z(t)存在并不全为0.,由于曲线L在曲面上
8、,故有 Fx(t),y(t),z(t)=0 由假设 Fx(t),y(t),z(t) 在t=t0时有全导数,因而,由全导数公式,得,由全导数公式,得,而s=x(t), y(t), z(t)是曲线L在点M0处的切线的方向向量, 记,上面的(12)式表示n垂直于s, ns. 因为曲线L是曲面上过点M0的任一条曲线, 任何在M0的切线都与同一向量n垂直.因此在 曲面上过点M0具有切线的一切曲线在M0的切线都在同一平 面内.这个平面即是曲面在M0的切平面,切平面方程为,由于曲线L在曲面上,故有 Fx(t),y(t),z(t)=0 由假设 Fx(t),y(t),z(t) 在t=t0时有全导数,因而,过点M
9、0(x0,y0,z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法 线.n是法线的一个方向向量,法线方程为,为切平面的法线向量,如果曲面方程为z=f(x,y),可以令 F(x,y,z) = f(x,y,z)-z, 则 Fx=fx ,Fy=fy, Fz= -1, 于是, 曲面在点M0(x0,y0,z0)的切平面方程为,法线方程为,例4 求过椭球面.,上点M0(x0,y0,z0)的切平面,和法线的方程,例5 求z=x2 +y2 -4在点(2,1,1)处的切平面及法线的方程,例6 证明圆柱螺旋线x=acos,y=asin,z=b具有下列两个 性质: (1)它与柱面 x2+y2=a2 的母线相交成定角; (2)相应于极角= 1, = 2的一段弧长s与2 - 1的比是 一常数.,