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1、,欢迎各位新同学！,高 等 数 学,石家庄铁道大学数理系,陈聚峰 Tel: 15530153878,一. 为何要学习高等数学,二. 高等数学的主要内容,三. 学好高等数学的主要学习方法,四. 其他与教学相关的事项,序 言,一.为何要学习高等数学,1. 对数学的评价,马克思,恩格斯,要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.,一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 .,第一个诺贝尔物理奖得主伦琴在回答“科学家需要什么样的修养？”这一问题时，说：“第一是数学, 第二是数学, 第三还是数学.”,英国著名哲学家培根说 “数学是打开科学大门的钥匙.”,联合国教科文组织调查报告：目前科
2、学研究工作的特点之一是各门学科的数学化.,被誉为“计算机之父”的冯 诺依曼认为“数学处于智慧的中心领域”,2. 高等数学是高校学生必修的重要基础理论课,17世纪（1637年）笛卡尔创立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础。,微积分对许多工程技术的重要性就像望远镜之于天文学, 显微镜之于生物学一样. 因此在所有的理工科大学中,微积分总是被列为一门重要的基础理论课程.这是因为: 一方面，它为进一步学习数学课（如:概率
3、论与数理统计、复变函数等）打下一定的基础, 另一方面，它是学好后继的专业课（如：离散数学、数据结构、大学物理等）的重要工具.,另外, 考研时高等数学的内容大约占数学试卷( 总分150)的三分之二.,二. 高等数学的主要内容,微积分学,一元函数微积分学,多元函数微积分学,函数、极限、连续,无穷级数,常微分方程,掌握高等数学的基本知识、基本理论、基本方法，提高数学素养.,1. 学习内容,基础,三基,抽象概括问题的能力； 逻辑推理能力； 空间想象能力； 自学能力； 比较熟练的运算能力； 综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。,2.培养能力,三. 学好高等数学的主要学习方法,1. 高等数学的特点
4、,2. 高等数学课的教学特点,3. 抓好六个学习环节,高等数学的特点,（2）严密的逻辑性 在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。,（3）应用的广泛性 现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。,（1）高度的抽象性 深入地揭示事物的本质规律，有更广泛的应用。,高等数学课的教学特点,与中学数学的教学相比，有以下三个显著的差别：,1.课堂大 80150人合班上课，一般不可能提问，同学之间在学习基础、水平、理解能力上差异大。,2.时间长 每一次课一般
5、是连续讲授两节课。,3.进度快 由于高等数学的内容极为丰富，而学时又有限，因此，每次课要讲授教材8-10页。,抓好六个学习环节,1、预习 阅读教材，了解老师讲课内容，同时找出自己不懂的问题。使听课时心中有底，不至于被动地跟着老师的“脚后跟”走。,2、听课 带着问题听课！对自己不懂的地方（问题）要集中精力听，听老师如何提出问题的，如何分析问题的，如何解决问题的。要紧跟老师的思路，并积极思考。,3、记笔记 上课时将老师讲授的重点、补充的内容做必要的笔记，以便课后自学、复习。应当注意，书上有的不记。,“好记性不如烂笔头”,4、复习 课后按老师讲课的思路看教材，结合笔记，对教学内容整理与小结.,5、做
6、作业 在复习与消化后，做练习册上的有关习题。做题时要思考每题用到所学的哪些概念、定理、公式及方法，对常见题型整理，对各种解题方法小结.,“学而时习之”,6、答疑 在学习中遇到疑问时，及时去请教老师或同学.,“三人行必有我师”,“温故而知新”,四. 其他与教学相关的事项,1. 学习资源,(1) 教材、指导讲义、练习册,(2) 其他工科类的教材（如：同济大学应用数学系主编高等数学 （第五、六版 上、下册） ）及辅导书。,注意：指导讲义（10元/本）、练习册（10元/本）， 按自然班收齐后于今天下午2：30到春晖楼东11层 到数理系办公室领取。, 高等数学、线性代数与几何网址： http:/ 教育教
7、学 精品课程） 河北省精品课程 2008省级精品课程。,（3） 辅导答疑,10月1日以后，每周三晚上7：00-9：00答疑一次，,地点：一教的二楼教室休息室。,（4） 网上资料,2. 作业、考试,各小班上报数学课代表名单，每周三上课时由课代表收作业.,作业在期末考试成绩中占一定的比重。每次只批阅二分之一, 要求都要交作业。,课程名称：高等数学(A)I 性质：学位 学分： 4分 考核：闭卷考 2011分级教学班统一考试，统一判卷，试卷密封， 流水作业，公平公正！,3.几个要求,（1） 上课前手机关机，准备好课本、笔记本、练习本和笔。 （2）上课时认真听讲，积极回答问题。 （3）课间多活动活动，各
8、小班轮流值日擦黑板！ （4）课后带好随身物品。,第一章 微积分基础知识 一元函数是主要的研究对象. 一元函数的极限和连续是高等数学中最基本的内容，是一元函数微分学和积分学的理论基础.,1.1 集合 映射与初等函数,一、集合 区间 邻域,1. 集合及其表示、分类 2. 集合的关系与运算,自然数集,整数集,有理数集,实数集,(1) 闭区间 a, b = x | a x b ,(2) 开区间 (a, b) = x | a x b ,3. 区间,(a, b = x | a x b ；,a, b) = x | a x b ,(3) 半开半闭区间,(4) 无限区间,a, +) = x | x a ,( ,
9、 b) = x | x b ,( , + ) = x | x + = x | xR ,(5) 区间长度,有限区间的长度 = 右端点值左端点值,所有无限区间的长度 = +,设a与R，且 0 ,称数集 x | |x-a| 为点 a 的邻域 ,记为U (a,). 点a 称为邻域中心, 称为邻域半径.,点 a 的去心邻域: x |0 |x-a| ,记作,x,4. 邻域,二、函数的概念,设 D 是 R 的一个非空数集.若对每个数 x D,按照某种法则 f ,有唯一确定的 y R与之对应, 则称 f 是从 D 到 R 的函数,记为 y = f (x). 称D 为定义域, x为自变量, y为因变量或函数,
10、f (D) = y | y = f (x), x D称为函数的值域.,称为函数 f (x) 的图象.它通常对应 着平面直角坐标系 xOy上的曲线.,1. 定义,(1) 解析法,(2) 列表法,(3) 图象法,(4) 描述法,2. 函数的表示方法,如: 狄里克莱（Dirichlet）函数.,(1)解析法：当函数的对应法则借助于数学式子给出时, 称这种表示函数的方法为解析法.,(2)列表法：当函数的对应法则用含有自变量 x的值与函数f(x)的对应值的表格来表示, 则称此表示函数的方法为列表法.,(3)图象法：由图象给出自变量 x与因变量 y 间的关系的方法称为图象法.,(4)描述法：有些函数不能用
11、上述方法来表示,只能给予描述.,2. 函数的表示方法,几个常见的函数：,在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数, 称为分段函数.,3. 分段函数,（1） 绝对值函数 y = |x|.,（2） 符号函数,（3） 取整函数 y = x，,（4） 狄里克莱(Dirichlet)函数,其中x表示不超过x的最大整数.,这不是它的图像,（5） 取最值函数,常用的逻辑符号,表示“对于任意给定的”,表示“存在”或“能找到”,表示“推出”、“若，则”或“必要条件”,表示“推出”或“充分条件”,表示“等价”、“当且仅当”或“充要条件”,“任取”,或“对于任意的”,或“对于所有的” .,三、复
12、合函数与反函数,y 为因变量的函数，此函数称为 y = f (u)与u = g(x)复合而成的复合函数,1. 复合函数,设有两个函数,记作,或,外函数,内函数,中间变量,那么，就得到了一个以 x 为自变量,注意: 当且仅当,时，f 与 g才能复合.,例如, 函数 :,函数,但函数链,不能构成复合函数 .,可定义复合,复合函数的分解,将一个复杂的函数分解成一串简单的函数.,简单的含义:,2. 最后一个函数可以是基本初等函数的四则运算.,3. 分解要彻底.,例如,1. 前几个函数最好是基本初等函数；,例1 求下列复合函数的定义域，并指出复合过程：,练习？,设函数y = f (x) ，其定义域为D，
13、值域为M如果对于 M 中的每一个值 y ，都可以从关系式 y = f (x) 确定唯一的值 x与之对应，这样就确定了一个以 y 为自变量的函数，这个函数称为 y = f (x)的反函数,记为x = f -1(y). 而称 y = f (x)为直接函数 ,习惯上, 用x表示自变量， y 表示因变量对调x = f -1(y)中的 x与y. 因此函数的反函数可表示为 y = f -1(x),2. 反函数,例2 讨论函数 y = x2的反函数。,注意: 并非每个函数都有反函数。,定理 严格单调函数必有反函数. 严格单调增加的函数反函数必严格单调增加 ,严格单调减少的函数的反函数必严格单调减少.,四、函
14、数的几种特性,1. 有界性 设X为一实数集. 若 M0, xX ，都有 | f (x)| M 则称函数 f (x) 在X上有界. 如果这样的 M 不存在, 称函数 f (x) 在X上无界.,M,M,几何意义：f (x)在(a, b)内有界就表示了f (x)的图形夹在两平行直线 y = M 之间.,例2 y=cos x 在其定义域内是有界的，也称它是有界函数,例3 y=x 在其定义域内是无界的，也称它是无界函数,例4 函数 在开区间 (0, 1) 内,注 讨论函数的有界性，必须指明区间.,它在 (1, 2)内是,有界的,是无界的;,2. 单调性 如果对于区间 I 内的任意两点 x1 及 x2 ，
15、当 x1 x2时，恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) )，则称函数f (x) 在I上单调增加(减少).,严格,讨论函数的单调性，必须指明区间.,3. 奇偶性 设函数f (x)的定义域D关于原点对称，若对于任意 x D，有 f ( -x )= f (x) ，则称函数 f (x) 在 D上是偶函数； 若对于任意 x D,有f ( -x )= - f (x) ，则称函数 f (x)在D上是 奇函数 在几何上, 偶函数的图象关于 y 轴对称, 奇函数的图象关于 原点对称.,4. 周期性 设函数f (x)在数集D上有定义，若存在数T 0 ，对于任意 x D,
16、且x +T D，都有 f ( x + T ) = f (x) , 则称函数 f (x)是周期函数，称T为f (x)的周期. 使上式成立的最小正数称为最小正周期通常我们所说的周期函数的周期是指最小正周期.,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,五、基本初等函数与初等函数,1. 基本初等函数 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,(1) 幂函数,(2). 指数函数：,它的定义域为(-,+).,当a 1时, 指数函数是严格单调增加的; 当1 a 0 时, 指数函数是严格单调减少的,(3). 对数函数：,它的定义域为(0, +
17、).,当a1时, 对数函数是严格单调增加的; 当1 a 0时, 对数函数是严格单调减少的.,由于loga1=0, 所以对数函数的图像总在y轴的右方,且通过点 (1, 0).,(4). 三角函数:,正弦函数和余弦函数都是以 2为周期的周期函数, 定义域都是(-, +), 值域都是闭区间-1, 1.正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数,这两个函数的值域都是(-,+),都是以为周期的周期函数, 都是奇函数,正切函数的定义域,余切函数的定义域,正割函数和余割函数都是以2为周期的周期函数, 并且在开区间 内都是无界函数,(5). 反三角函数：,反正弦函数和反余弦函数的定义域都是闭区间-1, 1. 反正弦
18、函数在-1,1上严格单调增加, 反余弦函数在-1,1上严格单调减少,注：sin2x不是基本初等函数.,反正切函数与反余切函数的定义域都是(-, +). 反正切函数在定义域内严格单调增加, 反余切函数在定义域内严格单调减少,绝对值函数,绝大多数分段函数不是初等函数.只有由绝对值函数派生出的分段函数可能是初等函数.,由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算且能用一个数学式子表示的函数称为初等函数.,双曲函数,奇函数.,偶函数.,严格单调增加.,双曲正弦,双曲余弦,奇函数,严格单增且有界，,双曲正切:,奇函数, 严格单减.,双曲余切:,双曲函数常用公式,奇函数,反双曲函数,奇函数,六、内容小结,1. 集合，区间，邻域. 2. 函数的概念,分段函数,复合函数,反函数. 3. 函数的几种特性:有界性,单调性,奇偶性,周期性. 4. 初等函数,基本初等函数;工程上常用的双曲函数.,作业： 练习册P1 4,