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1、刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回转的装置。轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述?,第 3 章 刚 体 的 定 轴 转 动,3.1 刚体及刚体定轴转动的描述,3.2 转动定律,3.3 刚体转动的功和能,3.4 刚体的角动量定理和角动量守恒定律,3.1 刚 体 及 刚 体 定 轴 转 动 的 描 述,刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 。（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）,质元：刚体可以看成由许多质点组成，每一个 质点叫刚体的质元。,刚体这个质点系的特点是：在外力作用下各质元之间的相对位置不变。由于是质点系，有关质点的基本定律都可以使用。,1
2、 平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 .,平动的特点：刚体中各质点的运动情况相同。,2 转动：刚体中所有的质元都绕同一直线做圆周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动 。 定轴转动是转动中最简单的情况。定轴转动中，各圆的圆心都在一条固定不变的直线上，这条直线叫转轴。,2.圆心都在一条固定不变的直线上。,1.刚体中各质点都作圆周运动。,3.各质元在相同的时间内转过的角度相同。,4.转动平面与轴垂直。,参考方向为ox，,刚体上某一点P到转轴O点的连线与参考方向ox的夹角。,单位：弧度，rad,角坐标为标量。,参考方向,描写刚体转动
3、位置的物理量。,1.角坐标,描写刚体位置变化的物理量。,参考方向,刚体的角位移,单位：弧度，rad,2、角位移,刚体定轴转动各质元角位移相同。,描写刚体转动快慢和方向的物理量。,3、角速度,角速度为角坐标对时间的一次导数。,单位：弧度/秒，rad/s,转/分，rev/min,角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。,方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。,刚体定轴转动各质元角速度相同。,描写角速度变化快慢和方向的物理量。,4、角加速度,角加速度为角速度对时间t的一次导数，或为角坐标对时间t的二次导
4、数。,单位：弧度/秒2，rad/s2,方向：角速度变化的方向。,角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度的方向只有两个，在表示角加速度时只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。,刚体定轴转动各质元角加速度相同。,角加速度为一常量,定轴转动,初始条件：,由,有,两边积分,（1）,由,有,两边积分,（2）,由（1）、（2）式消 t,（3）,3.2 转 动 定 律,O,力与力臂的乘积。,F,P,d,r,r,根据矢量乘积法则：,用矢量方法表示力矩：,单位：牛顿米， N m,方向：从r沿小于角右旋到F，大拇指指向。,2）合力矩等于各分力矩的矢量和,其中 不改变刚体绕z轴的转动状态
5、，故 对转轴的力矩,2 刚体,质量元受外力 ，内力,1 单个质点 与转轴刚性连接,外力矩,内力矩,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .,转动定律,定义转动惯量,物理意义：转动惯性的量度 .,质量离散分布刚体的转动惯量,转动惯性的计算方法,例：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，1）绕与杆垂直的质心轴转动，2）绕细杆一端轴转动。求转动惯量 J。,解：1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为：,建立坐标系，坐标原点选在质心处。 分割质量元 dm ,长度为 dx ,绕细杆质心轴的转动惯量为,解2）：细杆为线质量分布，单位长度的质量为：,建立坐标系，坐标原点选在边缘
6、处。分割质量元 dm ,长度为 dx ,绕细杆边缘轴的转动惯量为,例 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .,解 设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环,而,圆环质量,所以,圆环对轴的转动惯量,例：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。,解：,分割质量元 dm,圆环上各质量元到轴的距离相等，,绕圆环质心轴的转动惯量为,薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直,r2,r1,圆筒转轴沿几何轴,l,r,圆柱体转轴沿几何轴,l,r,圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直,l,细棒转轴通过中心与棒垂直,l,细棒转轴通过端点与棒垂直,2
7、r,球体转轴沿直径,2r,球壳转轴沿直径,1.确定研究对象。,2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。,3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转动刚体列转动定律方程和角量与线量关系)。,注意：1）转动轴的位置和指向； 2）力矩、角速度和角加速度的正负。,例：质量为 m1和m2两个物体，跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和绳子的张力 T1、T2。,T1,T2,解：受力分析,以,为研究对象,（1）,（2）,以,为研究对象,（3）,补充方程：,（4）,联立方程（1）-（4）求解得,讨论：当 M=0时,例 一个刚体系统，如图所示，,已知，转动
8、惯量,，现有一水平力作用于距轴为 l 处,求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。,解,设轴对棒的作用力为 N,由质心运动定理,打击中心,质心运动定理与转动定律联用,质点系,由转动定律,3.3 刚体转动中的功和能,力矩的功,设想刚体是由可看作质点的大量质元所组成的，刚体定轴转动动能就是各质元动能的总和。,上式表明，刚体对某一定轴的转动动能等于刚体对该轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。刚体的转动惯量越大，转动角速度越大，转动动能就越大。,1、转动动能,合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 .,2、刚体转动的动能定理,讨论外力矩的功与转动动能的改变之间的关系。,和 、 分别为圆盘终
9、了和起始时的角坐标和角速度 .,例1 一质量为 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m 的物体 . 问物体在静止下落高度 h 时，其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计 .,解 拉力 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力 的力矩所作的功为,物体由静止开始下落,解得,并考虑到圆盘的转动惯量,由质点动能定理,刚体的机械能,刚体重力势能,刚体的机械能,质心的势能,刚体的机械能守恒,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立,例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置,
10、解,由动能定理,求 它由此下摆 角时的 ,此题也可用机械能守恒定律方便求解,3.4 刚体的角动量定理和角动量守恒定律,1 刚体定轴转动的角动量,2 刚体定轴转动的角动量定理,当刚体定轴转动时，刚体角动量的增量等于合外力矩的冲量矩。,刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率。,角动量定理的积分形式：,角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.,内力矩不改变系统的角动量.,守 恒条件,若 不变， 不变；若 变， 也变，但 不变.,，则,若,当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒,如：花样滑冰 跳水 芭蕾舞等,香 炉 西安 法门寺,猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观
11、察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤。为什么会这样呢？,例4.6 如图4-11所示，质量为m1，半径为R的转台，可绕通过中心竖直轴转动，阻力可忽略不计。质量为m2的一人站在台的边缘。人和台原来都静止。如果人沿台的边缘绕行了一周，问相对地面来说，转台转过了多少角度？,解：以人和转台为一系统。对固定轴，系统没有受到外力矩作用，因此角动量守恒。已知开始时系统的角动量为零，设在以后任一时刻t，转台相对地面的角速度为 ，人相对地面的角速度为 。转台和人对转轴的转动惯量分别为J1= m1R2和J2=m
12、2R2。由角动量守恒定律，有,或,解得,负号表示转台转动的方向与人沿转台绕行的方向相反。,人相对转台的角速度为,人在转台上绕行一周，即2角度，所用时间为t，则有,而 就是在时间t内转台转过的角度，即,3.4 质 点 的 角 动量 和 角 动 量 守 恒 Angular Momentum. Law of Conservation of Angular Momentum,力与力臂的乘积。,F,P,d,r,r,用矢量方法表示力矩：,单位：牛顿米， N m,方向：从r沿小于角右旋到F，大拇指指向。,1 力矩,质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 ，质点相对于原点的角动量,大小
13、,的方向符合右手法则.,质点以角速度 作半径为 的圆运动，相对圆心的角动量,2 质点的角动量,作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率.,冲量矩,质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.,质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该参考点 O 的角动量为一恒矢量.,由角动量定理,恒矢量,对于不同的参考点，力矩和角动量都可能不同，因此，角动量是否守恒，不仅与质点受力情况有关，而且与参考点的选择有关。,例3.13 如图3-28所示，质点m作圆锥摆动，设质点的速率v、圆半径R及锥角为已知（容易证明v、R和中只有两个是独立
14、参量，为书写方便，视为已知量）。（1）以圆心O为参考点，试求张力力矩、重力力矩、合力力矩和质点角动量；（2）以悬挂点A为参考点，试求张力力矩、重力力矩、合力力矩和质点角动量；（3）对圆心O和悬挂点A，质点角动量是否守恒？,解 （1）根据（3-44）式，张力FT对圆心O的力矩为 M1=RFT 根据矢量叉积的定义，M1的方向与图中v方向相反，M1的大小为 M1=RFTsin（ +）=RFTcos。,重力对圆心O的力矩为 M2=Rmg,由于FT = ，则M1=mgR。,其方向与图中v的方向相同，,其大小 M2=Rmgsin =mgR。 对O点的合力矩为 M0= M1+ M2=0,根据质点角动量定义，
15、质点 m对圆心O的角动量为 L0=Rmv 其方向竖直向上，大小为L0=Rmvsin =Rmv。,（2）张力对悬挂点A的力矩为 M3=rFT=0 重力对A点的力矩为 M4=rmg 其方向与v相同， 大小为M4=rmgsin=Rmg。,对A点的合力矩为 M= M3+ M4 其方向与v相同，大小为M=Rmg。 质点m对悬点A的角动量为 L=rmv,其方向如图，大小为LA=r m v sin = 。,（3）对圆心O的合力矩M0=0，因此质点对O点的角动量守恒，即其大小、方向都不变。 对悬点A的合力矩MA0，因此质点对A点的角动量不守恒。计算结果表明，运动过程中质点对悬挂点A的角动量大小不变，但方向不断变化。,例：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？,近日点,远日点,解：在彗星绕太阳轨道运转过程中，只受万有引力作用，万有引力不产生力矩，系统角动量守恒。,由质点的角动量定义：,即,即,近日点 r 小 v 大，远日点 r 大 v 小，,这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短的几周时间。彗星接近太阳时势能转换成动能，而远离太阳时，动能转换成势能。,