数学建模培训_初等模型(1).ppt

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1、数学建模培训 初等模型,曹可,二九年四月,一、数列建模,数列是最基本的概念之一。,1805年，英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中，尼尔 森担任英国统帅，他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的 舰队有27艘战舰，而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的 战争经验，若两军相遇，一方损失兵力大约是对方兵力的10。 如果按照这一公式计算，显然人多势众的法军将获胜，而且在 第11次遭遇战中全歼英军，如表所示。,模型1：谁将是胜利者,但是，尼尔森将军成功的运用了逐个击破的策略，扭转劣 势转败为胜，还差一点全歼法军。经此一战，英国大大巩固了 它在海上的霸权。,当时法军舰队分在三处，分别为A处（3艘）、B处

2、（17艘）、 C处（13艘），彼此相距很远。尼尔森将军收集了丰富的情报 以后，当机立断，制定以下作战方案：先派13艘战舰进攻法军 A队，胜利后尽快与留守港口的14艘战舰汇合，一起进攻法军B 队，最后，乘胜追击，集中所有剩余兵力，围攻法军C队。,现保守估计，每一场遭遇战，法军损失兵力大约是英军的 5，列表如下计算：,战役A情况,战役B情况（法军在战役A中逃脱的1艘战舰加入战斗）,战役C情况（法军剩余兵力全部参加战斗）,最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。,点评：数学建模以

3、解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。,模型2：动态系统中的平衡点,模型2.1：出租车的调配问题,一家出租车公司有出租车7000辆，在甲地和乙地各有一家 分支机构，专门负责为旅游公司提供出租车。由于甲地和乙地 距离不远，出租车每天可以往返两地。根据公司统计的历史数 据，每一天甲地的车辆有60%前往乙地后返回甲地，余下40% 前往乙地并留在乙地分支机构；而每一天乙地的车辆有70%前 往甲地后返回乙地，余下30%前往

4、甲地并留在甲地分支机构。 现在公司担心出现甲、乙两地车辆分布越来越不平衡的情况， 如果出现，公司就必须考虑是否对甲乙两地车辆进行调配，这 就需要支付一定的调度费用。 试对上述问题提出决策分析！,分析：设Jn为第n天在甲地的出租车数量，Yn为第n天在乙 地的出租车数量，由历史统计规律可知,如果存在平衡状态，即Jn= Jn1及 Yn= Yn1，解得,这就说明，甲地分配3000辆车，乙地分配4000辆车，则此 后两地车辆数目不变，即达到平衡状态。（如表1）,表1,进一步分析：如果甲地、乙地的车辆不是3000和4000时， 甲地和乙地的车辆数量则每天都在变动，是否会出现不平衡， 是否需要进行调配？,表

5、2 车辆数量模拟（一）,表3 车辆数量模拟（二）,表4 车辆数量模拟（三）,表5 车辆数量模拟（四）,经过模拟（表2表5），可以知道无论车辆如何分配，经 过有限天数后，最终都将达到平衡状态。Jn的极限是3000， Yn的极限是4000。其中，（J，Y）=（3000，4000）为该 动态系统的平衡点，而且是稳定的平衡点（不动电）！,点评：上述问题，如果没有进一步分析就略显平庸！数学 建模是一个迭代的过程，是一个螺旋上升的过程，通过不断的 迭代、不断的修正，最终得到更好、更接近现实情况的结果！,模型2.2：竞争的捕食者模型,在非洲，有一个地方栖息着一种特别的斑点猫头鹰。它们 在那儿跟老鹰同处于食物

6、链的最高层，本应无忧无虑，但是由 于它们的捕食对象相同、相互竞争，因此随时有种群灭绝的危 险。 试建立数学模型研究它们数量之间的关系！,分析：首先，假定一个种群的数量增加跟其自身数量成正 比，则在不考虑死亡的情况下。 令On代表斑点猫头鹰第n天的数量，Tn代表老鹰第第n天的 数量，则有,斑点猫头鹰的增加量为 老鹰的增加量为,现在考虑种群的死亡问题，由于它们是那个地区的霸主， 倒不担心被别的动物吞食。它们的死亡主要由于缺乏食物造 成。这里假定一个种群数量的减少跟它的数量与其竞争对手数 量的乘积成正比，则有,斑点猫头鹰的变化量为 老鹰的变化量为,则该动态系统的状态转移方程为,现在，取k1=0.2、

7、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002，解得平衡 点（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】,进一步分析：考查该动态系统平衡点的稳定性。 现在考虑以下四种初始情况下斑点猫头鹰和老鹰的变化。,下面四个图分别对应四种情况。,情况1是最理想化的情况。情况2和情况3表明，即使系统只 有细微偏差，但最后结果却截然不同。情况1、情况2和情况3尽 管在初始数量相差不多，但最终结果相差悬殊。,模型评价：综合上述讨论，可以看出竞争捕食者模型是一 个对初始值非常敏感的模型。平衡点（150，200）是一个不稳 定的平衡点，即使初值非常接近它，最后发展的结果始终不能 达到这个平衡点，甚至偏离

8、很远。要得到更好的分析结果，必 须修正原来的假设，添加更多的因素，考虑用更好的建模方法。,练习：兔子的繁殖问题。 由一对幼兔开始，一年后可以繁殖多少对兔子？假设兔子 的生殖能力是这样的：每一对兔子每一个月可以生一对兔子， 并且兔子在出生满一个月以后就具有生殖能力。 试用数学建模的方法来讨论上述问题，并分析兔群的增长 规律。,二、图解法建模,图象分析是一种十分直观的数学方法，在简单的定性分析 中很实用。难以量化的研究对象，不容易用解析法处理，这时 可以根据数与形的关系，利用图象中曲线的关系推断结论，借 助图象来描述研究对象。图解法可以取得一目了然的效果，但 也有自身的缺点（例如，量化不彻底，不易

9、表示三个以上变量 之间的关系，要深入研究还要利用其他的数学工具，比如概率 统计、线性规划等）。,模型：核军备竞赛,【资料】二十世纪六七十年代的冷战时期，美苏实行所谓 核威慑战略，核军备竞赛不断升级。随着前苏联的解体和冷战 的结束，双方通过了一系列的核裁军协议，2001年7月美俄两 国总统同意进行进一步裁减核武器，俄罗斯总统普京建议两国 各自裁减1500枚战略核武器。,蘑菇云,二战中美国投放日本长崎的原子弹“胖子”,世界核武器分布图,核武器 （nuclear weapon） 利用能自持进行核裂变或聚变反应释放的能量，产生爆炸 作用，并具有大规模杀伤破坏效应的武器的总称。其中主要利 用铀235(U

10、-235) 或钚239(239Pu)等重原子核的裂变链式反应原 理制成的裂变武器,通常称为原子弹;主要利用重氢(D，氘 do) 或超重氢(T，氚 chun)等轻原子核的热核反应原理制成的热 核武器或聚变武器，通常称为氢弹。,在什么情况下双方的核军备精神才不会无限扩张而存在暂 时的平衡状态，处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数 量是多大，这个数量受哪些因素影响，当一方采取诸如加强防 御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发 生什么变化？ 试建立数学模型，在给核威慑战略做出一些合理、简化的 假设下，定性的分析、回答上述问题。,模型分析：核军备竞赛的基本想法是当自己在遭到对发的 突

11、然袭击后能有足够的核武器幸存下来，以便给予对方“致命 打击”。 核军备竞赛的方法有： （1）努力增加自己的核武器。从数量上压倒对方，但这 样作战下去双方都感到负担过重。 （2）引进多弹道导弹和多弹头导弹。 （3）加固导弹库或者建造核潜艇来保护导弹，使之不易 受到攻击。,模型假设：以双方的（战略）核导弹数量为对象，描述双 方核军备的大小，假定双方采取如下同样的核威慑战略。 （1）认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部 核导弹攻击己方的核导弹基地。 （2）己方在经受第一次核打击后，应保存有足够的核导 弹，给对方以毁灭性的打击（工业、交通中心等）。,（3）在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核

12、导弹只 能攻击对方的一个核导弹基地，且摧毁这个基地的可能性是常 数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力说决定。 （4）假定双方拥有的核导弹相同，具备相同的攻击精度 和防御能力。,模型建立：（图的模型）,记y=f(x)为甲方拥有x枚核导弹时，乙方采取核威慑战略所 需的最小核导弹数， x=g(y)为乙方拥有y枚核导弹时，甲方采 取核威慑战略所需的最小核导弹数。,对于y=f(x)，当x=0时y=y0，y0是甲方在实施第一次核打击 后已经没有核导弹时，乙方对甲方以毁灭性打击所需的核导弹 数，简称乙方的威慑值；对于x=g(y)，当y=0时x=x0，x0是乙方 在实施第一次核打击后已经没有核导弹时，甲方

13、对乙方以毁灭 性打击所需的核导弹数，简称甲方的威慑值。,不妨假设甲方最初只有x0枚核导弹（威慑值），乙方为了 自己的安全至少要拥有y1枚核导弹；而甲方为了安全需要将核 导弹数量增加到x1，如此循环下去，双方的核导弹数量就会趋 向xm和ym。,模型的精细化：现实中，平衡点P(xm，ym)并不是固定的， 如果一方使用加固导弹库、反弹道导弹或其它手段，两条安全 线和稳定点将发生变化。,点评：核军备竞赛问题初看起来似乎与数学无缘，但是如果把所谓核威慑战略作一些合理、简化的假设，就能够用一个简单的图的模型，来描述双方核武器数量相互制约、达到平衡的过程，并由此对核军备竞赛中的一些现象作出解释，这种定性分析

14、的建模方法是值得借鉴的。,练习：核军备竞赛模型中，讨论以下因素引起的平衡点变 化。 （1）甲方提高导弹导航系统的性能。 （2）甲方增加导弹爆破的威力。 （3）甲方发展电子干扰系统。 （4）双方建立反导弹系统。,三、比例、类比关系建模,比例是最基本、最初等的数学概念之一，很多实际对象蕴 含着比例关系。 通常，如果y与x成正比，可以记为yx或者y=kx（其中k称 为比例因子）等等。,例如，一个均匀物体的重量M和它的体积V成正比， M V；对于形状相似的物体，它的表面积S和它的特征长度L2 成正比， S L2，它的体积V和特征长度L3成正比， V L3， 则它的体积V和表面积S的比例关系为,利用这种

15、关系转换，可以简单的构造有关问题的轮廓模型。 类比分析建模方法就是根据两个（或者两类）系统某些属性或 关系的相似性去猜测两者的其它属性或关系。其中，物理系统 的类比分析使用已经很广泛，例如人的肌肉跟弹簧的类比等。,模型一：如何估计动物的体重,问题的提出：生猪收购站或屠宰场的工作人员都希望能从 生猪的身长估计出它的体重，以便提高工作效率。因此研究四 足动物躯干（不含头尾）的长度与它的体重的关系有着现实的 意义。 分析：动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入生物学 复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的的有使用价值 的模型。因此为简化起见，我们仅在十分粗略的假设基础上， 利用类比的方法，借助力

16、学弹性梁理论的某些结果，建立四足 动物身长和体重的比例关系，从而可以根据猪的长度大约估计 出猪的体重。,模型的应用：利用这个结果，对于某一种四足动物，比如 生猪、羊、牛等，就可根据大量试验，从统计数据中找出这个 比例常数，从它的躯体长度估算出它的体重。,模型二：划艇比赛的成绩,划艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、 四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。现比 较各种划艇1964-1970年4次2000m比赛的最好成绩（包括1964 年和1968年的两次奥运会和两次世锦赛），发现他们之间有相 当一致的差别，似乎成绩与浆手数量之间存在某种联系，试建 立数学模型来解释这种关系

17、。,模型分析：在这个问题中，由于划艇的速度、阻力、浆手 的输出功率等变量之间的精确关系不易找出，各时刻划艇的绝 对速度也很难得到，建立精确的模型来描述划艇的运动是困难 的，而我们现在关心的只是划完全程的时间，因此我们可以在 不太精确的假设下用比例分析的方法组建模型来描述它。,根据表中数据，可以看出，浆手数n增加时，艇的尺寸l、b 及艇重w0都随之增加，但比值l/b和w0 /n变化不大。若假设l/b是 常数，即各种艇的形状相同，则可得到艇浸没面积和排水体积 之间的关系。若假定w0 /n是常数，则可得到艇和浆手总重量与 浆手数之间的关系。此外还需对浆手体重、划桨功率、阻力与 艇速的关系等方面作出简

18、化且合理的假定，才能运用合适的物 理定律建立需要的模型。,模型假设： （1）艇速v是常数，根据流体力学，所受阻力f与浸没部分 表面积s成正比，与v2成正比。,（2）各种艇的规格相同， l/b是常数；艇重w0 与浆手数n成 正比。 （3）所有浆手的体重w都相同；在比赛中每个浆手的输出 功率p保持不变，且p 与w成正比（ p 与肌肉体积、肺体积成正 比，对于身材匀称的运动员，肌肉、肺的体积与w成正比）。,符号说明： v：艇速 f：艇在前进中受水的阻力 s：艇浸没部分的表面积 l：艇长 b：艇宽 w0：艇重 w：浆手的体重 V：艇的排水体积 W：艇和浆手的总重量,p：浆手的输出功率 t：划艇的比赛时

19、间,模型构成：有n名浆手的艇的总功率np与阻力f和速度v的乘 积成正比，即,由假设（1）、（3）,因此,由假设（2），艇的排水体积V与浸没面积s的关系是,又根据艇重艇重w0与浆手数n成正比，所以艇和浆手的总重 量W= w0+ nw也与n成正比，即,而由阿基米德定律，艇的排水体积V与总重量W成正比，即,故,所以，,因为比赛成绩t（时间）与艇速v成反比，于是,这就是根据模型假设和几条物理规律得到的划艇比赛成绩 与浆手数量之间的关系。,模型检验：为了检验上述关系，令,利用数据拟合（最小二乘法、计算机拟合），得到,模型评价：这个模型建立在一些不太精确的假设基础上， 因为我们只关心各种艇之间的相对速度，

20、所以数学工具只用到 了比例方法。用这种方法建模虽然不能得到关于艇速的完整的 表达式，但对于我们的建模目的来说已经足够了。最后结果与 实际数据吻合的如此只好，恐怕有很大巧合的成分。,练习：毛毛细雨和倾盆大雨落在手上的感觉截然不同，即 速度不同。试利用类比的方法讨论雨点速度与质量的关系模型。,模型三：商品包装的规律,我们知道许多商品都是包装出售的，同一种商品的包装也 有大小不同的规格。而且我们也注意到，同一种商品大包装的 单位价格比小包装的单位价格低。 试建立数学模型，分析商品包装的内在规律。,模型假设：面对错综复杂的生产过程和包装形式，为简化 问题的讨论，现给出如下假设 （1）商品的生产和包装的

21、工作效率是固定不变的。 （2）商品包装的成本只由包装的劳动力投入和包装材料的 成本构成。 （3）商品包装的形状是相似的，包装材料相似。,符号说明： a：生产一件商品的成本 b：包装一件商品的成本（b1、b2分别表示劳动力和包装材 料的成本） w：每件商品的重量,s：每件商品的表面积 v：每件商品的体积 c：每件商品的单位成本,模型构成：由假设（1），我们可以认为商品的生产成本a 正比于商品的货物量w，即,显然，包装的劳动力成本b1正比于商品的货物量，即,由假设（3）商品包装材料的成本b2正比于货物的表面积s， 而商品的表面积s与体积有如下的比率关系,商品的体积又正比于货物量，于是我们有,每件商

22、品的单位成本c为,这就是包装货物量为w时单位商品总成本c的数学模型！ 不难看出， c是w的减函数，表明当包装增大时每件商品的 单位成本将下降，这与我们平时的生活经验是一致的。,如果这个模型只是告诉我们上面的事实，它就显得十分平庸，因为它没有超出我们经验上的认识。仅这一点，这个模型的价值就很有限。我们看能否从模型得出其它更深入的结论？,我们从定性分析的角度进一步讨论模型的性质。 我们看商品单位成本c随货物量w增加的下降速率,它也是货物量w的减函数，表明当包装比较大时商品单位 成本的降低越来越慢。 因此，当我们购买商品时，并不一定是越大的包装越合算。 一般人不一定了解这一点！,四、其它的初等模型,

23、模型一：双层玻璃的功效问题,北方城镇的窗户玻璃是双层的,这样做主要是为室内保温目 的,试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分 析结果。,分析：本问题与热量的传播形式、温度有关。热量传播的 途径有传导、对流、辐射。 检索有关的资料得到与热量传播有关的一个结果，它就是 热传导物理定律：厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T，则 单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量 Q，与T成正比，与d成反比，即: Q=kT/d k为热传导系数。,模型二：公平席位的分配,三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10、6、4席。现

24、因学 生转系，三系人数为103、63、 34，问20席如何分配？ 若增加为21席，又如何分配？,模型三：雨中行走的数学模型,一个雨天，你有急事需要从家中到学校去。学校离家仅 1000m，而且情况紧急，你不准备花时间去翻找雨具，决定碰 一下运气，顶着雨去学校。如果刚刚出发雨就下起来了，但你 也不再打算回去了。一路上，你将被雨水淋湿。一个似乎很简 单的事实是你应该在雨中尽可能的快走，以减少淋雨的时间和 淋雨量，事实是不是总是如此呢？ 试组建数学模型来探讨雨中行走的测略，以尽量减少淋雨 量。,结论： 1、如果雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简 单，应该以最大的速度向前跑。 2、如果雨是从你

25、的背后落下，这时你应该控制你在雨中的 行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分速度。,冬天的纷飞大雪，使公路上积起厚雪而影响交通。有10公里长的公路，由一台除雪机负责清扫积雪。每当路面积雪平均厚度达到0.5米时，除雪机就开始工作。但问题是开始除雪后，大雪仍下个不停，使路上积雪越来越深，除雪机速度逐渐降低直到无法工作。,降雪的大小直接影响除雪机的工作速度，现已了解部分情况和数据：,（1）除雪机开始工作后，降雪又持续了一个小时。,（2）雪的厚度达到1.5米时，除雪机停止工作。,（3）除雪机在无雪路面上的行驶速度为10米/秒。,问大雪下一小时，除雪机能否完成10公里的除雪工作？,模型四：除雪机除雪问题,考虑下列降雪情形：（A）恒速0.1厘米/秒；,（B）恒速0.025厘米/秒,（C）前30分钟由零均匀增加到0.1厘米/秒，后30分钟又均匀减少到零。,练习：某航空公司为了发展新航线的航运业务，需要增加 5驾波音747客机。如果购进一架客机，需要一次性支付5000万 美元，客机的使用寿命为15年；如果租用一架客机，每年需要 支付600万美元，租金以均匀货币流的方式支付。若银行的年利 率为12，问购买客机还是租用客机合算？如果年利率为6 呢？,