5-1刚体运动第八次课.ppt

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1、1,第五章 刚体力学,2,如果在所研究的问题中，物体的体积和形状是无关紧要的，那么我们就可以把它看作为质点,在通常的情况下，物体是不能视为质点的，我们可以把它们看为连续体，但是连续体的运动却是相当的复杂。为了使问题简化，通常要引入一些理想的模型，如刚体、弹性体和理想流体等。,3,第五章 刚体力学,4,刚体（rigid body）在任何情况下,其大小和形状都不变化的物体。或者说物体上任意两点的相对位置保持不变。,5-1 刚体的运动,注意：,刚体是一种理想模型，是一种科学抽象，实际的刚体是不存在的； 2. 在问题的讨论中，如果物体的形变甚微，以至于对物体的运动影响不大，则该物体可视为刚体。,5,陀

2、螺仪作为一种惯性测量器件，是惯性导航、惯性制导和惯性测量系统的核心部件.,刚体力学所讨论的问题：宏观和微观刚体力学,6,1. 平动 在刚体运动过程中, 如果刚体上的任意一 条直线始终保持平行, 这种运动就称为平动。,一、平动和转动 (Translation and rotation),平动物体的特点：,1. 物体上各点具有相同的轨迹；,2. 物体上各点都具有相同的位移，因此各点具有相同的速度和加速度。,7,结论：,1. 刚体上任意一点的运动均代表整个刚体的运动；,2. 有关质点一切规律对于刚体的平动都满足,用质心代表整个刚体的运动。,2.转动 在刚体运动过程中, 如果刚体上所有的点都绕同一条直

3、线作圆周运动,那么这种运动就称为转动。这条直线称为转轴。,8,9,10,刚体的平面运动,刚体在运动过程中，各点的运动轨迹始终在一个平面内,11,在刚体转动中, 如果转轴固定不动, 称为定轴 转动。过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称 为转动平面。,二、刚体的定轴转动 (Fixed-axis rotation),1. 描述刚体转动的物理量,角位置和角位移,与转轴垂直的固定平面称为转动平面，可有无穷多个，取其中任意一个，该转动平面与转轴的交点取为O点，x 轴为参考线。,刚体上任意一点P的位置，由OP的长短和与x轴的夹角 来描述,:角位置,12,在dt 的时间内，P点运动到 点，其角位置为,：角位移

4、,角速度的方向由右手定则确定。,角速度 刚体在dt 时间内的角位移dq 与dt 之比。,13,14,刚体作定轴转动时，所有的点都具有相同的角 速度和角加速度, 在相同的时间内有相等的角位 移。但是位移、速度和加速度却不相等。,一般情况下, 角速度和角加速度是矢量, 但在定 轴转动中它们的方向沿着转轴 , 可以用带正负号 的标量来表示。,结论:,注意:,15,、 本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代替。在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：,三、匀变速转动公式（ = 衡量）,16,四、刚体运动学中角量和线量的关系,由定义得：,例1：设圆柱型电机转子由静止

5、经300 s后达到 18000 r/min，已知转子的角加速度a 与时间成正比，求转子在这段时间内转过的圈数。,解：因角加速度 随时间而增大，设： =ct,17,对上式两边积分,由条件知,所以,由角速度定义,得到：,转子转数：,18,例题2 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀 地减速，经t=50 s后静止。 （1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过 的转数N； （2）求制动开始后t=25s 时飞 轮的加速度 ； （3）设飞轮的半径r=1m，求在 t=25s 时边缘上一点的速 度和加速度。,角速度,解 （1）设初角度为0方向如图所示，,19,量值为0=21500/60=50

6、 rad/s，对于匀变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+at 得,角速度,从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数N 分别为,20,角速度,（2）t=25s 时飞轮的角速度为,21,（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。,的方向与0相同 ；,的方向垂直于 和 构成的平面，如图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为,角速度,由,22,边缘上该点的加速度 其中 的方向 与 的方向相反， 的方向指向轴心， 的大小 为,的方向几乎和 相同。,角速度,23,例题3 一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角加速

7、度。,解：飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4 将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为,角加速度是角速度对t的导数，因此得,由此可见飞轮作的是变加速转动。,角速度,24,设刚体绕固定轴Oz以角速度 转动,各体元的质量 分别为m1 , m2 , , mn ,各体元到转轴Oz的距 离依次是r1 , r2 , , rn，各体元的速度分别为v1 , v2 , , vn,n 个体元绕Oz轴作圆周运动的动能的总和为：,一、刚体的转动动能 (Rotational kinetic energy ),5-2 刚体动力学,单个质点的动能：,注意：ri,25,式中 称为刚体对转轴的转动惯量 。,代入

8、动能公式中, 得到刚体转动动能的一般表达式,刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似性的。,用J 表示：,26,二、刚体的转动惯量 (Moment of inertia ),刚体的转动惯量J与质点的质量 m 相对应 。在质点运动中, 质点的质量是质点惯性的量度 。在刚体转动中, 刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。,若刚体的质量连续分布 , 转动惯量中的求和号 用积分号代替,与转动惯量有关的因素：,刚体的质量大小和分布、转轴的位置、刚体的形状。,27,1. 转动惯量的计算,（1）均匀细棒（对中点和端点轴的转动惯量）,将棒的中点取为坐标原点, 建立坐标系Oxy,取y 轴 为转轴。在距离转轴为

9、x 处取棒元dx, 其质量为,28,x,y,o,将棒的端点取为坐标原点, 建立坐标系Oxy,取y 轴 为转轴。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为,29,（2）均匀圆环与圆盘对过质心的垂直轴的转动惯量,均匀圆环:,30,圆盘:,盘的质量面密度为,取半径为r、宽为 dr的圆环如图所示，其质量为,圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为,31,（3） 球体对通过球心的轴的转动惯量,球的质量面密度为,32,结论：,（1） 与质量有关； （2）与转轴有关； （3）与质量分布有关； （4）与形状有关,33,几种常见形状的刚体的转动惯量,34,35,2. 两个定理,证 明：,刚体上任意质量元 ，

10、对 轴的转动惯量为,整个刚体对OZ轴的转动惯量,36,37,根据质心坐标的表达式：,在C-xy坐标系中,38,证明：设薄板平面分布在xy平面内，则薄板对各轴的转动惯量为：,39,例 1：一根质量为m = 1.0 kg 、长为l = 1.0 m 的均匀细棒, 绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度 = 63 rads-1 旋转, 求转动动能。,解：先求细棒对转轴的 转动惯量J, 然后求转动动 能Ek。,将棒的中点取为坐标原 点, 建立坐标系Oxy,取y 轴 为转轴, 如图所示。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为,40,根据式(5-4), 应有,棒的转动动能为,41,解：两平行轴的距离 ,

11、 代入平行轴定理， 得,42,例 3：求质量为m、半径为R 的均质薄圆盘对通 过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。,解：盘的质量分布均匀, 盘的质量面密度为,取半径为r、宽为 dr的圆环如图所示，其质量为,圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为,43,根据垂直轴定理,由于对称性, , 所以,解得,44,三、转动定理 (Theorem of rotation),对刚体定轴转动起作用的力矩是力矩沿转轴的分量(Mz), 提供Mz的力只是力在xy 平面内的投影,在直角坐标系中：,45,根据牛顿第二定律,法向分量：,切向分量：,46,根据角量与线量关系：,对于整个刚体，则有：,两边同乘ri:,47,

12、或者写为,上式就是转动定理的数学表达式。,在定轴转动中,刚体相对于某转轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作用于刚体的外力相对同一转轴的合力矩。,48,转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似 的,合外力矩与合外力相对应 , 转动惯量与质量相 对应, 角加速度与加速度相对应。,在定理中，当M0则 0， 是恒量。这说明刚体受合外力矩为0时，若刚体最初静止，则保持其静止状态；如果最初匀速转动，则保持匀速转动状态第一转动定理,49,四、力矩作的功,在刚体转动中, 如果力矩的作用使刚体发生了角位 移, 那么该力矩也作了功 。,因为dsi = ri d, 并且cosi = sini , 所以,在刚体转动中,

13、 外力 所作的元功为,mi,50,式中Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩。,在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的 总功为,式中 是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力 矩的代数和, 也就是作用于刚体的外力对转轴的合外 力矩Mz 。,51,如果刚体在力矩Mz 的作用下绕固定轴从位置1转 到2 , 在此过程中力矩所作的功为,力矩的瞬时功率可以表示为,式中是刚体绕转轴的角速度。,52,五、动能定理 (theorem of kinetic energy ),积分：,定轴转动的刚体,外力矩作的功等于刚体转动动能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能定理。,53,5-1 刚体的运动,小 结,刚体:在任何情

14、况下,其大小和形状都不变化的物体。或者说物体上任意两点的相对位置保持不变。,平动 在刚体运动过程中, 如果刚体上的任意一条直线始终保持平行, 这种运动就称为平动,转动 在刚体运动过程中, 如果刚体上所有的点都绕同一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为转动。这条直线称为转轴,54,2. 刚体的转动惯量,与转动惯量有关的因素：刚体的质量大小和分布、转轴的位置、刚体的形状。,3. 平行轴定理,4. 垂直轴定理,5-2 刚体动力学,55,(1) 从开始制动到停止, 飞轮转过的角度；,(2) 闸瓦对飞轮施加的 摩擦力矩所作的功。,解：为了求得飞轮从制 动到停止所转过的角度 和摩擦力矩所作的功A, 必须先

15、求得摩擦力、摩擦力矩 和飞轮的角加速度。,例4：一个转动惯量为2.5 kgm2 、直径为60cm 的飞轮，正以130 rads1 的角速度旋转。现用闸瓦 将其制动, 如果闸瓦对飞轮的正压力为 500 N,闸瓦 与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：,56,闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大小等于摩擦系数与正压力的乘积,方向如图所示。摩擦力相对z 轴的力矩就是摩擦力矩, 所以,摩擦力矩的方向沿z轴的负方向, 故取负值。根据 转动定理 , 可以求得飞轮受到摩擦力矩作用时的角 加速度，为,57,(1) 对于匀变速转动, 从开始制动到停止, 飞轮转过 的角度 可由下式求得:,所以,(2) 摩擦力矩所作的功,58

16、,另外，还有另外一种求解方法。根据动能定理,59,例 5：质量为 m1 的物体置于完全光滑的水平桌面上 , 用一根不可伸长的细绳拉着 , 细绳跨过固定于桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为 m2 的物体 , 如图所示。已知滑轮是一个质量为 M ,半径为r 的圆盘, 轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与 m1 之间的绳子的张力 、滑轮与 m2 之间的绳子的张力 以及物体运动的加速度 。,M,60,解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。,解以上四个联立方程式, 可得,61,此题还可以用能量的方法求解。在物体m2下落 了高度h时, 可以列出下面的能量关系,（5）,62,式中v是当m2下落了高度

17、h 时两个物体的运动速率, 是此时滑轮的角速度。,因为 , , 所以得,由此解得,（6）,63,将 v 2 = 2 a h 代入 (6) 式, 可以求得两个物体的加速度,根据 , 立即可以求得张力T1,（6）,64,以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法, 都 应该理解和掌握。,如果忽略滑轮的质量，则有,65,解：（1）要求转动动能Ek，必须求出均匀细棒相对于通过过端点轴的转动惯量J,66,棒通过平衡位置时低端的线速度为v，则棒此时角速度为,此时棒的转动动能为,（2）假设棒处于平衡位置的重力势能为零，当它摆动到最到偏角时，质心位置升高了h，则,67,根据机械能守恒定律，当棒达到最大偏角时应有

18、,将J和h代入上式，可以得最大偏角：,（3）在从平衡位置达到最大偏角的过程中，棒受到由自身重力引起的力矩的作用，此力矩与棒的偏角有关，可表示为,68,棒的角加速度 就是由该力矩引起的。所以，根据转动定理有,解得棒的角加速度为,角加速度的方向与力矩的方向同向，他们都与角速度的方向相反。,69,例题7 一根长度为L、质量为m的均匀棒放置在水平桌面上，其一端固定，在外力矩作用下此棒可绕此固定点沿桌面转动。在某时刻将外力矩撤去，此时棒的角速度为 0 ，由于棒与桌面之间存在摩擦，经过一段时间棒停止运动。若棒与桌面之间的滑动系数为 ，试求从外力矩撤去到棒停止转动，棒转过的转数和摩擦力矩所作的功。,解：由于

19、摩擦力矩的作用，棒的转动状态不断改变，最后停止，因此，此题的关键是求摩擦力矩。求得摩擦力矩后，根据转动定理求角加速度，然后根据力矩作功求摩擦力矩所作的功。,70,（1）求摩擦力矩,摩擦力矩是由桌面对棒的摩擦力引起的。由于棒上各处到固定点的距离不同，产生的力矩不同。将棒分成若干棒元，棒元长度为dl, 质量为：,在距固定端l处的棒元所受桌面的摩擦力,此摩擦力对棒提供的力矩为,71,若取z轴垂直桌面向上，棒的角速度沿z轴向上，为正值，而摩擦力矩的方向必定沿轴的负方向，故取负值。则摩擦力矩为：,（2）求角加速度,根据转动定律,其中，棒相对一端的转动惯量,角加速度为负值，表示为减速转动,72,（3）求外力矩撤去后棒转过的转数,选求转过的总角度。根据匀变速定轴转动规律,将 代入上式：,转动的转数为：,（4）求摩擦力矩所作的功,73,另外，还有另外一种求解方法。根据动能定理,将转动惯量 代入上式即可,74,1. 转动定理,2. 力矩作的功,3. 动能定理,小 结,