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1、直线与圆的位置关系 切线长定理,上寨中学 申玉玲,问题1、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？,P ,P,P,问题2、经过圆外一点P，如何作已知O的 切线？,O,。,A,B,P,思考：假设切线PA已作出，A为切点，则OAP=90,连接OP，可知A在怎样的圆上?,在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长,O,P,A,B,切线与切线长的区别与联系：,（1）切线是一条与圆相切的直线；,（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。,若从O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。,PA
2、 = PB,OPA=OPB,证明：PA，PB与O相切，点A，B是切点 OAPA，OBPB 即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA=OPB,试用文字语言叙述你所发现的结论,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,切线长定理,几何语言:,反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提 供了新的方法,我们学过的切线，常有 五个 性质： 1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心
3、垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,六个,A,P,O,。,B,若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.,OP垂直平分AB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA = PB OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB,A,P,O,。,B,若延长PO交O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.,CA=CB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA = PB OPA=OPB PC=
4、PC PCA PCB AC=BC,C,例.PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。,B,A,P,O,C,E,D,（1）写出图中所有的垂直关系,OAPA，OB PB，AB OP,（3）写出图中所有的全等三角形,AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP,（4）写出图中所有的等腰三角形,ABP AOB,（5）若PA=4、PD=2，求半径OA,（2）写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,。,P,B,A,O,（3）连结圆心和圆外一点,（2）连结两切点,（1）分别连结圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形
5、。,反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。,1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,小 结：,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB ,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。,2.圆的外切四边形的两组对边的和相等,o,o,o,外切圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 外切圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。,三角形外接圆,三角形内切圆,内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离
6、。,A,A,B,B,C,C,分析题目已知：如图, ABC的内切圆O与BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB9厘米，BC 14厘米,CA 13厘米,求AF、BD、CE的长。,O,例.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B， 并与圆O的切线分别相交于C、D，已知 PA=7cm， (1)求PCD的周长 (2) 如果P=46, 求COD的度数,E,过O外一点作O的切线,O,P,A,B,O,例1 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.,解:,设AF=x(cm), BD=y(cm),CEz
7、(cm), AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm)., O与ABC的三边都相切,AFAE,BDBF,CECD, AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).,例.如图，ABC中,C =90 ,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F，且BD=12，AD=8， 求O的半径r.,明确,1.一个三角形有且只有一个内切圆；,2.一个圆有无数个外切三角形；,3.三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；,4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。,分析 试说明圆的外切四边形的两组 对边的和相等,选做题：如图，AB是O的直径， AD、DC、BC是切线，
8、点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.,时逢有时勤珍惜莫待无时空留撼,B,D,E,F,O,C,A,如图，ABC的内切圆的半径为r, ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，,则ODAB，OEBC，OFAC.,SABCSAOBSBOC SAOC, ABOD BCOE ACOF, lr,设ABC的三边为a、b、c，面积为S， 则ABC的内切圆的半径 r,结论,三角形的内切圆的有关计算,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BCa,ACb, ABc,O为RtABC的内切圆. 求：R
9、tABC的内切圆的半径 r.,设AD= x , BE= y ,CE r, O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,结论,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BC3,AC4, O为RtABC的内切圆. （1）求RtABC的内切圆的半径 . （2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围。,设AD= x , BE= y ,CE r, O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：（1）设RtABC的内切圆与
10、三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,解得,r1,在RtABC中，BC3,AC4, AB5,由已知可得四边形ODCE为正方形，CDCEOD, RtABC的内切圆的半径为1。,（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。,A,B,O,D,C,OBBC3,半径r的取值范围为0r3,点评,几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。,基础题：,1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 则此三角形的周长是_. 3.O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切O 于P点，交AB、BC于E、F，则BEF的周长是_.,E,F,H,G,正方形,22cm,2cm,4.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的 直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方 法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴 墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说 明她这样做的道理.,同学们要好好学习老师期盼你们快快进步！,