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1、第20讲,定积分的应用 2,2 极坐标系中平面图形的面积,定理2 曲边扇形区域,例4 阿基米德螺线,一、 变力沿直线所作的功,二、 液体的侧压力,三、 引力问题,定积分在物理学上的应用,一、 变力沿直线所作的功,设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到x=b , 力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在其上所作的功元素为:,变力F(x) 在区间a , b上所作的功为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,体,求移动过程中气体压力所,解:,由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从,点 a 处移动到点 b 处 (如图),
2、作的功 .,建立坐标系如图.,由波义耳马略特定律知压强,p 与体积 V 成反比 , 即,功元素为,故作用在活塞上的,所求功为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,力为,在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气,例2.,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?,解: 建立坐标系如图.,在任一小区间,上的一薄层水的重力为,这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为,故所求功为,( KJ ),设水的密度为,(KN),一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,面积为 A 的平板,二、液体侧压力,设液体密度为 ,深为 h 处的压强:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积
3、分解决 .,平板一侧所受的压力为,例7 弹簧拉长s，计算拉力作的功,弹簧一端固定,另一端未变形位置为原点建坐标系,Hook定律：弹性限度内拉力与伸长长度成正比,取微元x,x+dx,0,s,微元上拉力作功： dW=kxdx,例9 高为2m的等腰三角形闸门,底边长3m,平行于水面,且距水面4m求这闸门所受的压力,x轴过等腰三角形的高, y轴于水面,建坐标系,取微元x,x+dx,4,6,dF=p2ydx=2xydx,一象限腰的直线方程,y=0.75(6-x),例10 矩形薄板长2m,宽1m,成30角斜沉水下,长边平行于水面深1m处,求薄板每面所的压力,x轴向下,y轴于水面建坐标系,上长边x坐标为1，
4、,y坐标为 1+sin30=1.5,取微元x，x+dx,1，1.5,dF=p2dx=2xdx,5.4.5 定积分在医学上的应用,例11 禁食，降糖，注射糖，测量血中胰岛素浓度,其中k=ln2/20, t- 分钟，求一小时内胰岛素之平均浓度,求血管中血流速度与截面血液层半径的关系,设血管长度为a,血管半径为R,相对动脉,静脉端血压为P1 , P2, P1 P2,血液粘滞性影响,距横截面中心不同半径r处的血液层流速v(r)不同,半径为r的一块面积上的血液柱流动的推力F1等于血管两端压力差： F1=r2(P1- P2)，,泊萧叶公式(Poiseuille),血液粘滞性影响,距横截面中心不同半径r处的
5、血液层流速v(r)不同,半径为r的一块面积上的血液柱流动的推力F1等于血管两端压力差： F1=r2(P1- P2)，,受血液层流速不等产生摩擦力F2,正比于血液柱的侧面积,又正比于相邻血液层间相对流速的变化率,F1=- F2,r=R时,v=0,例13 求单位时间内流过该横截面的血流量Q,解 取微元r,r+dr ,半径为r,r+dr之微元面积为,单位时间内流过圆环微元的血流量,内容小结,(1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ,一般微元的几何形状有:,扇、片、壳 等.,(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之.,1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:,2.定积分的物理应用:,变力作功 ,侧压力 ,引力,转动惯量等.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,条、段、环、带、,