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1、概率是随机事件发生可能性大小的度量,事件发生的可能性 越大, 概率就 越大!,研究随机现象,不仅关心试验中会出现哪些事件,更重要的是想知道事件出现的可能性大小,也就是事件的概率.,4.1.2 随机事件的概率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,事件发生的可能性 最大是百分之百, 此时 概率为1.,0P(A)1,我们用P(A)表示事件A发生的概率,则,事件发生的可能性 最小是零, 此时 概率为0.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义4.1 事件A在n次重复试验中出现k次, 则比值k/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率, 记为fn(A). 即,1.频率,机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义4.2: 当试验次数n增大时, fn(A) 逐渐趋向一个稳定值. 可将此稳定值记作P(A), 作为事件A的概率.,2. 概率的统计定义,历史上曾有人做过试验, 试图证明抛掷匀质硬币时, 出现正反面的机会均等. 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若某实验E满足 (1) 有限性: 样本空间有有限多个基本事件
3、(2) 等可能性:每个基本事件的出现是等可 能的 则称它为古典概型, 也叫等可能概型.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.概率的古典定义,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如, 一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为110. 把球搅匀, 蒙上眼睛, 从中任取一球. 10个球中的任一个被取出的机会是相等的, 均为1/10.,古典概型中事件的概率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记 A=摸到2号球 P(A)=?,P(A)=1/10,记 B=摸到红球 P(B)=?,P(B)=6/10,2,这里实际上是从“比例” 转化为“概率”
4、,称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义4.3 若古典概型E样本空间 中含有n个基本事件，事件A包含m个基本事件，则称 为基本事件A发生的概率，记作P(A)，即,例7 社会福利奖券一期共发行10000张，其中有1张特等奖，2张一等奖,10张二等奖，100张三等奖，其余不得奖.问购买一张奖券中奖的概率是多少？,解：n=10000，,设A=抽到任何一张中奖券，,m=1+2+10+100=113，则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8 6个人排成一排，求某 2 人排在一起的概率.,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练一练,从一
5、副扑克牌的52张中任意抽出2张，求都是黑桃的概率。,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.概率的性质,（1） 非负性,（2）规范性,（3）互补性,事件互斥时的加法公式,事件相容时的加法公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（4） 可加性,三个事件和的概率为,P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC) -P(AC) + P(ABC),机动 目录 上页 下页 返回 结束,推广1：有限可加性,设A1, A2, ,An 是两两互不相容的n个事件, 即AiAj, (ij), 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推广2：可列可加性,设A1, A2, , 是一列两
6、两互不相容的事件, 即AiAj, (ij), i, j1, 2, , 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 将一颗骰子抛掷4次, 问至少出一次“6”点的概率是多少?,令事件A=至少出一次“6”点,A发生,出1次“6”点,出2次“6”点,出3次“6”点,出4次“6”点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直接计算A的概率较麻烦!,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,=4次抛掷中都未出“6”点,的概率.,我们先来计算A的对立事件,例：在抛掷骰子的试验中，求出现的点数为奇数或大于3的概率。,解,设A=出现的点数为奇数， B=出现的点数大于3,则,A+B=出现的点数为奇数或大于3,机动 目
7、录 上页 下页 返回 结束,而,A发生,恰好出现1,3,5,B发生,恰好出现4,5,6,A，B同时发生,恰好出现5,由加法公式,练习1. 某市有甲、乙、丙三种报纸, 订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%, 其中有10%的人同时定甲、乙两种报纸. 没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人, 他至少订有一种报纸的概率.,解 设A、B、C分别表示选到的人订了甲、 乙、丙报,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习2. 甲、乙两人在同样的条件下进行射击，击中目标的概率分别为0.9和0.8，两人同时击中的概率为0.72.求至少一人击中目标的概率和两人都未击中目标的概率.,解 设 A、B分别表示
8、甲、乙击中目标，,从而,例：根据统计数据，某厂产品的次品率为0.01，在某月生产的100件产品中任取4件进行检验，发现有一件次品。问这段时间的生产是否正常？,解,设A=恰有1件次品,这个概率很小,称为小概率事件。,小概率原理：小概率事件在一次试验中几乎不可能发生,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.几何概型中概率的定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设样本空间 是有界区域, 它的体积记为 （一维体积是长度，二维体积是面积，三维体积是普通体积），向 均匀投掷一随机点，并满足以下要求：,（1）随机点等可能的落入 内任何位置，不会落到区域外； （2）随机点落入 的任何区域的可能性与该区域的体积成比例, 而与这部分区域的位置和形状无关.,若 的m维体积为 ，事件A的m维体积为 ，则称,几何概率,为A的几何概率。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 设x、y分别表示甲乙两人的到达时刻, 则,t,T,t,T,y,x,A,例 (约会问题)甲乙两人约定于0T时间内在某地会面, 先到的等t 时间后离去,. 假定每个人在指定的时间内的任一时刻到达是等可能的, 求这两人能会面的概率.,x-y=t,y-x=t,两人会面的条件是,作业：,第7,8题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,