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1、染色法和构造法在棋盘上的应用,广东北江中学 方奇,1 基本概念 2 棋盘的覆盖 (1) 同形覆盖 (2) 异形覆盖 (3) 小结 3 马的遍历 (1) 马的哈密尔顿链 (2) 马的哈密尔顿圈 4 其它问题 (1) Worm world 5 结语,目录,构造法 直接列举出某种满足条件的数学对象或反例导致结论的肯定与否定，或间接构 造某种对应关系，使问题根据需要进行转化的方法，称之为构造法 。,染色法 用不同颜色对棋盘格子进行染色，起到分类的效果。 类似国际象棋盘上的黑白二染色，称为“自然染色”。,棋盘 所谓m*n棋盘，指由m行n列方格构成的m*n矩形。每个方格成为棋盘的格，位于 第i行j列的格记
2、为a(i,j)。当i+j为奇（偶）数时，称a(i,j)为奇（偶）格。,1 基本概念,2 棋盘的覆盖,棋盘的覆盖 指用若干图形去覆盖棋盘。覆盖的每个图形也由若干格子组成，称为覆盖形。约定任两个覆盖形互不重叠，任一覆盖形中任一格总与棋盘上某格重合。 按覆盖效果，可分为完全覆盖、饱和覆盖、无缝覆盖和互异覆盖。 完全覆盖：各个覆盖形的总格子数等于棋盘的总格子数 按覆盖形，可分为同形覆盖（只有一种覆盖形）和异形覆盖（有多种覆盖形）。,2-1 同形覆盖,例1 给出m,n,k，试用若干1*k的矩形覆盖m*n的棋盘。,分析 有定理1：m*n棋盘存在1*k矩形的完全覆盖的充分必要 条件是k|m或k|n。 证明：
3、 充分性是显然的。用构造法。当k|n时，每一行用n/k个 1*k的矩形恰好完全覆盖。k|m情况类似。 必要性。当n,m均不能被k整除时，设 m=m1*k+r,0=s (否则旋转90),2-1 同形覆盖,m=m1*k+r n=n1*k+s r=s,2-1 同形覆盖,由上面的定理1，可彻底解决m*n棋盘的p*q矩形完全覆盖问题 定理2 m*n棋盘存在p*q矩形的完全覆盖充分必要条件是m,n满足下列条件之一： （i） p|x且q|y （ii） p|x,q|x,且存在自然数a,b，使y=ap+bq 其中x,y=m,n,2-2 异形覆盖,例2 设有m*n的棋盘，当m*n为奇数时，尝试删去一个格子，剩下部
4、分用若干1*2的矩形覆盖；当m*n为偶数时，尝试删去两个格子，剩下部分用若干1*2的矩形覆盖。,分析： 1 先来考虑m*n为奇数的情况 一方面，将棋盘自然染色。无论怎么放，一个1*2的矩形必盖住一个黑格和一个白格，而棋盘上的黑格比白格多1，于是只能去掉一个黑格(即偶格) 。,2-2 异形覆盖,另一方面，设去掉偶格为a(i,j)，用构造法必能得到可行解,i与j同为奇数,i与j同为偶数,2-2 异形覆盖, 再考虑m*n为偶数的情况 类似地，由自然染色法得知，去掉的两格必定异色，即一个奇格，一个偶格（不然两种格子总数不等） 另一方面，用构造法，总可以用一些粗线将棋盘隔成宽为1的长条路线，使从任一格出
5、发可以不重复地走遍棋盘并回到出发点。,2-2 异形覆盖,针对染色法，上面的例子都是利用“各类颜色格子总数必须相等”这一条件推出矛盾，但有些时候，只考虑这个条件是不够充分的。,例3 8*8棋盘剪去哪个方格才能用21个1*3的矩形覆盖？,分析 考虑到对称性， 只有剪去a(3,3)、a(3,6)、 a(6,3)、a(6,6)中的某一个 才能满足题意。,蓝色：21个 白色：22个 黑色：21个,覆盖类问题其实是一个难度较大的课题，这里只讨论了一些简单的情况，以说明染色法与构造法的应用 需要补充的是，染色法的种类形形色色、五花八门。考虑到可推广性和易操作性，本文只着重研究了“间隔染色法”（即自然染色法的
6、推广）,2-3 小结,3 马的遍历,马行走规则 从2*3的矩形一个角按对角线跳到另一个角上 马的遍历 从一个格出发按跳马规则不重复地走遍所有格 棋盘中马的遍历问题分两类 (1) 马的哈密尔顿链 (2) 马的哈密尔顿圈,3-2 马的哈氏链,通常有三种方法 贪心法每一步跳向度最小的点 （度数指可一步到达且未经过的点的个数） 分治法将棋盘分成几个小棋盘，分别找哈氏链，再接起来 镶边法先在一个小棋盘中找到哈氏链，然后在棋盘四周镶边，已产生大棋盘的哈氏链。 按上述方法不难得到下面结论： n*n棋盘存在哈氏链的充要条件是n3。,3-2 马的哈氏圈,例4 求n*n棋盘的哈氏圈,分析 ： 将棋盘自然染色，考察
7、无解情况。 马无论怎么走，都必须按黑格白格黑格白格如此循环。由于要回到起点（起点与终点同色），途经两种颜色的格子数必相等，可知n为奇数时无解。 因为大小限制，n6时也无解,3-2 马的哈氏圈,当n=6且为偶数时，用镶边法构造 n*n的大矩形是由(n-4)*(n-4)的小矩形套上一个宽为2的环组成的。而宽为2的环有一个特点，就是可用四条回路A、B、C、D刚好覆盖 假设(n-4)*(n-4)的棋盘已找到哈氏圈 那么只要设法将A、B、C、D四条回路嵌入其中，则n*n的矩形的哈式圈就构造出来了,3-2 马的哈氏圈,1） n除以4余2时， 在内矩形四个角（A、E、I、M）上分别开口。,1 将C与D所在的
8、外回路与“内矩形”的回路在A、B上对接，变成A-C-D-B 2 将G与H所在的外回路与“内矩形”的回路在E、F上对接，变成E-G-H-F 3 将K与L所在的外回路与“内矩形”的回路在I、J上对接，变成I-K-L-J 4 将O与P所在的外回路与“内矩形”的回路在M、N上对接，变成M-O-P-N,3-2 马的哈氏圈,2） n除以4余0时 在内矩形四个角（A、E、I、M）上分别开口。,1 将C与D所在的外回路与“内矩形”的回路在A、B上对接，变成A-C-D-B 2 将G与H所在的外回路与“内矩形”的回路在E、F上对接，变成E-G-H-F 3 将K与L所在的外回路与“内矩形”的回路在I、J上对接，变成
9、I-K-L-J 4 将O与P所在的外回路与“内矩形”的回路在M、N上对接，变成M-O-P-N,3-2 马的哈氏圈,一个猜想： m*n（m=n）棋盘不存在哈氏圈的充要条件是： m,n满足下列条件之一 （1） m,n都是奇数 （2） m=1,2或4 （3） m=3且n=4,6,8 还没有证明, 其它应用,例5 蠕虫世界 （Uva） 蠕虫在一张N*N的网上爬行。每个网格上有一个数字，蠕虫不能经过相同的数字两次。开始的时候，蠕虫任意选择一个格子作为起始点。它爬行只能沿水平或竖直方向，且不能超出网外。蠕虫如何移动才能到达尽可能多的网格呢？右面是一个样例。, 其它应用, 分析： 采用“染色法”贪心出一个上
10、界。 1 自然染色 2 设Tfree,Tblack,Twhite分别记录三类格子数量 对每一种数字（1，2，3）分析 1）只存在标有该数字的白色格子，TwhiteTwhite+1 2）只存在标有该数字的黑色格子，TblackTblack+1 3）存在标有该数字的黑白两色格子，TfreeTfree+1 3 估价上界 Lmax= (Twhite+Tfree)*2+1 (Twhite+TfreeTblack) Twhite+Tfree+Tblack (Twhite+TfreeTblack) (假设Twhite=Tblack,否则交换即可),5 结语,存在性问题,染色法,可行性问题,构造法,在以棋盘为模型的问题中，综合运用这两种方法，双管齐下，往往能收到事半功倍的效果！,谢谢！,