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1、第一章 极限和连续,（一） 数列的极限,1. 数列,单调数列：,有界数列：,1.1 极限,2. 数列的极限,如果当n 无限增大时, xn 无限地接近于常数 a , 那末称 a 为数列xn的极限。,表示 n 很大时， xn 几乎都凝聚在点 a 的近旁。,数列极限的几何解释,有极限的数列称为收敛数列，反之称为发散数列。,定理2（有界性）收敛数列必有界,(二) 收敛数列的性质,定理1（唯一性）若数列xn收敛，则其极限值唯一。,极限存在准则,准则1.单调有界数列必有极限。,有界是数列收敛的必要条件， 单调有界是数列收敛的充分条件。,极限运算法则,（三） 函数的极限,1. 当 x 时函数的极限,(1)定
2、义 对于函数 f (x)，如果当 x 时， f (x) 无限趋近于常数A，则称A为函数 f (x) 当 x 时的极限，记为：,(3)定义 对于函数 f (x)，如果当 x- 时， f (x) 无限趋近于常数A，则称A为函数 f (x) 当 x -时的极限，记为：,(2)定义 对于函数 f (x)，如果当 x+ 时， f (x) 无限趋近于常数A，则称A为函数 f (x) 当 x +时的极限，记为：,无极限举例：,2. 当 x x0 时函数的极限,(1)定义 对于函数 f (x)，如果当 x 无限地趋近于 x0 时，函数 f (x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数 f (x)当 x x0时的
3、极限，记为：,(3)定义 对于函数 f (x)，如果当 x 从x0右边无限地趋近于 x0 时，函数 f (x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数 f (x)当 x x0时的右极限，记为：,(2)定义 对于函数 f (x)，如果当 x 从x0左边无限地趋近于 x0 时，函数 f (x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数 f (x)当 x x0时的左极限，记为：,=1?,无极限举例：,在讨论分段函数的分割点的极限时， 一定要考虑左、右极限。,(四) 函数极限的性质,极限运算法则,“0”是作为无穷小的唯一的常数。,(五) 无穷小(量)和(无穷大量),1. 无穷小(量),定义：极限为零的数列和函数
4、称为无穷小。,定义：绝对值无限增大的数列或函数称为无穷大。,2. 无穷大,3. 无穷小与无穷大的关系,定理2. 设 为无穷小，u 有界，则 u 也是无穷小。,推论1. 常数乘以无穷小仍是无穷小。,推论2. 无穷小乘以无穷小仍是无穷小。,推论. 有限个无穷小的代数和仍为无穷小。,有限个无穷小的乘积仍是无穷小。,定理1. 设 和 为无穷小，则 也是无穷小,4. 无穷小(量)的基本性质,1. 两个重要极限,(六) 两个重要极限,两个无穷小的商实际反映了在变化过程中趋于零的速度快慢程度。为此引入定义,两个无穷小的代数和、积仍为无穷小，那么两个无穷小的商会是什么呢？,2. 无穷小的比较,3. 无穷小的主
5、部,. 等价无穷小的代换定理,当 x 0 时，常见的等价无穷小, 1.2 函数的连续性,连续的三个要素：,(一) 函数连续的概念,定义1 设函数 f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定义, 如果当自变量增量 x 趋于零时，对应的函数增量 y = f ( x0+ x)f ( x0 )也趋于零，那末称函数 f (x) 在 x0 处连续。,f (x) 在 x0 点处有定义、有极限、极限值等于函数值。,1. 函数在点 x0 处连续,定理1. 函数 f (x) 在点 x0 处连续的充要条件是： 函数 f (x) 在点 x0 处既左连续又右连续。,左、右连续,如果 f (x) 在 (a,b) 内任意一点
6、连续，则称 f (x) 在(a,b) 上连续，或称 f (x) 为 (a,b) 上的连续函数。如果 f (x) 在 (a,b) 上连续，且在 x=a 处右连续，在 x=b 处左连续，则称 f (x) 在 a,b 上连续。,2. 函数在区间a,b 上连续,3. 函数的间断点,间断点的常见类型,如果函数 f (x) 在 x0 处不 连续(即连续的三个要素中有一个不满足)，那末称 f (x) 在 x0 处间断。,无穷间断点,震荡间断点,左、右极限均存在的间断点,称为第一类间断点，其余的间断点,称为第二类间断点。,跳跃间断点,可去间断点,(二) 函数在一点处连续的性质,定理4. 如果函数 y = f (x) 在某个区间上严格单调增(或降) 且连续，那末它的反函数 x = (y) 在对应的区间上也严格单调增(或降) 且连续。,推论：闭区间上的连续函数是有界函数。,定理5. (最大值、最小值定理),(三) 闭区间上连续函数的性质,结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。,闭区间上连续的函数至少取得最大值，最小值各一次。,定理 6. (介值定理),推论 (零值定理) 如果 f (x) 在 a,b 上连续，且 f (a)f (b)0, 那末在开区间 (a,b) 内至少存在一点 ， 使得 f() = 0 (a b)。,闭区间上连续的函数可取得介于最值之间的任意值。,