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1、解着别扭的数学题,屠新民 中学特级教师,2011年高考辅导讲座技巧部分,1.用双曲线的第一定义求轨迹方程,【例1】,已知 是三角形 的两个顶点，且 ，求顶点 的轨迹方程.,分析：将整角的正弦转化成边，再用定义处理,解,从上可知：点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的左支且除去顶点,所以：顶点 的轨迹方程是,本题回顾：上述求解采用了化角为边，将问题转化为满足条件的方程，但不在轨迹上点应除去，该题所求的是双曲线的一支。,例2,已知三点 ,椭圆过 两点且以 为其中一个焦点，求此椭圆的另一个焦点的轨迹方程.,分析：联想椭圆的第一定义.,解：,设另一个焦点为 ，则根据椭圆的定义，有,即：动点 的轨迹是以 为焦
2、点的双曲线的左支,可知：,故所轨迹方程为,本题回顾：对条件加以分析，利用椭圆定义与双曲线定义的转换，就能把问题划归到双曲线定义上.,例3,设 ， 为直角坐标系中 轴正方向上的单位 向量,且 ,求点 的轨迹方程.,解：由条件可知,所以：点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的上支。,故点 的轨迹方程是:,本题回顾： 向量与圆锥曲线问题结合，是现在高考中的热点，需要用坐标把向量表示出来，理清向量所表示的意义，和圆锥曲线的联系，进而求解.,例4,2.平面向量的解题技巧,3.函数背景下的不等式问题,答案 B,例10,解析,答案 A,例11,解析,例12,解析,4.数列的求解问题,例13,例14,例14,5.排
3、列组合的求解问题,1.合理分类和准确分步,解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏；按事情的发生的连续过程分步，做到分步层次清楚.,(1).总的原则合理分类和准确分步,解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.,解法1 分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：,根据分步及分类计数原理，不同的站法共有,例15. 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？,1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有 种方法.,若甲在第2、3、6、
4、7位，则排尾的排法有 种，1位的排法有 种, 第2、3、6、7位的排法有 种，根据分步计数原理，不同的站法有 种.,再安排老师，有2种方法。,(2)把握分类计数原理、分步计数原理是基础 例16. 如图，某电子器件是由三个电 阻组成的回路,其中有6个焊接 点A，B，C，D，E，F，如果某 个焊接点脱落，整个电路就会不通.现发现电 路不通了, 那么焊接点脱落的可能性共有（ ） A.63种 B.64种 C.6种 D.36种,分析:由分类计数原理可知,由分步计数原理可知：222222-1=63.,2.住店法,解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：,一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元
5、素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。,例17. 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（ ）,A. B. C D.,分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得 种。,注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？,用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。,A,3.排列组合混合问题先选后排策略,例18.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.,解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共 有_种方法.再把5个元
6、素(包含一个复合 元素)装入4个不同的盒内有_种方法.,根据分步计数原理装球的方法共有_,解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似 吗?,回目录,例19.3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?,4.先选后排问题的处理方法,解法一：先组队后分校（先分堆后分配）,回目录,解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.,回目录,例20. 某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的
7、不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜_种.,7,【解题回顾】由于化为一元二次不等式n2-n-400求解较繁，考虑到n为正整数，故解有关排列、组合的不等式时，常用估算法.,6.不等式的求解问题,例21.函数f(x)= 若f(a)=1,则实数a的 所有可能值组成的集合为 （ ） A.1 B.1,- C.- D.1, 解析 因为当-1a0时，sina2=1, 当a0时，ea-1=1,所以a-1=0，即a=1. 综上可知,实数a的所有可能值组成的集合为1， ,B,例22.已知集合A=x|(m+2)x2+2mx+10,B= xR，则使 成立的实数m的取值范围是（ ） A.-2，2） B.（-2，2 C
8、.-2，2 D.-2，-1)（-1，2） 解析 因为B= xR=y|y0, 令f(x)=(m+2)x2+2mx+1,又f(0)=1, 所以函数f(x)的图象恒过定点（0,1）,要使 , 则必满足 解之得-2m-1或-1m2或m=-2, 所以m的取值范围是-2m2.,A,例23 已知函数f(x)=ex-e-x. (1)证明:函数f(x)的导数f (x)2; (2)若对所有x0都有f(x)ax,求实数a的取值范围. (1)证明 因为函数f(x)的导数f (x)=ex+e-x, 又ex+e-x (当且仅当x=0时,等号成 立)，所以f (x)2. (2)解 令g(x)=f(x)-ax, 则g (x)
9、=f (x)-a=ex+e-x-a;,1.由运算引起的分类讨论,若a2,当x0时，g(x)=ex+e-x-a2-a0,所 以函数g(x)在区间(0,+)上为增函数，则x0时， g(x)g(0)=0，即f(x)ax. 若a2,方程g(x)=0的一个正根为 此时，若x(0,x1),则g(x)0, 故函数g(x)在区间（0，x1）上为减函数， 所以x(0,x1)时,g(x)g(0)=0, 即f(x)ax,与题设f(x)ax相矛盾. 综上可知，满足条件的实数a的取值范围是（-,2.,2. 由定理、公式等引起的分类 【例24】 设等比数列an的公比为q,前n项和Sn0 (n=1,2,). （1）求q的取
10、值范围； （2）设bn=an+2- an+1，记bn的前n项和为Tn， 试比较Sn与Tn的大小. 解 (1)因为an是等比数列，Sn0, 可得a1=S10,q0, 当q=1时，Sn=na10;,上式等价于 或 解式得q1； 解式，由于n可为奇数，可为偶数， 故-1q1,q0. 综上，q的取值范围是(-1，0)(0，+).,又因为Sn0,且-10,所以当-12时， Tn-Sn0,即TnSn；当 q2且q0时，Tn-Sn0, 即TnSn;当q= 或q=2时，Tn-Sn=0，即Tn=Sn.,【探究拓展】等差、等比数列的通项、前n项的和是 数列的基础，那么在研究一个数列的通项时，对n=1 与n2要分别
11、予以研究，而涉及等比数列或用错位 相减法求解时，要对公比q是否为1进行分类讨论.,3、经典考题赏析 【考题再现】 已知函数f(x)=x2eax,其中a0,e为自然对数的底数. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)在区间0,1上的最大值. 【解题示范】 解(1)f(x)=x(ax+2)eax. 2分 当a=0时，令f (x)=0，得x=0; 若x0,则f(x)0,从而f(x)在(0,+)上单调递增； 若x0,则f(x)0,从而f(x)在(-,0)上单调递减. 4分,当a0时,令f(x)=0， 得x(ax+2)=0,故x=0或x= . 5分 若x0，则f(x)0， 从而f(x)在
12、（-,0)上单调递减. 6分 7分 8分,(2)当a=0时， f(x)在区间0,1上的最大值是f(1)=1. 9分 当-2a0时，f(x)在区间0,1上的最大值是 f(1)= ea. 10分 当a-2时，f(x)在区间0,1上的最大值是 11分 综上所述，当a=0时，f(x)max=1; 当-2a0时，f(x)max= ea 当a-2时,f(x)max= 12分,7.排列组合应用题的求解问题,（1）注意区别“恰好”与“至少”,例25 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480种（B）240种 （C）180种 （D）120种,小结：“恰好有一个”
13、是“只有一个”的意思。“至少有一个”则是“有一个或一个以上”，可用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面，故可用“排除法”。,解：,例26：空间十个点A1，A2，A3，A10，其中A1，A2 A5在同一平面内，此外再无三点共线四点共面，以这些点 为顶点，一共可以构成几个四面体？,A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,【图示】,解：因为四面体需四个顶点组成 所以在十个点中取四个点共 有 种方法.但四个点 在同一平面上不能组成四面 体，所以排除同一平面上五 个点取四个点的情况共有 种方法，一共可构成 个四面体.,小结：在排列或组合问题中“含”与“不含”的问题，经常先 把所
14、有元素进行排列或组合，然后再去掉含有不能含的元 素的取法数，这种方法叫排除法.,例27：圆周上有n个点（n6），用线段将它们彼此相连，这 些线段中任意三条在圆内没有公共点，问这些线段构成多 少个顶点在圆内的三角形？,A1,B2,B1,C2,C1,A2,所以，上述问题转化为在圆周上取6个点就能组成一圆内三角形，从圆周上n个点中选6个点的组合数 就是圆内三角形的个数.,解：圆内三角形ABC，AB，在A1B2 上，ABC在A1B2的一侧，则BC 所在的B1C2 ，AC所在的A2C1都被 A1B2一截为二，即在A1B2的两侧 各有两点A2，B1，和C1，C2 ，同 理，在A2C1，B1C2 的两侧也各
15、有 两点，因此每一个圆内的一个三 角形决定圆周上的6个点，反之， 如在圆周上任取6个点，也可用上述方法找出三对点，每 对点之间连线段，这三线段相交成一个圆内三角形.,例28：有一群孩子外出旅行，回来时准备包车回家，包车费 20元，他们把每个人的钱凑合起来，其中有23人，每人有 05元硬币一枚，另外10人，每人有1元硬币一枚，问有多 不同的凑合方法？,解：把所有人的硬币都凑合起来共有2305+101=215 元，所以多15元，这样问题可转化为取多余钱的方法数 即取3个05的硬币或取1个05硬币和1个1元硬币的方法 数，则有 种取法.,小结：对于某些问题如果直接去考虑，就会比较复杂，若 能转化为与
16、其等价的问题，就变得简单，容易解决，这种 方法叫转化法.,8.二项式定理的求解问题,例29、已知 的展开式中，第3项的系数与第5项的系数之比是1：4，且第4项等于1600，求x的值.,解：由于,依题意有,例30、已知 的展开式中的系数和比 的展开式中的二项式系数和大240，求 的展 开式中的第3项.,解：依题意有,于是 的展开式中的第3项是,例31、已知 的展开式中有连续三项的系数之比为1：2：3，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x的值,解：设连续三项是第k、k+1、 k+2项，则,即,所求连续三项为第5、6、7三项 。,又由已知 ，,例32已知 中， 但 .若展开式中的最大系
17、数项是常数项，求 的取值范围.,解：,依题意有, 代入上式得,即展开式中第五项为常数项.,由于第五项系数最大，则,9.概率的求解问题,推理题,例33、 从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四 只，则能凑成两双的概率为.,总的基本事件数：,有利事件数：,解,设“能凑成两双鞋”为事件A,所以，所求概率为,排除法,例34.投掷两颗骰子,则两颗骰子的点数之和在4和10之间的概率（含4和10）是.,解 设“两颗骰子的点数之和在4和10”为事件A,总的基本事件数为,所包含的样本点为,所以,公式法,例35.考察甲，乙两个城市6月逐日降雨情况。已知甲城出现雨天的概率是0.3, 乙城出现雨天的概率是0.4, 甲乙
18、两城至少有一个出现雨天的概率为0.52, 则甲乙两城同一天出现雨天的概率是.,解 设A表示“甲城下雨”，B表示“乙城下雨”,则,所以,综合题,例36.把6个小球随机地投入6个盒内(球,盒 可识别),则前三个盒当中有空盒的概率是.,解 设 表示第 个盒空着,则所求概率为,10.概率统计解答题的求解问题,例37、甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92. （1）求该题被乙独立解出的概率； （2）求解出该题的人数的分布列及数学期望和方差.,典例剖析,分析:记甲、乙分别解出该题的事件为A、B，其概率分别为P(A)=0.6和P(B)=x;,得 x=0.
19、8.,（2）、求解出该题的人数的分布列为：,0.08,0.44,0.48,例38.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量 表示所选3人中女生的人数. （1）求 的分布列；（2）求 的数学期望； （3）求“所选3人中女生人数 ”的概率.,(1)解:可能取的值为0, 1, 2 .,所以, 的分布列为,(2)解: 由(1), 的数学期望为,(3)解: 由(1), “所选3人中女生人数 ”的概率为,11.分类（步）计数原理的求解方法,例39、若直线 中的a, b, c是取自集合 中的三个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，则这样的直线有多少条？,解：该直线的倾斜角为锐角， 该直线的斜率大于0, 即a与b异号. 若一个直线方程中含x 的项的系数不为0, 那么其系数可化为正数，不妨设 a0, b0, b0 知 a, b 均有3种取法， 由于c与a, b均为不同元素，c有5种取法，但其中的 表示同一条直线. 符合条件的直线共有 条.,例40、 用红、黄、蓝3种颜色给下图中 五个区域涂色，要求相邻两个区域的颜色不同，则不同的涂法有种.,解：涂色可分5步进行： 第一步：涂区域，有3种选择；,第二步：涂区域 ，有2种选择；,第三步：涂区域 ，有1种选择；,第四步：涂区域 ，有1种选择；,第五步：涂区域 ，有2种选择；,由分步计数原理得，涂法数为 3 2 1 1 2 = 12,