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1、实验3 缉私艇追击走私船,3.1 实验目的 (1)学会用MATLAB软件求解微分方程的初值问题; (2)了解微分方程数值解的思想,掌握微分方程数值解的方法; (3)学会根据实际问题建立简单微分方程数学模型,提高解决问题能力; (4)了解简单的计算机仿真和数据模拟的基本方法.,3.2 实验问题 海上边防缉私艇发现距c公里处有一走私船正以匀速a沿直线行驶,缉私艇 立即以最大速度b追赶,在雷达的引导下，缉私艇的方向始终指向走私船。问 缉私艇何时追赶上走私船?并求出缉私艇追赶的路线。,x,y,c,o,2.3 建立模型,x,c,o,y,走私船初始位置在点(0,0)，,行驶方向为y轴正方向，,缉私艇的初始
2、位置在点(c,0)，,缉私艇行驶的路程为s 。,在时刻t：,缉私艇到达点,走私船的位置到达点,2.4 模型求解,(1) 求解析解,令：,，,，,1),当 x = 0 时，,，,c=3千米，a=0.4千米/分， 分别取b=0.6,0.8,1.2千米/分时， 缉私艇追赶路线的图形。,追赶时间分别为： t=9，5，2.8125（分钟）,2),当,时，,，,缉私艇不可能追赶上走私船。,3）,，,，,当,时，,，,缉私艇不可能追赶上走私船。,（2）用MATLAB软件求解析解,MATLAB软件5.3以上版本提供的解常微分方程解析解的指令是 dsolve，完整的调用格式是:,微分方程的书写格式规定：当y是因
3、变量时，用“Dny”表示y的n阶导数。,例1 求微分方程,的通解。,解 输入命令: y=dsolve(Dy=x+x*y,x),Ans=-1+exp(1/2*x2)*C1,dsolve(方程1, 方程2,方程n, 初始条件, 自变量),解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),结 果 为 : y =3e-2xsin（5x）,解 输入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t); x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=si
4、mple(z),结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t,在实际生产和科研中所建立的微分方程往往很复杂,有时尽管是一阶微分方程, 也很难求解,即使求出解的表达式,要想计算相应已知变量的函数值也是很困难的,在这种情况下，在实际上，对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，研究常微分方程的数值解法，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。,（3）用MATLAB软件求微分方程的数值
5、解,因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。,对常微分方程,其数值解就是求其解析解,在一系列离散点,处的近似值,用MATLAB软件求数值解的一般格式为,t，x=solver（f,ts,x0）,1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.,2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.,注意:,function u=文件名(自变量,因变量) u=微分方程的右端,然后在指令窗口执行ode23(文件名,0,2,0),可得到图形与相关数据,再执行x,y=ode23(文件名,0,2,0),可得到两组数据,执行pl
6、ot(x,y),可得到图形,建立M文件, 格式如左,例,polyfit(自变量，因变量，次数）,（3）用MATLAB软件求数值解,c=3，a=0.4，b=0.8，,程序zjet.m function u=zjwt(t,y) u=0.5*(t/3)0.5-(3/t)0.5),执行下面的命令：ode23(zjwt,3,0.0005,0),若想看图中点的坐标可执行下面的命令： t,y=ode23(zjwt,3,0.0005,0) plot(t,y),此时缉私艇的位置坐标是（0.00050000000000，1.96013657712118）,执行下面的命令: ode45(zjwt,3,0.0005,
7、0),若想看图中点的坐标可执行下面的命令： t,y=ode45(zjwt,3,0.0005,0) plot(t,y),此时缉私艇的位置坐标是（0.0005，1.9675 ）,MATLAB软件仿真法,当建立动态系统的微分方程模型很困难时， 我们可以用计算机仿真法对系统进行分析研究。 所谓计算机仿真就是利用计算机对实际动态系 统的结构和行为进行编程、模拟和计算，以此 来预测系统的行为效果。,MATLAB软件仿真法,x,c,o,y,走私船初始位在点(0,0)，方向为y轴正方向，,缉私艇的初始位在点(c,0)，,追赶方向可用方向余弦表示为：,走私船的位置：,缉私艇的位置：,o,缉私艇的位置：,则,时间
8、步长,仿真算法：,第三步：计算缉私艇与走私船这两个动点之间的距离：,根据事先给定的距离，判断缉私艇是否已经追上了走私船，从而判断退出循环还是让时间产生一个步长，返回到第二步继续进入下一次循环；,取c=3千米，a=0.4千米/分钟，b=0.8千米/分钟，,c=3; a=0.4/60; b=0.8/60; d=0.01;dt=2;t=0; jstx=c;jsty=0;zscx=0;zscy=0; hold on axis(0,3,0,2) while (sqrt(jstx-zscx)2+(jsty-zscy)2)d) t=t+dt; jstx=jstx-b*dt*jstx/sqrt(jstx2+(
9、a*t-jsty)2); jsty=jsty+b*dt*(a*t-jsty)/sqrt(jstx2+(a*t-jsty)2); zscy=a*t; plot(jstx,jsty,r+,zscx,zscy,b*) pause(0.2) end jstx,jsty,zscx,zscy,t,程序zhuixiantu.m,显示船与艇行进路线程序 c=3; a=0.4/60; b=0.8/60; d=0.01;dt=2;t=0; jstx=c;jsty=0;zscx=0;zscy=0; while (sqrt(jstx-zscx)2+(jsty-zscy)2)d) pause(0.01) hold on
10、 axis(0,3,0,2) t=t+dt; jstx=jstx-b*dt*jstx/sqrt(jstx2+(a*t-jsty)2); jsty=jsty+b*dt*(a*t-jsty)/sqrt(jstx2+(a*t-jsty)2); zscy=a*t; plot(jstx,jsty,rO,zscx,zscy, b*) end,例设A(0,0)为一导弹发射点，发现位于B(0,100)处一架敌机沿水平方向逃离（如图），随即发射一枚导弹予以打击，现已知导弹时刻对准敌机，且速率为飞机速率的两倍（设飞机速度为1）。试编程模拟导弹打击敌机的动态过程，并实时给出飞机和导弹的位置坐标。 分析：现将整个动态
11、过程离散化， 即以dt为时间间隔，实时观测飞机 与导弹的位置： 假定敌机从B点飞行到B1点， 导弹沿向量AB1到A1点； 此时敌机又到B2点，导弹则 沿向量A1B2到A2点； 以此类推，计算飞机的位置 坐标和导弹的位置坐标。,记,step1 画出导弹与飞机A、B点位置； step2 求出dt时间段后的B1点坐标； 2.1 求出向量A0B1的方向， 2.2 求出A1点坐标 2.3 求出导弹与飞机间的距离d； step3 判断距离d是否达到精度要求；如果没有 达到要求，转向step1重复画点、计算新的位置 直到d达到要求.,步骤：,hold on axis(0 3 0 2); k=0;A=3,0;
12、B=0,0; v=0.01;dt=1;d=3; while d0.01 plot(A(1),A(2),r.); plot(B(1),B(2),b*); pause(0.2); k=k+1; B=B+0,v*dt; e=B-A; d=norm(e); A=A+2.0*v*dt*e/d; fprintf(k=%.0f B(%.2f,100) A(%.2f,%.2f) d=%.2fn,k,B(1),A(1),A(2),d); end,2.5 结果分析,用求解析解的方法算得的解是最为精确的；用数值方法计算的结果依赖于迭代终值的设定，减小迭代终值可以提高计算精度；用计算机仿真法计算的结果依赖于时间迭代步
13、长的选取和程序终止条件的设定，修改终止条件的设定和减小时间迭代步长可以提高计算精度，减小误差。,1. 有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，用计算机仿真法等多种方法完成下面的实验： (1) 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ (2) 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是多少？ (3) 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。 (4) 假设在追赶过程中，当猎狗与兔 子之间的距离为30米时，兔子由于害怕, 奔跑的速度每秒减半，而猎狗却由于兴 奋奔跑的速度每秒增加0.1倍，在这种情 况下，再按前面的（1）（3）完成实验任务。,实验任务,A,B,N,W,O,2. 使用计算机仿真方法求解下述问题：在正方形的四个顶点上各有一人，如下图所示，在某一时刻，四人同时出发以匀速按顺时针方向追赶下一个人,如果他们始终保持对准目标,试确定每个人的行进路线。,end,