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1、2.1.1 认识一元二次方程教学目标知识与技能1一元二次方程的概念2一元二次方程的有关概念过程与方法1经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型2理解一元二次方程的概念情感态度与价值观从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识教学重点（1）掌握一元二次方程的解法，（2）培养学生的数学意识及解决简单的实际问题的能力教学难点掌握一元二次方程的概念及相关的概念教具准备1练习本及笔2多媒体课件教学过程创设现实情景、引入新课 师前面我们学过黄金分割，知道黄金比是多少吗? 生黄金比是0.618 师很
2、好，你知道黄金比为什么是0618吗? 师好，经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?从今天开始，我们来学习能解决这些问题的知识：第二章：一元二次方程与一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型下面我们来学习第一节：花边有多宽讲授新课 师我们来看一个实际问题；大家来讨论讨论一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?生我们可以利用列方程来求解 师很好，那如何列方程来求解实际问题呢?想一想，前面我们学习的列一元一次方程的思路和方法 生要从题
3、中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系 这个题已知：这块地毯的长为8 m，宽为5 m，它中央长方形图案的面积为18m2 这个题所要求的是；地毯的花边有多宽 本题是以面积为等量关系 师这位同学分析得很好，下面我们共同来利用这些数量关系列出方程来源:学&科&网Z&X&X&K 师生共析如果设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，根据题意，可得方程 (8-2x)(5-2x)18 注意： 1利用列方程解实际问题时，关键是要找到等量关系，如本题中的面积等于长乘以宽 2用一个含有未知数的代数式表示一个量，并且这个量有单位时，需要把这个代数式用括号括起来，如
4、本题中的地毯中央长方形图案的长、宽等师好，下面我们来看一个数学问题：观察下面等式102+112+122132+142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? 生这个题我们也可以利用数量关系列方程 师很好，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面的四个数该如何表示呢? 生甲因为任何两个连续整数的差为1.所以，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1，x+2，x+3，x+4 生乙根据题意，则可得到方程 x2+(x+1)2+(x+2)2 =(x+3)2+(x+4)2 生丙老师，我觉得这个题也可以设中间的那个数为x，那么其余四个数依次为x
5、-2，x-1，x+1，x+2，由此也可得方程 (x-2)2+(x-1)2+x2 (x+1)2+(x+2)2 这样行吗? 师丙同学的思路很好， 这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可随之变化 下面我们来看一个实际问题：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米? 师同学们分组讨论，列出方程 生甲墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形已知梯子的长为10 m，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6 m 生
6、乙设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程(x+6)2+(8-1)2102，即(x+6)2+72102师同学们讨论得很完整，接下来想一想，议一议(出示投影片 211 D)：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8-2x)(5-2x)18，x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，(x+6)2+72102这三个方程有什么共同特点?生甲这三个方程的每个方程的左、右两边都是整式生乙我把这三个方程进行了化简，即(1)(8-2x)(5-2x)18，40-26x+4x218，4x2-26x+220(2)x2+(x+1)2+(x+2)2来
7、源:学科网(x+3)2+(x+4)2，x2+x2+2x+1+x2+4x+4=x2+6x+9+x2+8x+16，x2-8x-200(3)(x+6)2+72=102，x2+12x+36+49=100，x2+12x-15=0由此可以知道：这三个方程可以化简为三项的和 生丙把这三个方程经过化简后，最高次数是二次 生丁这三个方程的每一个方程中只含有一个未知数 师同学们总结得很好上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程这三个方程还都可以化为ax2+bx+c0(a、b、c为常数，a0)的形式，这
8、样的方程我们叫做一元二次方程(quadratic equatton with one unknown)，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程注意：1一元二次方程必须同时满足以下三点； (1)方程是整式方程 (2)它只含有一个未知数 (3)未知数的最高次数是2，即化简为ax2+bx+c=0时，a02任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0(a0)的形式,其中a0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了 因为任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0a0的形式，所以我们把ax2+bx+cO(a、b、c为常数，a0)称为一
9、元二次方程的一般形式,其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数注意： (1)当a0，b0时，方程就是一元一次方程，当一个方程是一元二次方程时，则隐含了条件：a0. (2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式应用、深化课本P31随堂练习 1从前有一天，二个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程解：设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，
10、根据题意，得x2(x-4)2+(x-2)2，即x2-12x+20=02把方程(3x+2)24(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解：方程(3x+2)24(x-3)2的一般形式是5x2+36x-320方程的二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32课时小结本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念 1一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a0)的形式2一元二次方程的一般形式为ax2+bx+cO(a0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式
11、中的项、次数及其系数的定义是一致的3在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.课后作业 (一)课本P32习题21 1、2、3 (二)1预习内容：P33-P35课堂检测：1. 关于的方程是一元二次方程,则就满足的条件是 2. 关于x的方程,当= 时为一元一次方程；当= 时为一元二次方程。3. 一元二次方程化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。4. 若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+60的解集是_5. 方程是一元二次方程，则.6. 已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1，则k=_7. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如右图所示. 如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）A. B. C. D. 8. 若n（）是关于x的方程的根，求m+n的值参考答案：1. 2.1,-1 3.,1,-8,-4 4.x=-1 5.m=-2 6.k= 7.B8.解：由题意可知x=n, 又n0, n+m+2=0 m+n=-2http:/