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1、第八章 数理统计初步,8.1 数理统计基础知识,8.1.1 总体、样本与统计量,引例8.1 某工厂为了检测一批出厂的十万只灯泡的寿命，出厂时随机抽取了1000只灯泡进行检测.,引例8.2 为了统计全国的人均消费，规定每个地区随机抽取千分之一的人口进行统计调查.,在数理统计中我们把研究对象的全体称为总体，组成总体的每一单元称为个体，被抽取到的所有个体的集合称为样本.,总体,样本,总体,样本,在进行统计抽样时，由于调查具有破坏性（如检测灯泡寿命、检验炸弹的威力等）或者总体所包含的个体数量非常庞大（如调查全国的人均消费水平、股票指数的变化等）等原因，不可能对所有个体进行观测.而只能抽取其中一部分样本
2、进行观测.从总体中抽取样本时，为了使抽取的样本具有代表性，通常要求：,1. 抽取方法要统一，应使总体中每一个个体被抽到的机会是均等的.,2.每次抽取是独立的，即每次抽样结果不影响其它各次抽样结果，也不受其它各次抽样结果的影响.,满足以上两点的抽样方法称为简单随机抽样，由简单随机抽样得到的样本叫做简单随机样本，今后我们凡提到抽样及样本都是指简单随机抽样和简单随机样本.,我们通常只关心总体的一个或几个指标，这些指标可用随机变量来表示.在对样本进行观测时，每个个体的取值结果都是一个随机变量.,n个样本,样本观测值,表示,样本,样本的某种函数,集中样本中我们关心的信息,统计量,“加工”,“提炼”,在引
3、例8.1中，我们希望知道全体灯泡的平均寿命，一个简单的方法就是用样本 的平均寿命 去估计总体的平均寿命.在此过程中，我们将称 为统计量.,常用的统计量有： 样本均值 (9.1) 样本方差 (9.2) 样本均方差 (9.3),8.1.2 统计量的分布,统计量是随机变量，其概率分布又称抽样分布.这些分布在统计推断时起重要作用.下面我们介绍几种常见分布.,设 是X的一个样本，则 或 (9.4),一、样本均值的分布,设 ，对给定的 ，称满足条件 (8.5) 或 (8.6) 的点 为标准正态分布的上 分位点或上侧临界值，简称上 点，(8.5)式的几何意义如图81所示.,图81 ：,称满足条件 的点 为标
4、准正态分布的双侧 分位点或双侧临界值，简称双 点，其几何意义见图82所示.,在统计中， 可直接由（8.6）式通过查本书后附表1正态分布表求得, 可由 查表求得.,图82 ：,二、 分布,设 为取自正态总体 的样本，则称 为服从 个自由度的 分布，记作 分布的概率密度函数为 注 注 式中 为 函数： 在 的函数值.,n=10,n=4,n=1,图83 ：,0.5,0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 y,0.4,0.3,0.2,0.1,类似于标准正态分布，我们称满足： (8.7) 的点 为 分布的上 分位点或上侧临界值，简称上 点，其几何意义如图84所示.这里 是 分布的概率密度.,图8
5、4：,y,显然，在自由度取定以后， 的值只与 有关.,三、 分布,设 ， 且X与Y相互独立，则称随机变量 服从 个自由度的 分布或学生氏分布，记作 . 分布的概率密度函数为： 其图形如图85所示,0.1,0.2,0.3,0.4,-3 -2 -1 0 1 2 3,n=1,图85：,其形状类似标准正态分布的概率密度的图形.当 较大 时， 分布近似于标准正态分布.,对于给定的 ，我们也称满足条件： (8.8) 的点 为 分布的上 分位点或上侧临界值，简称上 点，其几何意义如图86所示 ：,图86：,由 分布的对称性，也称满足条件： (8.9) 的点 为 分布的双侧 分位点或双侧临界值，简称双 点，其
6、几何意义如图87所示.,图87：,在附表4中给出了 分布临界值表. 当 时，可以用标准正态分布代替 分布查 的值， .,四、 F 分布,设 ，且 与 相互独立，则称随机变量 服从第一自由度为 、第二自由度为 的 分布，记作 F分布的概率密度函数为: 其中,其图形如图88所示.,图88：,0 1 2 y,类似于 分布与 分布 ,F分布的上 分位点或上侧临界值简称上 点是指满足条件： (8.10) 的点 ，其几何意义如图89所示，其中 为F分布的概率密度.,的值可由F分布表(附表5)查得： 在附表5中所列的 值都比较小，当 较大时，可用下面公式 (8.11) 查F分布表得到,图89：,y,8.1.
7、3 关于分布的几个性质,性质8.1 分布具有可加性. 设 ，且相互独立，则,性质8.2 设 为来自总体 的样本，则： (1)样本均值 与样本方差 相互独立； (2) (8.12),性质8.3设 为来自总体 的样本，则统计量 (8.13),性质8.4设 和 分别来自正态总体 和 的样本，且它们相互独立，则统计量 (8.14) 其中 ， ， 分别为两总体的样本方差.,性质8.5 设 为正态总体 的样本容量和样本方差； 为正态总体 的样本容量和样本方差，且两个样本相互独立，则统计量 (8.15),随堂练习,1、 设样本值如下： 191，200，212，18.8，196，205，220，216，194，20.3. 求样本均值 ，样本方差 。,解：,按定义，样本均值为,样本方差为：,2、 设总体 ， (1)抽取容量为36的样本，求 ； (2)抽取容量为64的样本，求 ； (3)取样本容量n多大时，才能使,解：,若总体服从正态分布 ，其样本均值服从 ， 经标准化有 。,(1)对于容量为36的样本,（2）对于容量为64的样本，,（3）,所以,3、设总体 ，己知样本容量n24，样本方差 求总体标准差 大于3的概率。,解：,对于总体 ，样本方差满足,查自由度n23的 分布表得,