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1、导数教材分析,东城教研科研中心 雷晓莉,一、导数的地位和作用,中学数学引入导数的内容使教学内容增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域。增加这部分内容，可以加强对学生的辩证思维的教育，使学生能以导数为工具研究函数的变化率，为解决函数极值问题提供更有效的途径、更简便的手段，加强对函数及其性质的深刻理解和直观认识；同时，使学生掌握一种科学的语言和工具，学习一种理性的思维模式.,二、内容分析,3.1 导数的概念 曲线的切线； 在初中学过圆的切线，直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直
2、线和曲线有唯一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的如曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx直线与曲线C有唯一公共点M，但我们不能说直线与曲线C相切；而直线尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线是曲线C在点N处的切线因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线,如图,2.瞬时速度 在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限
3、工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度,3.导数的概念 导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据 对导数的定义，我们应注意以下三点： (1)x是自变量x在 处的增量(或改变量) (2)导数定义中还包含了可导的概念，如果x0时，有极限，那么函数y=f(x)在点 处可导，才能得到f(x)在点 处的导数 (3)如果函数y=f(x)在点 处可导，那么函数y=f(x)在点 处连续(由连续函数定义可知)反之不一定成立例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导 由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行： (
4、1)求函数的增量； (2)求平均变化率； (3)取极限，得导数。,4.导数的几何意义 函数y=f(x)在点 处的导数，就是曲线y=(x)在点 处的切线的斜率由此，可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步： (1)求出函数y=f(x)在点 处的导数，即曲线y=f(x)在点 处的切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 特别地，如果曲线y=f(x)在点 处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为,3.2 几种常见函数的导数 公式1. =0 （C为常数）(课本给出了证明) 公式2. = (课本给出了证明) 公式3. (课本没有给出了证明) 公式4.
5、 (课本没有给出了证明),3.3函数的和差积商的导数 1.和（或差）的导数 上一节学习了常见函数的导数公式，那么对于函数 的导数，又如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。 我们不难发现，即两函数和的导数等于这两函数的导数的和。 由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想，这就是两个函数的和（或差）的求导法则。,2.积的导数 两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点，证明过程中变形的关键是依据导数定义的结构形式。（具体过程见课本P120） 说明： （1） ； （2）若c为常数，则(cu) =cu,3.商的导数 两个函数的商的求导法则，课本中未加证明，只要求记住并能运用就
6、可以.现补充证明如下： 设,因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是x0时，v(x+x)v(x)，从而 即 . 说明：（1）； （2） 学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求.,3.4复合函数的导数 复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。 对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式对复合函数加以直观定义，使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识，再结合
7、以后的例题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。 要能正确求导，必须做到以下两点： （1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。 （2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。,求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行： （1）适当选定中间变量，正确分解复合关系； （2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）； （3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。 也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f()，=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导 ；最后求 ，
8、并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解求导回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。,3.5对数函数与指数函数的导数 1.对数函数的导数 2.指数函数的导数 这四个公式都没有证明,3.6函数的单调性 与 增函数的关系. 能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数 在上R单调递增，但 ， 是为增函数的充分不必要条件。,函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点， 我们一定要把握好以上关系，用导数判断好函数的单调性。因此新 教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免 讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端
9、点的讨论问 题，要谨慎处理。 单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间 函数单调区间的合并 函数单调区间的合并主要依据是函数 在 单调递增，在 单调递增，又知函数在 处连续，因此 在 单调递增。 同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处 数连续，则二区间就可以合并为以个区间。,3.7函数的极值 可以把使函数 的点称为驻点,那么 1.可导函数的极值点一定是它的驻点, 注意这句话中的“可导”两字是必不可少的，例如 ，在点x= 0处有极小值f(0)=0，可是 根
10、本不存在，所以x= 0不是f(x)的驻点. 2 .可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如 的导数是 ,在点x= 0处有 , 即点x= 0是 的驻点,但从f(x)在 ,上为增函数可知, 点x= 0不是f(x)的极值点. 3 .当函数f(x)在点 附近连续时,判断 是极大(小)值的方法是: (a)如果在 附近的左侧 , 右侧 ,那么 是极大值, (b)如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极小值. 4. 求可导函数极值的步骤如下: (1) 求导数 ; (2)求方程 ; (3) 检查 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个
11、根处取得极小值.,3.8函数的最值 求闭区间a,b上的可导函数的最大(小)值的方法是：首先求出此函数 在开区间（a,b）内的驻点，然后计算函数在驻点与端点处的值，并将他 们进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值.这里 无需对各驻点讨论其是否为极大（小）值点。 如果函数不在闭区间a,b上可导，那么求函数的最大（小）值时，不 仅要比较此函数在各驻点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不 可导的点处的值. 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先找出自变量、因变 量，建立函数关系式，并确定其定义域，如果定义域是一个开区间，函 数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义
12、域内必然可 导），并且按照常理分析,此函数在这一开区间内应该有最大(小)值,(如果 定义域是闭区间,那么只要函数在此闭区间上连续,它就一定有最大(小)值, 让学生记住这个定理很有好处).然后通过对函数求导,发现定义域内只有 一个驻点,那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大(小)值,知道 这一点是非常重要的,因为它在应用上较为简便,省去了讨论驻点是否为极 值点,求函数在端点处的值,以及同函数在极值点初的值进行比较等步骤.,3.9微积分建立的时代背景和历史意义 第一部分是微积分思想方法的萌芽、积累、诞生的历史回顾，着重围绕与大量实际问题相关的求曲线的切线及求函数的极值问题，阐述变量与极限思想
13、； 第二部分是微积分思想方法对数学科学及自然科学发展的作用； 第三部分是牛顿、莱布尼茨发明微积分思想方法对我们的启发。,文科:(与理科的区别),2.1导数的背景 1.瞬时速度 2.切线的斜率 3.边际成本 边际成本是西方经济学中的概念,即每增加一单 位产量所增加的成本,而增加的成本就是增加的变动 成本,由于边际收益的变动规律是先递增后递减,所以 边际成本是先递减后递增的,因此边际成本曲线是一 条先下降后上升的“U”字形曲线。,2.2导数的概念 这里有极限的数学思想,但对文科学生要求不是很高,课本上用定义求导的例题、习题都是二次函数的, 是一个关于 的一次是代数式，求极限比较容易， 例如：求 在
14、x=- 3处的导数. 建议:这儿不宜加深,2.3多项式函数的导数 1. =0 （C为常数）(课本给出了证明) 2. = (课本给出了证明) 3.导数的运算法则: 2.4函数的单调性和极值 2.5函数的最大值和最小值 2.6微积分建立的时代背景和历史意义,三、课时安排：,理科(19课时) 3.1导数的概念 3课时 3.2几种常见函数的导数 1课时 3.3函数的和、差、积、商的导数 2课时 3.4复合函数的导数 2课时 3.5对数函数与指数函数的导数 2课时 3.6函数的单调性 1课时 3.7函数的极值 2课时 3.8函数的最值 2课时 3.8微积分建立的时代背景和历史意义 1课时 小结与复习 3
15、课时,文科(10课时),2.1导数的背景 1课时 2.2导数的概念 2课时 2.3多项式函数的导数 2课时 2.4函数的单调性和极值 2课时 2.5函数的最大值和最小值 2课时 2.6微积分建立的时代背景和历史意义 1课时,四、教学建议：,1.突出教学重点，把握教学要求； 为了提高教学效益，在每个知识点的教学中，一定要抓住重点，并把 握好教学要求的深度和广度。下面按照大纲对提出的教学要求，依次谈 谈如何抓住重点把握要求，供老师们参考。 （）在学习导数概念的实际背景时，侧重点宜放在瞬时速度的讲述 上，而将光滑曲线的切线的斜率作为辅助材料。这是因为所涉及物理 背景比较贴近学生的生活经验，学生易于了
16、解，可是，关于曲线的切 线，在对极限的思想还不熟悉的时候，要学生体会“PQ是曲线的割线， 当点Q沿着曲线无限接近于点P 时，如果割线PQ有一个极限位置，则直 线叫做曲线在点P处的切线”这个定义，是有点困难的。 （）对于导数公式与求导法则，关键是能让学生运用它们正确地求 简单的初等函数的导数，特别是关于复合函数的求导法则，一定要控制 好习题的难度。 （3）导数应用这部分，即函数的单调性、函数极值与函数的最大值与 最小值，重点是让学生掌握方法，能确定一些简单函数的极值与最值。,2.加强知识发生过程的学习； 导数这一部分知识可操作性比较强,教学中尽量避免把 解题的步骤和方法直接给学生,而应发挥学生的
17、主体作用,让 学生在知识的学习过程中自己总结方法和步骤. 3.注意知识的纵横联系 ； 学习导数的知识，从纵向看，要重视与前面特别是高一 所学的函数知识的联系；从横向看，要重视与物理知识的联 系。 在本章之前，学生已经学习过一些函数的知识。像函数 的图象、指数函数、对数函数等，这些内容都是学习导数与 微分的基础，将实际问题中的数量关系用函数表示出来，更 是解决诸如求一些实际问题的最大值与最小值的关键所在。,函数的单调性，高一学过，但使用的是初等方法，让学 生将初等方法与求导的方法加以对比，就可以对学习导数的 必要性有更深刻的认识了。此外，我们所学的导数是用极限 方法定义的，因此，本章与前一章“极
18、限”，联系也十分密 切。 微积分从它的产生到发展，都与物理有着密不可分的关 系。在教学中，一方面，借助实际问题的物理背景，可以帮 助学生理解导数的有关概念，另一方面，本章所学的导数的 应用，不少是物理的实际问题。,4.重视数学应用，降低理论要求 ； 学习导数，要着眼于用导数的知识及其思想方法解决数学 学习、日常生活与工作中的问题。高中阶段，在导数概念的 严谨性、知识的系统性上花过多的时间与精力，既没有必 要，也不可能有明显收效。因此，与以前高中教科书中的导 数部分比较，本章在数学应用的内容上适当加强了，而在理 论要求上则有所降低。 在全章的开始，教科书用一个“当容积相同时，圆柱形罐 的尺寸如何
19、，其表面积最小”的实际问题作引言，这是导数应 用的问题，用这个问题可以激发学生学习导数知识的兴趣。 本章学习了一些导数公式与求导法则，教材侧重的是公式 与法则在求导中的应用，淡化的是公式与法则的理论推导。,例如，在导数公式 = 中，函数的导数公式只给了n为正整数情况下的证明，函数的导数公式则没有给出证明；在两个函数四则运算的求导法则中，没有给出商的求导法则的证明；复合函数的求导法则给出的是不严格的证明。 本章第二大节讲的就是导数的应用。为了便于应用，教科书首先借助函象，让学生对基本方法有一个直观的了解。对所用方法本身，应该考虑使用条件，诸如函数的连续性、可导性等，还应该有必要的证明，这些地方，
20、教科书处理得是比较弱的。在具体应用部分，重点配备了一些联系实际的例题与习题。,五、例题分析:,例1： 分析：函数式中有绝对值，求某点处的导数值就不 能用导数的运算法则，可以用导数的定义来求导。,例2：设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-100), 求 分析：此式因式太多，运算起来比较麻烦，可以使用导数的定义转换为极限的运算。,例3：求函数 的导数 分析：直接用商的运算法则求导比较烦琐，可以通过先化简。在求导。,例4：求函数 的导数。 分析：直接用商的运算法则求比较麻烦，可以把函 数先化简整理为,例5：求函数 的导数 分析：直接用对数及复合函数的求导法则比较麻 烦，可以先利用对数的性
21、质将函数化简为， 再求导得：,六、大纲要求： 文史类： 导数的背景，导数的概念，多项式函数的导数 利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，利用导数研究简单实际问题的最大值和最小值，微积分建立的时代背景和历史意义。 理工类： 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数 两个函数的和，差，积，商的导数，复合函数的导数基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，微积分建立的时代背景和历史意义 ,七、考试大纲要求： 文史类： （1）了解导数概念的实际背景. （2）理解导数的几何意义. （3）掌握函数 的导数公式，会求多项式函数的导数. （4）理解极大值、极小值
22、、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间，极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值. （5）会利用导数求最大值和最小值的方法，解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题.,八、考试趋势：,有关导数的内容在2000年开始的新课程试卷命题时，其考 试要求都是很基本的，以后逐渐加深。考查的基本原则是重点 考查导数的概念和计算，在导数的考查过程中力求结合应用问 题的考查，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。文科试 卷中题目涉及的知识比较基本，多项式函数的导数，题目的总 体难度也不大。本部分的要求一般有三个层次，第一层次是主 要考查导数的概念、求导的公式和求导的法则；第二层次是导 数的简
23、单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明 函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题， 将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地 结合在一起，通过将新课程内容和传统内容相结合，可以加强 能力考查的力度，加强试题的综合性，同时可以使试题具有比 较广泛的实际意义。,它体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问 题的方法，这类问题用传统教材的方法是无法解决的。 同时，新课程增加的新内容的考查形式和要求已经发生 变化，导数已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位 上升为分析和解决问题时的必不 可少的工具。同时体 现了新课程试卷的要求和特点。,九、试题分析：,2004年全国
24、卷 1曲线 在点（1，1）处的切线方程为 （ ） A B C D 2函数 在下面哪个区间内是增函数 （ ） A B C D,3.若函数 在区间（1， 4）内为减函数，在区间（6，+）上为增函数，试求实数a的取值范围. 4.已知 求函数 的单调区间. 5.已知函数f(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx. （）求函数f(x)的最大值； （）设0ab, 证明0g(a)+g(b)-2g( )(b-a)ln2.,从以上试题可以看出导数的概念、导数的几何意义、用导数求单调区间、求极值和最值等都考到了，并且还注意到与其它数学知识如二次函数、二次方程、二次不等式、代数不等式的结合。,4命题趋势 200
25、0年导数应用题，求极值问题，另有一道解不等式及判断单调性问题，用传统方法及求导都可以解。 2001年已知函数的极值求参数，另有一道函数单调性问题，用传统方法及求导都可以解。 2002年导数与切线，证明代数不等式的综合。 2003年导数与切线，二次方程的综合（文史类），导数与解含参数不等式，单调性的综合（理工类），导数与切线，与二次函数综合（理工类） 2004年导数与切线,导数的四则运算,函数的单调区间,函数的最值和单调性的证明,从命题的发展趋势可以看出，体现了对本部分考试要求的三个层次： 第一层次是主要考查导数的概念，求导公式和法则； 第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等； 第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合试题。,谢谢大家！,