第十部分双样本假设检验及区间估计.ppt

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1、2019/3/15,1,第十章 双样本假设检验及区间估计,我们在掌握了单样本检验与估计的有关方法与原理 之后，把视野投向双样本检验与估计是很自然的。双样 本统计，除了有大样本、小样本之分外，根据抽样之不 同，还可分为独立样本与配对样本。,独立样本, 指双样本是在两个总体中相互独立地抽取的 。,配对样本，指只有一个总体，双样本是由于样本中的个体两两匹配成对而产生的。配对样本相互之间不独立。,2019/3/15,2,第一节 两总体大样本假设检验,为了把单样本检验推广到能够比较两个样本的均值的检验，必须 再一次运用中心极限定理。下面是一条由中心极限定理推广而来的重 要定理：如果从 和 两个总体中分别

2、抽取容量为 n1和n2 的独立随机样本，那么两个样本的均值差 的抽样分 布就是 。与单样本的情况相同，在大样本的 情况下(两个样本的容量都超过50)，这个定理可以推广应用于任何具 有均值1和2以及方差 和 的两个总体。当n1和n2逐渐变大 时， 的抽样分布像前面那样将接近正态分布。,2019/3/15,3,1大样本均值差检验 （1）零假设： （2）备择假设： 单侧 双侧 或 （3）否定域：单侧 双侧 （4）检验统计量 （5）比较判定,2019/3/15,4,例为了比较已婚妇女对婚后生活的态度是否因婚 龄而有所差别，将已婚妇女按对婚后生活的态度分为“满 意”和“不满意”两组。从满意组中随机抽取6

3、00名妇女， 其平均婚龄为8.5年，标准差为2.3年；从不满意组抽出 500名妇女，其平均婚龄为9.2年，标准差2.8年。试问在 0.05显著性水平上两组是否存在显著性差异？,2019/3/15,5,解 据题意， “不满意”组的抽样结果为： 9.2年， S12.8年， n1500； “满意”组的抽样结果为： 8.5 年，S22.3 年， n2600。 H0：12D00 H1： 12 0 计算检验统计量 确定否定域， 因为0.05，因而有 Z/21.964.47 因此否定零假设，即可以认为在0.05显著性水平上，婚龄对妇女婚 后生活的态度是有影响的。同时我们看到，由于样本计算值Z4.47 远大

4、于单侧 Z0.05 的临界值1. 65，因此本题接受12 0 的备择假设，即可 以认为妇女婚龄长容易对婚后生活产生“不满意”。,2019/3/15,6,2大样本成数差检验 （1）零假设： （2）备择假设： 单侧 双侧 或 （3）否定域：单侧 双侧 （4）检验统计量,其中: 为总体1的 样本成数 为总体2的 样本成数。,2019/3/15,7,当p1和p2未知，须用样本成数 和 进行估算时，分以下两 种情况讨论： 若零假设中两总体成数的关系为 ，这时两总体可看作成数 P 相同的总体，它 们的点估计值为 此时上式中检验 统计量 Z 可简化为 若零假设中两总体成数 ，那么它们的点估计值有 此时上式中

5、 检验统计量Z为,（5）判定,2019/3/15,8,例有一个大学生的随机样本，按照性格“外向”和 “内向”，把他们分成两类。结果发现，新生中有73属 于“外向”类，四年级学生中有58属于“外向”类。样本 中新生有171名，四年级学生有117名。试问，在0.01水平 上，两类学生有无显著性差异？,2019/3/15,9,解 据题意 新生组的抽样结果为： 0.73， 0.27，n1171 四年级学生组的抽样结果为: 0.58， 0.42，n2117 H0：p1p2D00 H1：p1p2D00 计算检验统计量 确定否定域 因为0.01，因而有 Z/2Z0.0052.582.66 因而否定零假设，即

6、可以认为在0.01显著性水平上，两类学生在 性格上是有差异的。,2019/3/15,10,第二节 两总体小样本假设检验,与对单总体小样本假设检验一样，我们对两 总体小样本假设检只讨论总体满足正态分布的情 况。 1. 小样本均值差假设检验 (1) 当 和 已知时，小样本均值差 检验，与上一节所述大样本总体均值差检验完全 相同，这里不再赘述。,2019/3/15,11,(2) 和 未知，但假定它们相等时， 关键是要解决 的算式。,现又因为未知，所以要用它的 无偏估计量 替代它。由于两个样 本的方差基于不同的样本容量，因而 可以用加权的方法求出的无偏估计 量，得 注意，上式的分母上减2，是因为 根据

7、 和 计算S1和S2时，分别损 失了一个自由度，一共损失了两个自由 度，所以全部自由度的数目就成为 (n1+ n22)。 于是有,2019/3/15,12,这样，对小样本正态总体， 和 未知，但12 ， 其均值差的检验步骤如下: （1）零假设： （2）备择假设： 单侧 双侧 或 （3）否定域：单侧 双侧 （4）检验统计量 （5）比较判定,2019/3/15,13,例为研究某地民族间家庭规模是否有所不同，各做 如下独立随机抽样： 民族A：12户，平均人口6.8人，标准差1.5人 民族B：12户，平均人口5.3人，标准差0.9人 问：能否认为A民族的家庭平均人口高于B民族的家 庭平均人口（ =0.

8、05）？（假定家庭平均人口服从正态 分布，且方差相等）t=2.97 例 某市对儿童体重情况进行调查，抽查8岁的女孩 20人，平均体重22.2千克，标准差2.46千克；抽查8岁的 男孩18人，平均体重21.3千克，标准差1.82千克。若男女 儿童体重的总体方差相等，问在显著性水平5%上，该年 龄男女儿童之体重有无显著差异?,2019/3/15,14,解 据题意， 女孩组的抽样结果为： 22.2(千克)， S12.46(千克)，n120(人) 男孩组的抽样结果为： 21.3(千克)，S21.82(千克)， n218(人) H0：12D00 H1：120 计算检验统计量 确定否定域 因0.05，因而

9、有t 0.025 (36)2.0281.24 故不能否定H0，即可认为男女儿童平均体重无显著性差异。,2019/3/15,15,(3) 和 未知，但不能假定它们相等 如果不能假定12 ，那么就不能引进共同的简化 ，也不能计算的无偏估计量 。现在简单的做法是用 估计 ，用 估计 ，于是有,例 用上式重新求解前例题。 解 用上式，检验统计量的计算为 可以看出，求算用(10.8)式和(10.10)式，得出的结果差别不大。,2019/3/15,16,2小样本方差比检验 在实际研究中，除了要比较两总体的均值外，有时还需要比较两总体的方差。例如对农村家庭和城镇家庭进行比较，除了平均收入的比较外，还要用方差

10、比较收入的不平均情况。此外，刚刚在小样本均值差的检验中曾谈到，当方差未知时，往往还假设两总体方差相等。因此，在总体方差未知的情况下，先进行方差比检验，对于均值差检 检验也是具有一定意义的。,设两总体分别满足正态分布 和 。现从这两 个总体中分别独立地各抽取一个随机样本，并具有容量n1，n2和方差 ， 。根据第八章(8.22)式，对两总体样本方差的抽样分布分别有,2019/3/15,17,根据本书第八章第四节F分布中的(8.25)式有 由于 ， 所以简化后，检验方差比所 用统计量为 当零假设H0： 12时， 上式中的统计量又简化为,2019/3/15,18,这样一来，小样本正态总体方差比检验的步

11、骤有 (1) 零 假 设H0 ： 备择假设H1 ： 单侧 双侧 H1 ： H1 ： H1 ： (2) 检验统计量 （ ） （ ） （ ）,单侧,双侧,2019/3/15,19,(3)否定域(参见下图) 单侧 F（n11，n21），双侧F/2（n11，n21） 方差比检验，比起前面所介绍的检验有一个不同点，那就是无 论是单侧检验还是双侧检验，F 的临界值都只在右侧。其原因是我 们总是把和中的较大者放在分子上，以便使用者掌握。因此有 1 或者 1,2019/3/15,20,例 为了研究男性青年和女性青年两身高总体的方差是否相等，分别作了独立随机抽样。对男性青年样本有n110， 30.8(厘米2)；

12、对女性青年样本有 n28， 27.8(厘米2)，试问在0.05水平上，男性青年身高的方差和女性青年身高的方差有无显著性差异?,2019/3/15,21,解 据题意， 对男性青年样本有n1 10， 30.8(厘米2) 对女性青年样本有n2 8， 27.8(厘米2) H0 ： H1 ： 计算检验统计量 确定否定域，因为0.05， F/2（n11，n21）F0.025(9,7)4.821.08 因而不能否定零假设，即在0.05水平上，我们不能说男性青年身 高的方差和女性青年身高的方差有显著性差异。,2019/3/15,22,第三节 配对样本的假设检验,配对样本，是两个样本的单位两两匹配成 对，它实际

13、上只能算作一个样本，也称关联样 本。因此对它的检验，用均值差检验显然是不行 的。因为2 n个样本单位(每个样本n个)不是全部 独立抽取的。而如果把每一配对当作一个单位， 在符合其他必要的假定条件下，统计检验与单样 本检验相差无几。,2019/3/15,23,1单一实验组的假设检验 对于单一实验组这种“前后”对比型配对样 本的假设检验，我们的做法是，不用均值差检验， 而是求出每一对观察数据的差，直接进行一对一的 比较。如果采用“前测”“后测”两个总体无差异的零 假设，也就是等于假定实验刺激无效。于是，问题 就转化为每对观察数据差的均值d 0的单样本假 设检验了。求每一对观察值的差，直接进行一对一

14、 的比较。,2019/3/15,24,设配对样本的样本单位前测与后测的观察数据分别 是X 0i与X 1i，其差记作di d i X 1iX 0i 如果假设两总体前测与后测无显著性差别，即1 0 或者 。那么对取自这两 个总体的配对大样本有,2019/3/15,25,对于大样本，当二总体的方差未知时，可以用样本标准差来近似。,若为小样本则需用 t 分布，即对配对(小)样本而言，其 均值差的抽样分布将服从于自由度为(n1)的 t 分布。所以 对单一实验组实验的假设检验，其检验统计量为,2019/3/15,26,例 随机地选择13个单位，放映一部描述吸烟有害于身体健康的影片，下表中的数字是各单位认为

15、吸烟有害身体健康的职工的百分比，试在0.05显著性水平上检检验实验无效的零假设。,2019/3/15,27,解 零 假 设H0：d0 备择假设H1：10 根据前三式，并参照上表有,计算检验统计量 确定否定域，因为0.05，并为单侧检验，因而 有 t 0.05(12)1.7822.76 所以否定零假设，即说明该实验刺激有效。,2019/3/15,28,练习一：以下是经济体制改革后，某厂8个 车间竞争性测量的比较。问改革后，竞争性有无 增加？（ 取=0.05）t=3.176 改革后 86 87 56 93 84 93 75 79 改革前 80 79 58 91 77 82 74 66 练习二：为了

16、了解职工的企业认同感，根据 男性1000人的抽样调查，其中有52人希望调换工 作单位；而女性1000人的调查有23人希望调换工 作，能否说明男性比女性更期望职业流动？ （ 取=0.05）,2019/3/15,29,2一实验组与一控制组的假设检验 单一实验组实验的逻辑，是把实验对象前测 后测之间的变化全部归因于实验刺激。在社会现 实生活进行的实际实验中，对象前测后测之间的 变化，有时除了受到实验刺激外，还受到其他社 会因素的作用。因而，配对样本的一实验组与一 控制组之假设检验，要设法把实验变量的作用和 额外变量的作用区分开来，然后就像对待单一实 验组实验一样，把问题转化为零假设d0的单 样本检验

17、来处理。,2019/3/15,30,在一实验组与一控制组的实验设计之中，对前测后 测之间的变化，消除额外变量影响的基本做法如下： (1)前测：对实验组与控制组分别度量； (2)实验刺激：只对实验组实行实验刺激； (3)后测：对实验组与控制组分别度量； (4)求算消除了额外变量影响之后的 d i 后测实验组前测实验组前测后测差实验组 后测控制组前测控制组前测后测差控制组 实验效应di 前测后测差实验组前测后测差控制组,2019/3/15,31,例 假定实施一种新教学法有助于提高儿童的学习成绩，现将20名儿童两两匹配成对，分成一实验组与一控制组，然后对实验组实施新教学法两年，下表列示了控制组与实验

18、组前测后测的所有10组数据，试在0.05显著性水平上检验实验无效的零假设。,2019/3/15,32,解 零 假 设H0：d0 , 即“实验无效” 备择假设H1：10 根据前三式，并参照上表有,计算检验统计量 确定否定域，因为0.05，并为单侧检验，因而 有 t 0.05(9)1.8332.13 所以否定零假设，即说明该教学法有效。,2019/3/15,33,3对实验设计与相关检验的评论 有了独立样本和非独立样本的认识，读者自 然会提出什么时候使用配对样本以及什么时候不 使用配对样本的问题。很显然，匹配样本损失了 自由度，使用配对样本相当于减小了一半样本容 量。这样做是不是得不偿失呢?答案是要

19、看我们 能否恰当地配对。 在配对过程中，最好用掷硬币的方式决定 “对”中的哪一个归入实验组，哪一个归入控制 组。从而使“对”内随机化。,2019/3/15,34,第四节 双样本区间估计,双样本区间估计和双样本假设检验的联系是很紧密的。双样本区间估计，即是为均值差或成数差设置置信区间的方法，这需要我们汇合单样本区间估计和双样本假设检验两方面的知识 1. 和 已知，对均数差的区间估计 根据本章第一节中心极限定理的推论，既然两样本的均值差 的抽样分布就是 ，那么对 统计量Z 自然有,2019/3/15,35,对于给定的置信水平（1），以 构造 的置信区间如下,同理考虑 的置信区间，只需将上式中的 改

20、为 即可。,2019/3/15,36,例 设甲乙两乡镇企业职工月收入总体分布的方差分别为 120(元2)， 90(元2)。现从甲企业随机抽取20人，平均月收人为840元：从乙企业随机抽取10人，平均月收入为670元，试以95%置信水平估计两企业人均月收入差额之范围。,2019/3/15,37,解 据题意， 甲企业的抽样结果为： 840(元)， 120(元2) ， n120(人) 乙企业的抽样结果为： 670(元)， 90(元2) ， n2 10(人) 由（1）095，得Z/21.96，代入前式有,得到在95置信水平上，两企业人均收入之差额在162.4元到177.6元之间。,2019/3/15,

21、38,对于大样本， 和 未知，可以用 和 替 代，然后用前式求出均值差的置信区间即可。 对于小样本， 和 未知，两样本均值差的抽样分布就不再服从Z分布，而是服从 t 分布了。此时对给定的置信水平（1），得 之估计区间为,2. 和 未知，对均数差的区间估计,2019/3/15,39,由上式可见，要解决小样本均值差区间估计问题，关键是要解决 的算式问题，而如果能假设 ，这个问题已经在本章第二节中解决了，即,2019/3/15,40,例 某市对儿童体重情况进行调查，抽查8岁的女孩20人，平均体重22.2千克，标准差2.46千克；抽查8岁的男孩18人，平均体重21.3千克，标准差1.82千克。若男女儿

22、童体重的总体方差相等，试在95置信水平上，估计8岁男女儿童体重差额之范围。,2019/3/15,41,解 据题意， 女孩组的抽样结果为： 22.2(千克)， S1 2.46(千克)，n120(人) 男孩组的抽样结果为： 21.3(千克)， S21.82(千克)， n218(人) 代人前式得,由（1）0.95，得t /2(n1+ n2 2)t 0.025 (36)2.028，于是 (22.221.3)2.0280.728，(22.221.3) + 2.0280.728) 得在95置信水平上8岁男女儿童体重之差额在0.58千克到2.38千克之间。,2019/3/15,42,如果不能假设 ，求算 则

23、要用下 式，即 例 研究正常成年男女血液红细胞的平均数之差别， 抽查男子20人，计算得红细胞平均数465万毫米3，样本 标准差为54.8万毫米3；抽查女子24名，计算得红细胞 平均数422万毫米3，样本标准差为492万毫米3，试 以99的置信水平，求正常成年男女红细胞平均数的差异 范围。,2019/3/15,43,解 据题意， 男性组抽查结果为： 465， S154. 8， n120(人) 女性组抽查结果为： 422， S249. 2， n224(人) 代人前式得,由（1）0.99，得t /2(n1+ n2 2)t 0.005 (42)2.698，于是 (465422)2.69816.2，(4

24、65422) + 2.69816.2) 得在99置信水平上，正常成年男女红细胞平均数之差异范围在0.7万毫米3到86.7万毫米3之间。,2019/3/15,44,3大样本成数差的区间估计 与单样本成数的区间估计一样，成数差区间估计 可以被看作均值差的特例来处理(但它适用于各种量度 层次)。即对给定的置信水平（1），得两总体成数 差(p1p2)之估计区间为,2019/3/15,45,当p1和p2未知，须用样本成数 和 进行估算，同时分以下两 种情况讨论： 若能假设 ，上式变为 式中: 若不能假设 ，上式变为,2019/3/15,46,例 有一个大学生的随机样本，按照性格“外向”和“内向”，把他们

25、分成两类。结果发现，新生中有73属于“外向”类，四年级学生中有58属于“外向”类。样本中新生有171名，四年级学生有117名。试在99的置信水平上，求新生、老生性性格“外向”的成数差的置信区间。,2019/3/15,47,解 据题意， 新生组的抽样结果为： 0.73， 0 27， n1171(人) 四年级学生组的抽样结果为： 0.58， 0. 42，n2117(人) 由（1）0.99，得Z/2Z0.0052.58，代入上式得,得在99置信水平上，新生、老生性格“外向”的成数差的置信区间为(0.003，0.297)。,2019/3/15,48,4配对样本均值差的区间估计 配对样本均值差的区间估计与独立样本均值差的区间估计不同，它实质上是d的单样本区间估计。 既然对统计量 t 有 对给定的置信水平（1），d 的区间估计是,2019/3/15,49,例 在8名患者身上用A和B两种催眠药加以试验，增多睡眠小时数的数据如下表所示，试在95的置信水置信水平上，求d的置信区间。,2019/3/15,50,解 据(10.14)式和(10.15)式，计算过程参见上表，得,由（1）0.95，得t/2(n 1)t 0.025 (7)2.365，代入上式有 得在95的置信水平上，两种催眼药平均药效之差d的置信区间为1.15 土0.97(小时)，即 0.18(小时) d 2.12(小时)。,