初中数学创新思维能力培养案例分析2010.12.ppt

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1、,初中数学教学中 创新性思维培养的案例分析,引言 全国科技大会上指出： “创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。一个没有创新能力的民族难于屹立于世界民族之林。” “建立创新型国家。”,教育部的一个报告指出： “实施素质教育重点是改变教育观念，尤其是要以培养学生的创新意识和创造精神为主。”,创造性人才的创造活动是在相应的创造性思维的支配下，所进行的一种积极的能动的活动。创造性思维是一切创造活动的核心和灵魂。,著名的数学家A赛尔伯格指出：“数学的内容一定要重新斟酌。应该增加一些涉及如何发现并令人振奋的内容。”,著名数学家JP塞尔指出： “关于学生，关键是要让他们明白数学是活生生的，而

2、不是僵死的，讲数学的传统方法有个缺陷，即教师从不提及这类问题，这很可惜。在数论中有许多这类问题，十几岁的孩子就能很好地理解它们：当然包括费马大定理，还有哥德巴赫猜想。你可以随意讲一些定理而不加证明,因此我认为： 数学教学不但应该传授数学知识，还应该培养学生的创新思维。,讲五个问题 一、归纳思维 二、类比思维 三、发散思维 四、逆（反）向思维 五、统计推断 下面将结合初等数学和数学史上一些著名问题来讲，并结合初中数学教材谈谈如何采取措施，切实培养思维能力,一、归纳思维,归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要的思维方法。,“在数学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。”,著名数学家高斯曾说： “

3、我的许多发现都是靠归纳取得的。”,归纳是在通过多种手段（观察、实验、分析）对许多个别事物的经验认识的基础上，发现其规律，总结出原理或定理。归纳是从观察到一类事物的部分对象具有某一属性，而归纳出该事物都具有这一属性的推理方法。或者说，归纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和本质的东西的抽象化思维。 也可以说，归纳是在相似中发现规律，由个别中发现一般。,从数学的发展可以看出，许多新的数学概念、定理、法则、的形式，都经历过积累经验的过程，从大量观察、计算,然后归纳出其共性和本质的东西，例如：哥德巴赫猜想，费马猜想，素数定理等。,1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5

4、10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1,宋朝数学家杨辉1261年写的详解九章算法*就解释了上述系数三角形的构造法，并说贾宪用此术。,杨辉三角形,科尔莫哥洛夫在我是如何成为数学家中说：我在6、7岁时我已经感受到数学归纳发现的乐趣，例如，我注意到下边的等式：,他的这个发现，后来被刊登在春燕杂志上。,问题：考察表,按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当数学式子表示出来，而且试证明它。,问题：下述结论是否成立？,数学教学要适时培养归纳推理能力 初中在“用字母代表数”中已学生已经历过用归纳推理的方法探求规律的活动，这时要向学生介绍这种推理方法,教学中如何培养归纳思维 （1）设计有趣的活动

5、，引导学生在游戏中探索规律,华罗庚：“先足够地退到我们所容易看清楚问题的地方，认定了、钻深了、然后再上去” 案例1： 归纳的方法.doc,归纳探究的大致模式：,教学中如何培养归纳思维,（2）提出延伸性问题，引导学生进一步探究。,案例2 问题1-3苹果,一个农夫按照正方形的规律种植苹果树。为了保护果树免受强风侵袭，他在果园的周围栽种了针叶树。 下面是栽种情况的示意图，根据苹果树的行数（n），你可以看到苹果树和针叶数的种植规律。,请完成下表：,问题2：苹果,你可以用以下两条公式，计算出上述方式所种植的苹果树和针叶数的棵树：苹果树的棵树 针叶树的棵树 n是苹果树的行数。 若n等于某个数值时，苹果树的

6、棵数与针叶树的棵数便会相等。现试求出这个n的数值，并说明计算方法。,问题3：苹果,假设这个农夫要建一个更大、可以种植更多果树的果园。当他扩建果园时，哪一种树的棵数会增加的较快？请解释你是如何找到答案的。,教学中如何培养归纳思维,（1）设计有趣的活动，引导学生在游戏中探索规律 （2）提出延伸性问题，引导学生进一步探究。 （3）引导学生对数学探究中的关键点和方法进行总结，掌握数学探究 的办法。,归纳思维能力培养,归纳思维能力培养应注意什么？ 1. 规律的观察和归纳是一个难点，要善于多设几个途径思考。（如上楼梯）,2. 一种合情推理的方法,归纳推理的结论未必正确. 案例4： 归纳推理 08年,3.

7、归纳法分两种： 不完全归纳（根据对特殊情况的考查而得出一般的结论） 完全归纳（根据对所有情况的考查而得出的判断） 案例3: 圆周角.doc 案例3的价值：（1）一个完全归纳的例子；（2）多种数学思维方法应用； （3）教学设计中的问题： 被新颖性遮蔽的情境设计的合理性； 归纳思维探索过程的展示； 重要思维方法的使用和总结,二、类比思维,著名日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川秀澍指出：“类比是一种创造性思维的形式。”著名哲学家康德指出：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。” 类比是根据两个（或多个）对象内部属性、关系的某些方面相似，而推出它们在其它方面也可能相似的推理。

8、简单地说，类比就是由此去发现彼（或由彼去发现此）。,类比为人们思维过程提供了更广阔的“自由创造”的天地，使它成为科学研究中非常有创造性的思维形式，从而受到了很多著名科学家的重视与青睐。例如：,著名天文学、数学家开普勒说： “我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师它能揭示自然的奥秘。”,在平面解析几何中直线的截距式是：,在平面解析几何中,两点的距离是：,在空间解析几何中,两点的距离是：,在空间解析几何中平面的截距式是：,在平面解析几何中圆的方程是： (x-a)2+(y-b)2=R2 在空间解析几何中球面的方程是: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 等等。,Zn = n+

9、Yn (n2)(Wiles 1994),实践证明：在学习过程中，将新内容与自己已经熟悉的知识。进行类比，不但易于接受、理解、掌握新知识，更重要的是：培养、锻炼了自己的类比思维，有利于开发自己的创造力。（费马猜想）,教学中如何培养类比思维,案例5 不等式的性质等式的性质 一次方程的解法一次不等式的解法 分式分数； 线段 数； 二次函数一次函数； 定义的类比，平行直线平行平面,类比推理： 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。 波利亚：类比是一个伟大的引路人。 类比推理大致模式 案例6：类比推理,根据教学内容设计类比探究活动,分式教

10、学的类比探究,（1）分式与我们曾经学习过的什么内容相似？ （2）你从哪些方面发现它们相似？ （3）根据你的经验，我们下面应该进行什么研究？如何研究？ （4）总结：这节课学习了分式的什么性质？同学们是通过什么方法进行研究的？你过去有类似的学习经历吗？,教学中应注意：,（1）不能把数学知识作为预先确定了的东西教给学生，不应把教育者对数学知识正确性的强调作为学生接受它的理由，学生对数学知识的获取应靠自己的探索和建构来完成，以他自己的经验、信念为背景来分析知识的合理性。 （2）通过类比探究的数学活动使学生积累数学思考的学习经验，进而学会数学化，丰富对数学知识的情感体验。 （3）经历数学发现的过程，学习

11、数学基本的思维方法。 （4）对探究过程进行小结,体会数学的思考方法在解题中作用,培养类比思维应注意什么？,合情推理的一种。关键是找到两个对象内部属性、关系的具有某些方面相似 维数的类比（距离、重心） 教学中注意分析事物研究对象的本质属性，进行有效的比较，教师应具有发散思想，鼓励学生敢于在类比中猜想，培养直觉思维。,三、发散思维,所谓具有发散特性的思维是指信息处理的途径灵活多变，求结果的丰富多样。它是一种开放性的立体思维，即围绕某一问题，沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决问题的多种方案。因此，也把发散思维称为求异思维。它是一种重要的创造性思维。 用“一题

12、多解”，“一题多变”等方式，发散式地思考问题。,数学中“一题多解”最著名的例子,是几何学中关于“勾股定理”的证法。 勾股定理(被誉为“千古第一定理”): 一个直角三角形的斜边c的平方等于另外两边(a,b)的平方和。即 a2 + b2 = c2 这个定理人们用不同的方法,给出了370多个证明。,这个定理的重要性在于：,1. 它是联系“数”与“形”的第一个重要定理； 2. 它导致了不可公约量的发现（第一次数学危机）； 3. 它开始把数学由计算与测量的技术扩大到证明与推理的科学； 4. 它是最早得出完整解的不定方程，并引导到各式各样的不定方程，包括费马大定理。,1.在欧几里得的中,给出了一种欧几里得

13、的证明:,A,H,K,C,B,D,E,F,G,I,L,因此 同理,两式相加即得定理。,2. 我国赵爽(约222年)在的注释中给出的证明：,ab等于两直角三角形的面积 (b-a)2为中心正方形的面积，显然，有 2ab+(b-a)2=c2， 化简，即可得证。,A,B,C,b,c,a,a-b,弦图,3.,大正方形的面积: (a+b)2=a2+2ab+b2 又等于: 4ab/2+c2=2ab+c2 从而 得证.,a,b,a,b,a,a,b,c,c,美国A.菲尔德总统：,SABED=,SBCE +SABC +SDCE,4.最令人感兴趣的证法之一,他证明时,只是一位议员,是他和其他议员讨论数学问题时想出来

14、的,发表在新英格兰教育杂志上 。,5. 2000年12月1日山东青岛市即墨一中高二六班李亮同学的证明:,思考： 他的证明对否？好不好？,A,C,B,D,a,b,c,BD+AD=AB= c,案例7: 等腰三角形“正度”,(1) 甲： |a-b|; 乙： |-| （）哪个方案较为合理，为什么？ （）对你认为不够合理的方案加以改进 （）请再给出一种衡量“正度”的表达式 案例7： 等腰三角形的“正度”,问题是基于学生知识基础而设计的新问题情境； 有利于学生在新情境中进行探索； 真正考核学生的学习潜能。,案例8: 陆地的面积,试运用地图的比例尺，估计出南极洲的面积，并列出和说明估计方法。 (若有需要,可

15、以在地图上表示出你的估计方法),发散思维可贵之处在于从不同角度开拓思路 案例9 欧拉七桥问题网络几何 发散思维的核心是要有广博的知识，然后充分运用各方面知识去解决问题。 案例10 求几何图形的重心的问题（物理的、几何的），由于考虑问题的背景不同，使用的解决问题的工具不同，使得“一题多解”。 “一题多解”，“一题多变”希望得到它的优化解，不要在过分追求技巧上花费时间和精力。,四、逆向思维,一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给雨伞店老板，小女儿当了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天忧心忡忡，逢上雨天，她担心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。,后来有一位聪明的人劝她

16、：老太太，你真好福气，下雨天，你大女儿家生意兴隆；大晴天，你小女儿家顾客盈门，哪一天你都有好消息啊。这么一说，老太太生活的色彩竟焕然一新。,一则小故事:,逆向思维（又称反向思维）是相对于习惯性思维的另一种思维形式。它的基本特点是从已有的思路的反方向去思考问题。它对解放思想、开阔思路、解决某些难题、开创新的方向，往往能起到积极的作用。,（1）如果遇到某些问题顺推不行，可以考虑逆推。 （2）如果遇到某些问题不能直接解决困难，想法用间接解决。 （3）正命题研究过后，研究逆命题。 （4）探讨可能性发生困难时，转而探讨不可能性。 下面举几个数学中的例子:,探讨可能性发生困难时，转而探讨不可能性。 下面我

17、们例举数学史上两个最有名的问题：,关于非欧几何的发现,欧几里得几何原本第一卷中给出了五个公设，其中前四个简单明了，（前三个是作图的规定，第四个是“凡直角都相等”），符合亚里士多德公理“自明性”的要求，唯独第五公设不仅文字啰嗦，而且所肯定的事实也不明显。 而且只有第5公设涉及到无限,这是人们经验之外的东西.,欧几里得： 三角形内角和 = 两直角 , 2r=c ， a2+b2=c2 罗巴切夫斯基：三角形内角和 两直角 , 2rc ，a2+b2c2 后来许多几何理论都建立在改变和推广欧几里得几何概念的基础之上。例如：1844年格拉斯曼建立的n维仿射空间和度量空间几何。,关于五次及五次以上代数方程根式

18、求解问题,在16世纪之前，数学家们就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代数方程的根式解法。如：,那么，一般五次及五次以上的代数方程是否也存在根式解法呢？,这个问题吸引着众多的数学家，他们相信这种解法一定存在，包括：卡当（Cardano）、韦达(Viete)、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、拉格朗日等等，但相继经历了两百多年的努力都未能找到解法。,阿贝尔从这种逆向思维出发，终于严格地证明了：一般五次及五次以上的方程不能用根式求解，不但彻底解决了这桩历史悬案，并且进而开创了近世代数方程的研究道路，包括群论和方程的超越函数解法。,逆向思维的基本特点,从已有思路的反方向去思考

19、问题。顺推不行，考虑逆推；直接解决不行，想办法间接解决;正命题研究过后，研究逆命题；探讨可能发生困难时，考虑探讨不可能性。它有利于克服思维定势的保守性，它对解放思想、开阔思路、发现新生事物，开辟新的方向，往往能起到积极作用。,例如： 毒蛇、蝎子都令人生畏，但有人大胆地逆向思考，提出了以毒攻毒，结果制成了许多珍贵的药品。 英国医师琴纳(Jener)发现牛痘能够预防天花，实际上也是使用了逆向思维。,“围魏救赵” (“36计”中的第2计),桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。,大梁,逆向思维,间接证明是逆向思维的一种：反证法 案例11：七年级渗透“反证法”，九年级证明“过同一直线上三点不能作圆”，

20、正式引入“反证法”。,逆向应用不等式性质 案例12 若关于x的不等式（a-1）xa2-2的解集为x2，求a的值。 分析：根据不等式性质3，从反方向进行分析，得： a-10，且a2-2=2（a-1） 所求a值为a=0.,五、统计推断,在不确定中找出确定的规律去近似模拟 两方面： （1）用函数模拟数据 案例13： 一次函数中，奥运选手成绩预测 案例14： 二次函数中，刹车距离与刹车速度的关系 （2） 统计推断： 核心：用部分估计总体； 保证：抽样的随机性和样本的大小。 数据分布的估计；特征数的估计。,统计推断,培养统计推断能力应注意的问题 收集数据（将现实问题数学化的问题） 分析数据（抽样的随机性

21、，统计图的误读）,案例15：风景区收费有没有变化？,影响创新的原因,（1）外界对上海中学生pisa测试夺冠评价 应试教育“剥夺中国孩子的创造力” （2）眼界不宽，没有创新的思路，找不到创新的入口 “阻止市场中买卖双方有效配对的障碍分析” 获奖的启示 研究：“60岁以后情商会增加”的启示,建 议,（1）解放学生的手，多种感官参与学习 案例16： 拼图04年中考 拼图09年中考 （2）解放学生的思想 案例17：决策方案 （3）组织学生多看课外书（如“阅读与思考”）， 将学生从习题中解放出来 （4）组织学生做“课题学习”，辅导学生写小论文 案例18： 可能性的大小 案例19： 关于学生平时零用钱主要用途的调查统计课题学习.doc,教育部的一个报告指出： “实施素质教育重点是改变教育观念，尤其是要以培养学生的创新意识和创造精神为主。”,创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学过程中，学生自己发现问题和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括和类比概括得到的猜想和规律，并加以验证是创新的重要方法。 创新教育的载体： 教材中创新思维的素材，课题学习,不当之处,敬请谅解并指正. 谢谢大家! 安徽省教科院 徐子华 0551-2635547 ,