初中数学学与教的案例分析（鲍建生）.ppt

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1、1,初中数学学与教的案例分析 通过研究改进教学,鲍建生 华东师范大学数学系,一、教师成为研究者,20世纪80年代以来，教师教育出现了一种“反思性转向”。以美国为开端，关于反思的讨论迅速在教师教育界兴起。这种讨论的结果就是形成了“教师即研究者”（ Elliott， 1990）的理念，也就是说，教师不应只是别人研究成果的消费者，更应是研究者。,教师即技师（Teacher as technician）,教师即研究者（Teacher as researcher）,学与教在课堂中的统一,教,理论与经验的互动,经验,理论,支持预测 为研究提供分析框架 具有解释的能力 能应用于广泛的现象 有助于对复杂现象的

2、思考 作为资料分析的工具 提供一种深层次交流的语言,源于实践 实用 个人化 嵌于特定的情境之中 比较模糊，不易表征、把握和传授 难以跨领域的交流。,5,教师培训的焦点：PCK,PCK的核心成分,如何做学情调查，了解不同学生的认知基础、认识方式与差异 呈现方式多样化策略的选择与应用 对呈现效果的检测与反馈,如何将特定的知识呈现给不同学生的策略,哪些知识学生易解，教师可以少讲、不讲或让学生自学？ 哪些问题是学生容易混淆或难以理解的？ 学生常见的错误是什么？如何辨析和纠正？,学生在学习某一知识过程中容易误解和混淆的问题,某一知识在整个学科体系中的地位和作用 上位知识与下位知识的联系 新旧知识间的联系

3、 所学知识与儿童生活、经验的联系,知识间的联系,学科本身最核心、最基本的知识 学科的思想、方法、精神和态度 对学生今后学习和发展最有价值的知识,学科最核心、最有价值的知识,指 标,PCK的成分,PCK的构建：实践反思,内容知识 课程知识 教育目标 一般教学法 学习者知识 背景知识,研究风格的转变,三十年前, 教育工作者们很少关注认知科学家的工作, 在认知科学研究的初期, 研究者们的工作是远离课堂的. 今天, 认知研究者们更多的是与教师合作, 在真实的课堂情景中检验和改进他们的理论, 因为在教室里, 他们才能看到不同的课堂情境和不同的课堂交往是如何影响他们的理论在课堂中的应用. 摘自人是如何学习

4、的,走进课堂，解决学与教中的实际问题！,9,培训要求,掌握基本的数学教育研究方法； 根据自己的教学实践和研究兴趣，选择若干个研究问题，形成初步的研究框架； 根据自己的研究框架，查阅和分析相关的理论和研究； 构建具体的研究方案和工具（如问卷、测试卷、访谈提纲等）,10,二、学习理论：有效教学的保障,如果我必须把所有的教育心理学理论化约成一个原则的话，我宁愿这么说：影响学习的一个最重要的因素，即是学习者已经知道的事，只要确信这一点，并且以此作为教学的依据即可。 D.P.Ausubel的名言,新书简介,本书分上下两篇：上篇重点介绍五个经典的、对数学学习有较高理论价值的研究成果；下篇从微观的角度去探讨

5、学生学习数学的心理基础与过程。 本书对近二十年来国际数学教育心理研究领域的主要成果和研究方法进行了梳理和剖析，其目的是：,帮助读者拓展眼界，了解当代数学教育的研究前沿； 提供研究的观点、框架、方法、案例和问题。 为教师的数学课堂教学提供理论支持，帮助他们解释教学中的疑难与困惑，提高教学的效率。,（一）让学习理论来指导教学实践,理论建构的第一条途径：,理论建构的第二条途径：,一般学习 理论,数学学习 中的问题,1、范希尔的几何思维水平,在50年代的荷兰，几何教学所面临的问题是很普遍的（Freudenthal, 1958）。范希尔夫妇（Pierre Van Hiele & Dina Van Hie

6、le）作为荷兰一所中学的数学教师，每天都亲身经历着这些问题。最让他们感到困惑的是教材所呈现的问题或作业所需要的语言及专业知识常常超出了学生的思维水平，这使得他们开始关注皮亚杰的工作。经过一段时间的研究，他们提出了几何思维的五个水平。这一成果最初发表在他们夫妇于1957年在乌特勒克大学共同完成的的博士论文上。,几何思维水平的划分,几何思维水平的划分（续）,范希尔理论的特点,次序性：几何思维水平的发展是循序渐进的，要在特定的水平顺发展，必须具有前一水平的各个概和策。也就是说，学生在没通过第n-1层次之前，无法到达第n层次。 进阶性：学生几何思维水平的提升是经由教学，而是随龄成长或心成熟自然而然的。

7、没有一种教学方法能让学生跳过某一水平而进入下一水平。 内隐性及外显性：某一水平的内隐性质成为下一水平的外显性质，如某一个水平上的个人化的模糊概念在下一水平上通过外显的表征工具(如符号)而得到澄清。 语言性：每一层次有其专属的阶段性语言符号。 适配性：如果学生的思维处于一个水平,而教师的教学处于另一个水平,那么就不可能取得预期的教学效果. 尤其是当教师的教材内容、教具选择及语汇使用均属于较高层次时，学生将无法解、思考其过程与结果。,范希尔理论的应用,评价方面：编制范希尔几何思维水平测试卷，测量我国学生的几何思维水平并进行差异性分析； 课程方面：按照学生实际的几何思维水平，确定教学目标、内容和顺序

8、； 教学方面：根据学生所在的几何思维水平的特征进行针对性的教学，帮助学生从较低层次过渡到较高层次。 研究方面：确定其他数学教学内容的思维层次，如代数，概率、统计等。,2、中小学生数学能力研究,前苏联心理学家克鲁切茨基从50年代末开始就对中小学生数学能力进行了长达十二年的研究. 他运用深度访谈、问卷调查、跟踪分析、出声思维等质的研究方法，分析了不同能力的学生解题时的心里特性，以及数学能力组成成分中的类型、年龄、性别差异以及数学能力与个性的关系。这些研究成果集中反映在其著作中小学生数学能力心理学中。这本书的俄文版在1968年出版后，于1976年被基尔帕特里克等人翻译成英文版（Krutetskii,

9、 1976）。分别于1983、1984和1993年由我国上海教育出版社、教育科学出版社和九章出版社出版的中译本均译自这本英文版。,研究的问题,数学能力特殊性问题。数学能力本身是作为一种特殊形式存在，与一般智力范畴不同呢，还是数学能力是一般心理过程和人格品质的特殊化呢？ 数学能力的结构性问题。数学禀赋是单一性的（单独的、不可再分的）还是综合性的（复杂的）？如果是综合性的，人们就可追问关于数学能力的结构问题，也就是复杂心理形式的组成成分问题。 数学能力的类型差异问题。是否存在着不同类型的数学秉赋或者有一个主要成分而只是在对某些数学分支的兴趣和倾向上出现差别？,中小学生数学能力结构,1. 获得数学信

10、息 A. 对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。 2. 数学信息加工 在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对数学符号进行思维的能力。 B. 迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。 C. 缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行思维的能力。 D. 在数学活动中心理过程的灵活性。 E. 力求解答的清晰、简明、经济与合理。 F. 迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）。 3. 数学信息保持 A. 数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解题方法及探讨原则的概括性记忆）。 4

11、. 一般综合性组成成分 A. 数学气质。,21,如何测量学生的数学能力？,普通测验： 考查学生知道什么和会什么。 能力测验： 考查学生解题的容易程度和迅速程度,研究中小学生数学能力的实验题体系,系列1：没有提出问题的题目 系列2：信息不完全的题目 系列3：有多余信息的题目 系列4：具有互相渗透因素的题目 系列5：单一类型的题目体系 系列6：不同类型的题目体系 系列7：从具体到抽象逐渐过渡的题目体系 系列8：按照特定的类型编题 系列9：证明题 系列10：运用题目的各种条件列方程式,研究中小学生数学能力的实验题体系,系列11：不现实的题目 系列12：形成人工概念 系列13：有几种解法的题目 系列1

12、4：变化内容的题目 系列15：重建一种运算的题目 系列16：暗示“自我限制”的题目 系列17：正向和反向的题目 系列18：启发（探索）性课题 系列19：关于理解和逻辑推理的题目 系列20：系列题目,研究中小学生数学能力的实验题体系,系列21：数学诡辩题 系列22：项目难记的题目 系列23：在解答中具有不同程度直观性的题目 系列24：既有语言又有直观表达的题目 系列25：有关空间概念的题目 系列26：揭露非智力活动方面的直观形象与语言逻辑 成分之间关系的题目,能力差异方面的研究,能力问题也就是个别差异问题。如果每个人在各方面的发展和在从事任何活动上都有同样的能力，那么讨论能力问题也就没有意义了。

13、我们谈论能力问题，就等于预先假定了人们之间有某些个别差异。没有一个人在任何事情上都是无能的，每个人都有最适宜从事某种活动的能力，不过，同是从事一样的工作，也有能力水平上的差异。 （克鲁切茨基，1984）,数学资优生的个案研究； 好、中、差学生的能力特征,26,3、数学思维研究,斯根普（RICHARD SKEMP）,（March 10, 1919 June 22, 1995）,“他走进的是一片空地，留下的却是伟大的建筑。” （Sfard, 2002）,28,工具性理解与关系性理解,前者是指“只管公式，不管理由” ，而后者则“不仅知道要做什么，而且知道理由” 。,工具性数学的优点,工具性数学一般比

14、较容易理解。有些课题，如两个负数相乘，或分数相除，很难从关系上去理解。 “负负得正”以及“除以分数等于乘以这个分数的倒数”是很容易记住的规则，但不易解释其原因。 教学的效果立竿见影，而且更明显。首先，学生如果能够迅速地得出正确的答案，当然是一件好事；其次，我们不能低估学生从中得到成功感受的重要性。对这些学生来说，最重要的是需要成功的体验来恢复自信心，而在工具性数学上，将比在关系性数学上更容易获得成功。 比起关系性数学来牵涉的知识较少，因此，用工具性数学思考，可以更快速而且可靠的得到正确答案。以至于一些数学家也常运用机械式数学思考。,关系性数学的优点,比较适应新的任务。关系性理解不仅会知道那种方

15、法有用而且知道为什么有用，能够把方法和问题加以关联，而且还可以调整方法来处理新问题。而工具性理解则需要学生记住哪些问题可以用哪种方法来解而哪些问题不行，并且对不同的问题要学不同的方法。 比较容易记住。理解概念间的相互关系让人能记得它们是整体的关联部份，就变得比较容易，而且能减少重新学习的时间。 关系性知识本身可以成为有效的目标。这可以增加学生的学习动机，而减低对外界奖惩的需要水平。 关系性图式是一个高质量的有机体。关系性理解使人们不满足于对已有材料的理解，还会主动去找寻新的材料并探索新的领域。,31,David Dall的工作,http:/www.warwick.ac.uk/staff/Dav

16、id.Tall/,32,（1）数学思维发展的一个基本框架,（2）认知根源,认知根源（Cognitive Root）的概念最初是David Tall在一篇谈论“概念表象”、“一般组织者”及计算机辅助教学的文章中提出的，当时的定义是“一个学习者容易理解、又可以作为整个理论基础的抛锚式概念”。上述说法后来经过了几次修改，特别是在提出“认知单元”的概念之后，David Tall开始把认知根源作为认知单元的一个特别类型，其基本特征是：,对某个学习序列的初学者来说是一个意义丰富的核心知识的认知单元； 可以在这个认知单元的基础上通过一些认知扩充策略得到初步的发展而不必进行认知的重构； 在后继的发展中具有长期

17、的意义； 在发展更复杂的理解时仍具有重要的作用。,34,数学认知根源的一个典型的例子函数,虽然对多数学生而言，函数并不是一个“容易理解”的概念，但韬尔之所以仍把它作为一个认知根源的主要原因在于函数概念在两个维度上具有“丰富的联系”：其一是“面（facets）”上（表示方式），其二是“层（layers）”上（水平）。,（3）过程与概念,过程（process）与概念（concept）是学习理论中的两个基本概念，但在数学中，人们发现，同一个数学符号常常具有双重的意义：既可以作为过程，也可以作为概念（Gray 1991）。例如，符号“32”就可以同时看作为一个（加法）过程，与一个（和）的概念。 为了把

18、这种概念与其它概念区别开来，格雷（Eddie Gray）与韬尔各取了“process”（过程）和“concept”（概念）的一部分而造出了一个新词“procept”。,36,具有过程与概念两重性的数学符号,37,（4）数学证明的三个水平,先看一个例子：,证法一,证法二,证法三：数学归纳法,38,(5)数学的三个世界,4、 APOS理论,活动 （Action）,程序 （Process）,图式 （Schema）,对象 （Object）,内化,压缩,同化或顺应,APOS研究的三个基本环节,对某个特定数学概念运用APOS理论进行任务分析； 在理论分析的基础上发展和应用一系列的教学设计（其中包括一些非标

19、准的教学策略如合作学习、计算机辅助教学等）； 收集和分析测试的数据以便修改原先的理论分析和教学设计。,41,APOS理论的应用,APOS理论有两个方面的作用： 提供有效的教学设计。例如，Asiala et al. (1997) 和 Repo (1996)都发现，利用APOS理论设计的微积分课程显著优于传统的课程。 用于分析学生的理解。例如，Santos and Thomas (2003)构建了一个微积分知识的表征框架，在这个框架中，他们把符号表征、图像表征和数表征进一步划分为以下几个类型：程序定向的（procedure-oriented）、过程定向的（process-oriented）、对象定

20、向的（object-oriented）和概念定向的（concept-oriented）。,42,（二）聚集数学学习的核心问题,43,1、概念理解,数学概念理解研究的一般假设,数学教学的根本目的是学生的理解； 数学概念有自身的特点； 学生对数学概念的理解存在于他自己的头脑中； 可以通过一些外部的行为特征去诊断学生头脑中的理解； 学生对数学概念的内部理解无论在质量上还是在数量上都超过其外部的行为特征； 学生的理解是按水平发展的，不同学生的理解有不同的水平； 适当的教学可以改进学生的理解水平。,45,数学概念理解的主要目标,确认学生在各种数学概念和程序上的初始概念的形成过程； 促使某一概念从一种理解

21、水平向另一水平转化或产生转化的因素和过程； 研究学生头脑中这些概念联结而成的概念结构和正规数学概念结构之间的异同； 描述这些概念化过程怎样逐步演变直至成熟； 辨别影响发展过程的种种因素。,46,（1）数学概念的基本特征,数学概念发展的抽象性 数学概念表征的多元性 数学概念理解的层次性 数学概念联结的系统性 数学概念的二重性,47,（2）数学概念学习的心理过程,概念的形成 概念的同化,48,（3）数学概念学习的认知障碍,认知冲突 概念误解 概念转变,49,（4）促进数学概念理解的教学途径,变式教学： 通过直观或具体的变式引入概念 通过非标准变式突出概念的本质属性 通过非概念变式明确概念的外延,脚

22、手架：,通过搭建脚手架降低任务的难度； 在没有完成低层次任务的情况下也可以从事高层次的任务,（5）概念理解的评价,感知指学生对这个概念的认识与信念； 表征指学生对概念的描述和表示，其中包括书面的，图形的，表格的和口头的； 联结指学生在概念的各种表征之间建立联系，理解的程度就取决于联结的数量与强度，虽然这里的联结指的是内部的联结，但他们同时指出，这些内部的联结多少可以通过外部的行为特征找到证据； 应用指学生运用这个概念去解决问题。,51,2、技能习得,虽然练习不一定会达成技能的精通，但练习是技能精通的必要条件。成为优秀的游泳选手、音乐家，没有在明确的指导及教学之下投入大量时间的练习是不可能的。令

23、人诧异的是，在运动中基本技能的广泛练习是公认的事，但却在数学教育中很少被接纳。 我不断地练习，直到困难的变成简单，简单的变成习惯，习惯变成一种美。 （Brown, 1998）,数学技能的基本特征,数学心智技能的直接对象是抽象的数学概念、命题与表象，而不是具有物质形态的客观对象。 数学心智技能的动作是借助内部言语完成的，其动作的执行是在头脑内部进行的，主体的变化具有很强的内隐性，很难从外部直接观测到。 心智活动的简缩性，数学心智技能中的动作成分是可以合并、省略和简化的。 在涉及比较复杂的推理过程或运算程序时，数学心智技能的完成需要借助于外部的表征。 数学技能通常都依附于一定的数学概念、原理与法则

24、。 在某些高层次数学技能中，已不再像低层次的技能那样需要一定的程序和规则，从而极大地提高了技能实施的速度与效率。,作为“双基”之一的数学基本技能,数值运算技能 符号操作技能 图形处理技能 数据分析技能 推理论证技能，使学生认识到推理和证明是数学的一个必需的、有效的成分；作出和研究数学猜想；建立和评价数学论断与证明；选择和运用各种恰当的推理和论证方法 数学交流技能，能掌握数学语言及符号的意义与书写形式和格式;能熟练进行数学语言与自然语言（母语）之间的翻译转换;能够用多种方式表述数学知识、问题和想法；能运用数学语言正确、迅速、规范地将解(证)题过程表述出来;能用数学概念原理及思想方法去解释一些自然

25、和社会现象；等等。,高层次数学思维技能,高层次的思维是非算法性的，即活动的思路不是事先完全给定的（课程中大部分的内容仍是算法，强调让学生掌握各种不同的算法） 高层次的思维常常是复杂的，从任何一个单一的观点来看，整个思路不是“可见的”（标准的例题有着可见的思路） 高层次的思维经常会产生多种解题方法，而不是唯一的，对每个解都要下一定的功夫，并且有着体验和收获（几乎都是简单的唯一的解） 高层次的思维包括了对细微差异的判断和解释说明（既不要求判断，也无须解释） 高层次的思维涉及了多种标准的比较和应用，甚至各标准之间有时会有抵触（简化为在内容上严格定义的一个标准，强调单一的因素和问题的清晰性） 高层次的

26、思维常常包含不确定性，并不是与手边任务有关的每一件事都是知道的（确定的所需要的所有信息都给定了） 高层次的思维包含思维过程的自我调节（外部的调节） 高层次的思维包含自己给出含义，要在明显的无序中找出结果来（含义是预先给定或设定的，只强调辨认出问题和已知数学知识的关系） 高层次的思维是相当费力的在所要求的种种详尽说明和判断中含有相当多的智力活动（把标准化练习简化了，因此只需很少的精力，要求的只是记忆和操练）,技能获得的三个阶段,陈述性阶段。学习者获得有关步骤或程序的陈述性知识。比如陈述分数加法的规则或者能够描述在驾驶汽车时该如何换档。在此阶段，学习者对活动的完成是非常艰辛的，需要逐条记忆每一项规

27、则，并缓慢地操作每一步骤。 联合阶段。在这一阶段，学习者仍需思考各个步骤的规则，但经过练习和接收到的反馈，学习者已能将各个步骤联合起来，流畅地完成有关的活动。 自动化阶段。随着进一步的练习，学习者最终进入自动化阶段。在此阶段，学习者常常无需意识的控制或努力就能够自动完成有关的活动步骤。 安德森和加涅,56,陈省身的话,做数学，要做得很熟练，要多做，要反复的做，要做很长时间，你就明白其中的奥妙，你就可以创新了。灵感完全是苦功的结果， 要不灵感不会来。 摘自中央电视台焦点访谈,57,华罗庚的话,妙算还从拙中来，愚公智叟两分开。积久方显愚公智， 发白始知智叟呆。埋头苦干是第一， 熟能生出百巧来。 勤

28、能补拙是良训， 一分辛劳一分才。,58,熟能生巧的理论思考,熟能生巧， 是中国文化传统的组成部分，也是中国数学教育重要理念之一。 记忆通向理解 速度赢得效率 严谨形成理性 重复依靠变式 张奠宙,改进双基教学,聚焦Big Ideas,探究教学,降低技巧,精致练习,60,3、问题解决,一个重大的发现可以解决一个重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现。你要求解的问题可能不大，但如果它能引起你的好奇心，如果它能使你的创造才能得以展现，而且，如果你是用自己的方法去解决它们的，那么，你就会体验到这种紧张心情，并享受到发现的喜悦。在易塑的青少年时期，这样的体验会使你养成善于思维的习惯，并在

29、你的心中留下深刻的印象，甚至会影响到你一生的性格。 波利亚,61,（1）什么是“好的”数学题,一个好问题必须： 是容易接受的（不需要大量的技巧） 有多种解题方法（或者至少有多种思路） 蕴涵了重要的数学思想（好的数学） 不故设陷阱(通性通法) 可以进一步开展和一般化（导致丰富的数 学探索活动）,匈菲尔德，1994,62,“好的”数学题,将一根长为20cm的铁丝折成一个矩形，问长和宽各为多少时，矩形的面积最大？,a,b,20cm,多种解法,解法1,解法2,解法3,“好的”数学题,如图、图所示，一张正方形纸片ABCD，将B折至AD的中点E，折痕为FG将C折至AD的中点E，ML为折痕你能得到哪些结论？

30、,图1,图,“好的”数学题,如图是一个边长为3的大立方体，它由27个单位立方体组成，将大立方体的六个面都涂上同一种颜色，分别求恰有1面涂色、2面涂色、3面涂色以及没有被涂色的小立方体的个数； 如果是一个边长为4的立方体呢？ 如果是一个边长为5的立方体呢？ 如果是一个边长为n的立方体呢？,8,12（n - 2）,6（n - 2）2,（n - 2）3,66,好的数学题（应用）,最短网络问题,1967年前，贝尔公司按照连结各分部的网络长度来收费。但在1967年，一家航空公司戳了贝尔公司一个大洞，由此改变了收费标准.,67,最短网络问题,该航空公司要求增设一个周转站（新点P），连接4点的新网络的最短路

31、线为PAPBPC。最短新路径之长N比原来只连三点的最短路径O要短。 实验表明，这样得到的网络不仅比原来节省材料，而且稳定性也更好。,A,B,C,P,68,PollakGilbert猜想,由于最短网络在运输、通讯和计算机等现代经济与科技领域中都有重要的应用，对这个问题的研究也越来越深入。问题的对象已由三个点扩展到任意有限个点集，并最终提出了一个著名的数学猜想：斯坦纳比猜想。,69,（2）解题策略,波利亚的“怎样解题表”,波利亚的“怎样解题表”,波利亚的“怎样解题表”,波利亚的“怎样解题表”,数学问题解决基本流程,结论,检验,尝试解题,实施,解题方案,探究,计划,原理与系统,相关问题或新信息,分析

32、,给定问题,小困难,主要困难,匈菲尔德，1985,（3）影响数学问题解决的主要因素,知识与经验,表征与探索,监控与调节,情感与信念,影响学生数学问题解决的四个因素（匈菲尔德）,76,（4）数学问题解决的评价,77,（5）我国问题解决教学中存在的常见问题,教师只管自己讲，学生： 不理解； 不动脑筋； 缺乏兴趣 过分强调对题型的死记硬背； 过分强调解题的技巧，不重视通性通法； 简单问题复杂化； 题量太大，教师蜻蜓点水，学生一知半解； 对解题过程缺乏回顾和总结； 没有做到举一反三。,78,四、教对经验的理论思考,（一）数学课堂教学的分析框架,概念界定,水平模型,分类模型,因素模型,指标体系,过程模型

33、,研究工具的构建,学生数学认知水平的测量,可测量的行为特征,（例）,81,1、水平框架（举例）,认知水平的分类,记忆型任务 包括对已学过的事实、法则、公式以及定义的记忆重现或者把事实、法则、公式和定义纳入记忆系统。 使用程序不能解决，因为不存在某种现成的程序或因为完成任务的限定时间太短而无法使用程序。 模糊这种任务包括对先前见过的材料的准确再现以及再现的内容可以明白而直接地陈述。 与隐含于已学过的或再现的事实、法则、公式和定义之中的意义或概念无任何联系,无联系的程序型 算法化。程序的使用要么是特别需要，要么明显基于先前的教学、经验或对任务的安排 成功完成任务需要的认知要求有限。对于应做些什么和

34、如何做几乎是一目了然 与隐含于程序之中的意义或概念无任何联系。 更强调得出正确答案而不是发展数学的理解。 不需要解释或需要的解释仅仅是对解题程序的描述。,有联系的程序型 为了发展对数学概念和思想的更深层次理解，学生的注意力应集中在程序的使用上。 暗示有一条路径可以遵循（显性地或隐性地），这种路径即是与隐含的观念有密切联系的、明晰的、一般性程序。 常用的呈现方式有多种（如可视图表、学具、符号、问题情景）。在多种表现形式之间建立起有助于发展意义理解的联系。 需要某种程度的认知努力。尽管有一般的程序可资遵循，但却不能不加考虑地应用。为了成功完成任务和发展数学的理解，学生需要参与存在于这些程序中的观念

35、。,做数学 需要复杂的、非算法化的思维。（即任务，任务讲解、或已完成的例子没有明显建议一个可预料的、预演好的方法或路径借鉴。 要求学生探索和理解数学观念、过程和关系的本质。 要求对自己的认知过程自我调控。 要求学生启用相关知识和经验，并在任务完成过程中恰当使用。 要求学生分析任务并积极检查对可能的问题解决策略和解法起限制作用的因素。 需要相当大的认知努力，也许由于解决策略不可预期的性质，学生还会有某种程度的焦虑。,认知水平的分类,84,课堂认知水平的变化情况,做数学,无联系的程序,有联系的程序,记忆,做数学,保持,下降,下降,下降,85,课堂认知水平的变化情况,无联系的程序,有联系的程序,记忆

36、,做数学,上升,下降,下降,保持,有联系的程序,86,课堂认知水平的变化情况,无联系的程序,有联系的程序,记忆,做数学,上升,下降,保持,上升,无联系的程序,87,课堂认知水平的变化情况,无联系的程序,有联系的程序,记忆,做数学,上升,保持,上升,上升,记忆,88,高认知水平保持的七个要素,给思维和推理搭“脚手架”； 为学生提供元认知方法； 示范高水平的操作行为； 维持对证明、解释或意义的强调； 任务建立在已有知识基础上； 在概念间建立联系； 适当的探索时间。,89,高认知水平下降的六个因素,情境问题常规化，教师包办代替； 重点转移到追求答案的正确、完整，不注重意义、理解、概念获得等方面； 时

37、间过多或过少； 课堂管理问题； 给学生的任务不恰当，指向不明； 教师对学生低层次结果或过程迁就。,90,2、因素框架举例：哪些因素影响高水平的数学教学?,教师的教学目标 概念与应用的教学处理 对多种解法的要求 数学原理、性质与定义的用法 是否包含证明 是否强调概念之间的联系 学生作业的类型 TIMSS课堂录像带研究的结果,91,、结构框架举例：学习者的观点国际比较(LPS),课1 课2 课3 课4 课5 课6 课7 课8 课9 课10,92,（二）提炼传统的教学经验,93,中国特色数学教育的六个特征,重视新课“导入”设计 实行有效的“尝试教学” 大班级上进行师生互动 开创数学思想方法教学 变式

38、方法引领练习 熟能生巧推动创新 张奠宙，2009.11,中国数学课堂的特点,大班级教学； 课堂组织严密、内在连贯一致； 教学以讲解和说明为主； 启发性提问和师生互动； 重视数学推理； 重视知识的发展和建构； 内容要求较高; 重视程序性问题练习，强调格式； 独立练习与班级讨论; 问题之间的数学联系和变式； 数学和符号表示，缺少现实情境联系. 黄荣金，2006,95,熟能生巧的理论思考,熟能生巧， 是中国文化传统的组成部分，也是中国数学教育重要理念之一。 记忆通向理解 速度赢得效率 严谨形成理性 重复依靠变式 张奠宙：中国数学双基教学,双基模块的三个维度,知识点串联成知识基桩,变式应用和训练,数学

39、思想方法的提炼,张奠宙,一条可行的研究思路,青浦实验（如变式教学） GX实验 基本图形分析法 上海育才的“读读、议议、练练、讲讲“ （段力佩 ） 李庾南“自学、议论、引导”教学法 孙维刚的 “结构教学法” 邱学华的“尝试教学法” 馬明、陳振宣、赵宪初、吳正宪、杨象富等大批的名师和不知名的优秀教师,挖掘和提炼优秀的教学经验,梳理国内外的学习理论研究成果,理论模型 研究课题 研究方法,（三）存在的问题和不足,一些研究认为： 中国学生善于解决问题，但不善于提出问题； 中国学生善于解常规问题，不善于解非常规的数学问题； 中国学生缺少批评性思维和创新意识； 中国学生既不会独立思考，又缺乏合作精神？,你同

40、意上述观点吗？,存在的问题,数学认知水平测试17年前后比较 （青浦实验“新世纪行动”研究小组，2008）,100,存在的问题,小步子：学生缺少数学探究的机会 赶进度：学生缺少数学探究的空间 套题型：学生缺少数学探究的意识 重技巧：学生缺少数学探究的策略 看分数：学生缺少数学探究的动力 牵着走：学生缺少数学探究的氛围,101,研究的切入口： 提高学生的数学认知水平,实验,实验周期：3年，每年一轮。实验的基本假设是：,高认知水平的数学任务,有效的教与学方式,实验设计： （1）日常教学的渗透；（2）活动课；（3）课外长作业。 研究方法：（1）提升、保持、下降课堂教学数学认知水平的因素分析；（2）教学

41、案例分析；（3）数学认知水平测试；（4）跟踪访谈；等。 实验班：实验学校（上海静安区与苏州）的全体学生； 对比班：实验学校参与实验前的同年级学生。,103,五、几点建议,104,选择一个适合自己的研究方向,数学教育涉及的研究领域和方向很多，教师的工作又比较繁忙，不可能关注数学教育研究的方方面面，因此，首先要选择一个适合自己的研究方向，作为自己的立足之地，然后安营扎寨，踏踏实实地做一点自己的东西。现在学术界的新观点、新口号很多，但笔者以为，做研究不能赶潮流，因为引领潮流的毕竟只有极少数的人，大多数只能随波逐流，容易迷失方向。大约在7年前，笔者因为出国访学的事，罗列了自己的一些研究成果去拜访张奠宙

42、先生。先生的评价是：你的研究只是东一榔头、西一榔头，看不出自己的研究特长。这让我很是振动。从此，我就在努力寻找适合自己的研究领域。,105,从“小”做起,喜欢做大做空，是我国传统教育研究的一个通病，为此，张奠宙先生曾多次呼吁要改一改我们的文风。从研究角度来看，大体上有两种：一种是“望远镜”式的，高瞻远瞩，整体把握；另一种是“显微镜”式的，选一个小的切入点，逐步深入。从目前的国际趋势来看，更喜欢后一种方式；而从我们教师的实际情况看，比较合适的也是后一种。 本刊的老主编唐复苏教授经常挂在嘴上的一句话是：文章不在长短，有一得之见即可。这一得之见指的是自己的独到见解，而不是泛泛而谈。我们不能期望一篇短

43、文能够讲出许多的大道理。,106,注意相关文献的积累,做研究不能靠拍脑袋。虽然论点的选择可以来自经验，但经验不能代替有效的论据。在一些学术期刊的文章中，我们仍然可以看到：“我认为”这类比较随意的断言，却始终没有给出为什么可以这样认为的证据，则不是研究的态度。当然，像中学数学月刊这样兼顾学术性和实用性的刊物，并不排斥有效教学经验的分享，但要成为一个研究者，就不能仅仅是经验之谈。 提高研究水平的一条具体措施就是注意相关文献的搜集与积累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，别人已经做了哪些工作。这样才不会原地踏步，或者做重复劳动。我国老一代数学教育研究者戴再平教授在这方面可以说是一个典范，他不仅自费订

44、阅几乎全部的中小学数学类期刊，而且制作了大量的学术卡片。正是这种勤奋，使得他几乎可以著作等身。虽然在网络时代，研究资料的搜集更为便捷，但也同样需要日积月累。,107,掌握基本的研究方法,长期以来，学科教育研究常常受到学科专家的质疑，其根本原因就是研究方法的科学性。与自然科学不同的是，教学假设是不能用纯逻辑的方法来论证的，教学实验也通常是不可复制的。因此，研究方法的适用性及信度和效度就成为关键的因素。近年来流行的教学研究方法包括：案例研究，问卷调查，深度访谈，出声思维，录像带分析，教学实验等等。这些方法并不需要高深的理论知识，用几次就熟悉了。,108,增加合作与交流,现代社会越来越强调人与人的合

45、作交流，数学教育研究也是一样。这里的合作交流不仅仅指研究结果的呈现，更在于研究过程的开放性。近年来，国外的一些研究人员往往从选题开始就在网络上公布，并毫无保留地展现自己的研究过程，包括其中的困惑，希望引起别人的关注与介入。这种做法，于人于己都有益处。,109,教师参与研究的程度,汉森（Henson, 1996）曾将教师参与研究的程度分为三级： 第一级为“协助者”（helper）的角色，即仅提供教室与学生给外来的研究者使用； 第二级为“初级研究者”（junior partner）的角色，即虽共同参与研究，但并不参与任何研究上的决策； 第三级为“实质研究者”（researcher）的角色，即不论单

46、独进行或与他人合作研究，皆处于主导研究的地位。 研究表明，唯有位于第三级的教师，才能确实利用研究来改进自身的教学。,110,六、网路资源,111,中国数学教育研究论坛,112,NCES：http:/nces.ed.gov/pubsearch/,搜寻方式灵活多样,113,ENC: http:/www.enc.org/professional/learn/change/,114,ERIC: http:/www.eric.ed.gov/,115,ADT: http:/www.library.unsw.edu.au/thesis/adt-ADT/info/thesite1.html,116,Math

47、Archives: http:/archives.math.utk.edu/topics/geometry.html,117,Math Forum: http:/mathforum.org/,118,JCU: http:/www.library.jcu.edu.au/Educ/resources/maths.html,119,心理学网站：http:/www.psychology.org/,120,研究频道：http:/www.researchchannel.org/,121,CPB: http:/www.learner.org/resources/,122,弗赖登塔尔研究所：http:/www.fi.uu.nl/,123,台湾数学教育学会： http:/www.math.ntnu.edu.tw/cyc/_private/mathedu/,124,香港教育统筹局 http:/emb.gov.hk/,谢 谢 ！,,