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1、34 生活中的优化问题举例,1知识与技能 了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2过程与方法 能利用导数求出某些特殊问题的最值,本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题 本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型 解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需先审清题意，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的因变量y与自变量x，把实际问题化为数学问题，即列出函数关系式yf(x)，根据实际问题确定yf(x)的定义域,解应用题的思路和方法 解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际
2、问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去，其思路如下：,(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系； (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定其答案 注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数定义域是关键,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 ,
3、优化问题,例1 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？,解析 设箱高为xcm，则箱底边长为(602x)cm，则得箱子容积V是x的函数， V(x)(602x)2x(00， 当10x30时，V(x)0. 当x10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值V(10)16000(cm3),答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大，最大容积为16000cm3. 点评 在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小
4、值不必再与端点的函数值进行比较,已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽 解析 如图所示，设出AD的长，进而求出AB，表示出面积S，然后利用导数求最值 设AD2x(0x2)， 则ABy4x2， 则矩形面积为 S2x(4x2)(0x2)， 即S8x2x3，,例2 将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？,点评 该题中涉及的量较多，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的,已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值,例3 某汽车
5、生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加已知年利润(每辆车的出厂价每辆车的投入成本)年销售量,解析 (1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10(1x)；出厂价为13(10.7x)，年销售量为5000(10.4x)因此本年度的年利润为： p13(10.7x)10(1x)5000(10.4x)(30.9x)5000(10.4x)1800x21500x15000(0x1),(1)写出该厂的日
6、盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式； (2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？,例4 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元 (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？,一、选择题 1三次函数当x1时，有极大值4；当x3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是 ( ) Ayx36x29x Byx36x29x Cyx
7、36x29x Dyx36x29x 答案 B,答案 A 解析 f(x)3x23b3(x2b)，令f(x)0，即x2b0，,答案 D,答案 C,二、填空题 5面积为S的一切矩形中，其周长最小的是_,故面积为S的一切矩形中，其周长最小的是以为边长的正方形,6函数f(x)x2(2x)的单调递减区间是_,三、解答题 7用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？,令V(x)0得，x0(舍)或x80. 当x在(0,120)内变化时，导数V(x)的正负如下表： 答：水箱底边长取80cm时，容积最大，最大容积为128000cm3.,