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1、空 间 任 意 力 系,第 五 章,1、回顾力在直角坐标轴上的投影,X = F sin cos Y = F sin sin Z = F cos,X = F cos Y = F cos Z = F cos,2. 回顾力对点的矩,力F 对点O的矩矢为定位矢量,=(yZzY )i + (zX xZ)j + (xY yX )k,大小为：|MO (F)|= Fh =2OAB OAB为图中阴影部分的面积,力对轴之矩是力对绕该定轴转动的物体作用效果的度量,门上作用一个力 F,假定门绕 z 轴旋转,将力 F 向 z 轴和 xy 面分解成两个分力 Fz 和 Fxy。,分力 Fxy 使门绕 z 轴旋转。,5-1
2、力对轴的矩,力对轴的矩之定义,正负可以按右手法则确定,即 M z ( F ) = M O ( Fxy ) = Fxy h = 2OAB,力对轴的矩等于零的情形： 力与轴相交( h = 0 ) 力与轴平行( Fxy = 0 ) 一句话: 只要力与轴共面,力对轴的矩等于零。,力对轴的矩是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于此平面与该轴的交点的矩的大小。顶着坐标轴看力使物体绕轴逆时针旋转为正。,力对轴的矩之解析表达式,设空间中有一个力 F,A(x, y, z),力作用点 A的坐标为（x，y，z ）,力 F 在三坐标轴的投影分别为 X,Y ,Z,A(x, y, z),A(x, y
3、, z),根据合力矩定理，得 M z ( F ) = M O ( Fxy ) = M O ( Fy ) + M O (Fx ) = x Y y X,按相同方法可求得的其他两式，合并写成：,M x ( F ) = y Z z Y M y ( F ) = z Xx Z M z ( F ) = x Y y X,力对点的矩和力对轴的矩的关系,力对点的矩矢量可以写成：,可得 M O ( F ) x = M x ( F ) M O ( F ) y = M y ( F ) M O ( F ) z = M z ( F ),M O ( F ) = M O ( F )x i + M O ( F )y j + M
4、O ( F )z k = ( yZ zY )i + ( zX xZ )j + ( xY yX )k 而 M x ( F ) = yZ zY M y ( F ) = zX xZ M z ( F ) = xY yX,结论： 力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。,力对点O的矩的大小为,力对点O的矩的方向余弦为,图中力F的大小为10kN，求的力 F 在 x、y、z三坐标轴的投影，以及对三坐标轴的矩和对O点的矩。(长度单位为m),例 5-1,解：,1、先求F的三个方向余弦,2、求力的投影,3、求力对轴的矩,已算得：,（求力对轴的矩也可以先将力 F 分解为三个分力，再由合力矩定理分别求
5、出力对轴的矩）,4、求力F对O点的矩,由 MO (F ) = M x i + M y j + M z k 得：,即,手柄 ABCE 在平面 Axy内，在D 处作用一个力F，它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为，若CD = a，BCx轴，CE y轴，AB = BC = l。求力F对x、y和z三轴的矩。,例 5-2,显然， Fx = Fsin Fz = Fcos 由合力矩定理可得：,解法1,将力F沿坐标轴分解为Fx 和Fz。,M x ( F ) = M x ( Fz ) = -F z (AB+CD) = - F ( l + a )cos M y ( F ) = M y ( Fz ) = - F z (B
6、C) = - Fl cos M z ( F ) = M z ( Fx) = -F x (AB+CD) = -F ( l + a )sin,解法2,直接套用力对轴之矩的解析表达式： 力在 x、y、z轴的投影为 X = F sin Y = 0 Z = - F cos ,M x( F )=yZzY =(l + a)(- Fcos) - 0 =-F( l + a )cos M y ( F ) =zX xZ = 0 - ( -l ) (- Fcos) = - Flcos M z ( F ) = xYyX =0-(l + a )(Fsin)= -F( l + a )sin,5 - 2 空间力系向一点简化,
7、O : 简化中心,R = F1 + F2 + F3; M o= M1 + M2 + M3 ;,结论,空间任意力系向一点简化，可得一力和一个力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。 主矢与简化中心无关；主矩与简化中心的位置有关。,空间力系的简化结果分析,1、空间力系简化为一个合力偶 主矢R = 0；主矩MO 0 主矩与简化中心无关。 2、空间力系简化为一个合力 主矢R 0；主矩MO = 0 合力的作用线通过简化中心。 主矢R 0；主矩MO 0 且 MO R,取 d= |MO| / R,合力矩定理,R =Fi ，d= |MO| /
8、R 力偶（R，R）的矩MO等于R 对O点的矩，即 MO = MO(R) ，而又有 MO = MO(F) 得关系式 MO( R ) = MO(F ) 即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于各分力对同一点的矩的矢量和。 将上式向任意轴投影（如 z 轴）得： Mz ( R ) = M z( F ),3、空间力系简化为力螺旋的情形,主矢R 0；主矩MO 0 且 MO R,右螺旋,左螺旋,力螺旋就是由一个力和一个力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶作用面 力螺旋的力作用线称为力螺旋的中心轴 力螺旋由两个力学基本要素组成，不能进一步合成,当主矩MO与主矢R即不平行也不正交时,M”O = MO sin；M
9、O = MO cos MO和R组成力螺旋，其中心轴距O点的距离为：,4、空间力系简化为平衡的情形,主矢R = 0；主矩M O = 0,5 - 3 空间任意力系的平衡方程,空间力系平衡的充分必要条件： 所有力在三个坐标轴中的每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也为零。 除了上述的基本方程，还有所谓的 4 力矩、5力矩和 6 力矩式。,由：,得：,几种特殊情形平衡规律, 汇交力系 有三个平衡方程： X = 0，Y= 0，Z = 0 平行力系（假定力的作用线平行 z 轴） X0，Y0 ，Mz 0 平行力系有三个平衡方程： Z = 0，M x = 0 ，M y = 0
10、 平面一般力系（假定力的作用面为Oxy面） Z0 ，Mx 0 ，My 0 平面一般力系有三个平衡方程： X = 0，Y= 0，M z = 0,例 5-3 均质长方形薄板重 W = 200N，用球形铰链A和蝶形铰链 B 固定在墙上，并用二力杆 EC 将板维持水平。求 EC 杆的拉力和铰链的反力。,解：受力分析如图,X = 0， XA + XBT cos30 sin30 = 0 Y = 0， YA T cos30 cos30 = 0 Z = 0， ZA + ZB W + T sin30 = 0,Mz ( F ) = 0， X B a = 0 M x ( F ) = 0，Z B a +T sin30
11、 a W a / 2 = 0 M y ( F ) = 0，W b / 2 T sin30 b = 0 解之得：XA = 86.6N，YA = 150N， ZA = 100N X B = 0， Z B = 0 ， T = 200N,W = 200N,在图中，皮带的拉力 F2 = 2F1，曲柄上作用有铅垂力 F = 2000N。 已知皮带轮的直径D = 400mm，曲柄长R = 300mm，= 30 ，=60 。求皮带拉力和轴承反力。,例 5-4,解: 选坐标轴如图 (= 30 ，=60 ),X = 0，F1sin30 + F2sin60 + XA + XB = 0 Y = 0，0 = 0 Z =
12、 0，ZA + ZB - F - F1cos30 - F2cos60 = 0,以整个轴为对象，受力分析如图,M x ( F ) = 0，400ZB - 200F + 200 F1cos30 + 200 F2cos60 = 0 M y ( F ) = 0，FR - (F2 - F1) D/2 = 0 M z ( F ) = 0，200F1 sin30 + 200F2 sin60 - 400XB = 0 又有： F2 = 2F1 解得： F1 =3000N，F2 = 6000N， XA = -1004N，ZA = 9397N，XB = 3348N，ZB = -1700N,= 30 ，=60 ,水平均质板重P，6根直杆用球铰将板和地面连接，结构如图。求由板重引起得各杆内力。,例 5-5,解： 给各杆编号,假定各杆均受拉力,MAB = 0,MAE = 0,S5 = 0,MAC = 0,S4 = 0,MBF = 0,S1 = 0,MEG = 0,S3 = 0,MFG = 0,