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1、導線測量的誤差傳播,導線測量中各種誤差估值的推導 導線測量閉合差之計算與分析,前言,在測量計畫中可能會有不同等級的精度規範，但卻不允許有錯誤觀測量存在。 若有錯誤觀測量，要如何處理？ 本章將考慮這個問題，特別著重在導線測量的分析。 此概念在第19章會有較詳細的討論 第5章已討論函數中各觀測量的誤差傳播，即函數的誤差估值與各觀測量有關 一般平面控制測量(如導線測量)的觀測量，是獨立不相關的 如距離觀測與方位角觀測是獨立不相關的 但根據距離與方位角所計算而得的縱、橫距坐標，卻是相關而非獨立的,前言,圖7.1顯示距離與方位角誤差對縱橫距坐標計算之影響 若據以計算縱橫距坐標的觀測量獨立不相關，則可利用
2、式(5.15)來計算它們的誤差估值；若觀測量為相關，則必須利用式(5.12),其差別在觀測量的協變方矩陣的元素，若觀測量獨立不相關，則協變方為對角矩陣，否則為全矩陣。,縱橫距誤差估值的推導,縱橫距的計算公式如下 Lat = D cos(Az) Dep= D sin(Az) 由誤差傳播定律知，應先對此公式取偏微分，再利用式(5.15)計算即可求得縱橫距誤差估值,縱橫距誤差估值的推導,例7.1 假設導線邊長139.2540.006m，方位角為233526 9，縱橫距與其誤差估值各若干？ 由式(5.15)得,縱橫距誤差估值的推導,(7.4)式中，211為縱距之變方，222為橫距之變方， 12與21為
3、縱距與橫距之協變方，故縱距之標準偏差：Lat= (211) =0.006m，橫距之標準偏差：Dep= (222) =0.006m,由(7.4)式可見：協變方矩陣之非對角線上元素非為0，故縱橫距之計算值為互相相關，如圖7.1所示,邉方位角標準誤差估值的推導,(7.1)式係由邊方位角來計算縱橫距，實際上，邊方位角常由觀測角度計算而得，而非由直接觀測。由角度值計算而得的方位角存在另一層次的誤差傳播 若導線觀測其內角，且以逆時針方向推算各邉方位角，則其計算公式為 Azc=Azp+180+i 由誤差傳播定律得,目前推算邊的方位角,前一邊的方位角,觀測內角,觀測內角的誤差,閉合導線閉合差之計算與分析,閉合
4、導線的存在下列幾何約制條件 內角=(n-2)180 Lats =縱距和= 0 Deps=橫距和= 0 不滿足這些條件就稱為閉合差(misclosures) 閉合差的統計分析可決定閉合差是否合理，或是否有錯誤存在 錯誤的觀測量必須去除，重新觀測 利用下列例子說明閉合差的計算,閉合導線閉合差之計算與分析,例7.2 計算圖7.2所示導線之角度與線性閉合差(位置閉合差)，導線觀測資料如表7.1所列，距離單位為ft，在95之信心水準下，閉合差估值為若干？是否有任何可能之大錯存在？,表7.1 圖7.2中距離與角度觀測值,閉合導線閉合差之計算與分析,解： 角度檢核：利用誤差傳播定率計算導線閉合差是否在容許誤
5、差規範內 角度和誤差須位於下列公式所計算值之68.3內,因角度重複觀測4次，每個觀測平均值的自由度為3；其95%信心水準相應的t0.025,3值為3.183(查D.3表)，故其相應的估值為,根據表7.1知，實際的角度閉合差為19 24.6，故在95之信心水準下，沒理由相信存有角度大誤差,閉合導線閉合差之計算與分析,方位角計算：本題並無任何已知方位角，為解決這個問題，可假設第一邊之方位角為000，且無誤差，可以這麼假設，因為問題僅在檢核導線之幾何閉合條件，而非檢核導線的方位，即使觀測了第一個邊方位角，也是如此,閉合導線閉合差之計算與分析,線性閉合差計算：由於縱橫距坐標具有相關性，在計算時應採一般
6、誤差傳播定律式(5.12) 因縱橫距坐標之計算式是非線性函數，應先與以線性化(即取一階導數)，其結果為,A矩陣稱為Jacobian matrix,閉合導線閉合差之計算與分析,因距離與角度觀測為獨立不相關，故其協變方矩陣中非對角元素均為0 由誤差傳播定律知， 縱橫距坐標的協變方矩陣為lat,dep=AAT,閉合導線閉合差之計算與分析,各對角線元素的平方根，即可得每一邊縱橫距之誤差估值，如BC邊之縱距誤差估值為協方差矩陣中第(3,3)元素0.00017之平方根， BC邊之橫距誤差估值為第(4,4)元素0.00040之平方根 其餘各邊縱橫距的誤差估值可同理類推,閉合導線閉合差之計算與分析,閉合導線之
7、線性閉合差(即為位置閉合差)如下 LC=(LatAB+LatBC+LatEA)2+(DepAB+DepBC+DepEA)2 為了求得該誤差估值，同樣必須利用誤差傳播定律，因位置誤差公式為非線性，故需線性化，如對AB的一階偏導數為,由上式可發現，這些偏導數均與邊無關，且其他邊之偏導數都相同。故一般誤差傳播定律的係數矩陣為,閉合導線閉合差之計算與分析,縱橫距計算如表7.3所示，由表可見：縱距和為-0.082ft，橫距和為0.022ft，線性閉合差為0.085ft。 將這些值代入誤差傳播定律公式中即可求得位置閉合差的誤差估值,表7.3 例7.2的縱橫距,因導線的位置閉合差為0.085ft，而其容許誤
8、差為0.15ft，故在95%信心水準下，導線並無錯誤觀測量存在。,附合導線閉合差之計算與分析,圖7.3所示為兩端各附合於已知點之附合導線，類此通常為求解如圖中之A、B、C、D等點之位置，另求解角度與線性閉合差，以評估觀測值之接受與否。 例7.3 計算圖7.3所示導線之角度與線性(位置)閉合差，導線觀測數據如表7.4所列，距離單位為m，在95之信心水準下，預估閉合差為若干？評估是否有任何可能之大錯存在？,附合導線閉合差之計算與分析,解 角度閉合差：附合導線角度閉合差之計算，是先按照方位角推算公式計算各邊之方位角，最後邊的方位角再與已知方位角相減，其結果如表7.4所示。 由表發現，最後邊計算值與其
9、已知值之差為+9(=841922-(2641913-180)，而利用誤差傳播定律，得其預估誤差為(11.02+4.12)1/2=11.7，實際值小於未乘以t之預估值，沒理由假設角度存有大錯,附合導線閉合差之計算與分析,位置閉合差：先按照縱橫距公式推算各邊導線點的縱橫距，接著計算縱橫距的總和，並與已知控制點的縱橫距相減即可求得(或推算各導線點坐標，最後推算的控制點坐標與已知坐標相減)。 已知控制點1、2兩點之縱橫距差各為：-92.050m與1104.900m，而由表7.6得知：1、2兩點實際之縱橫距差各為：-92.089m與1104.890m，故根據觀測求得之縱橫距閉合差分別為：-0.039m與
10、-0.010m，位置閉合差為此兩者平方和之平方根=0.040m,附合導線閉合差之計算與分析,導線的預估閉合差：其計算類似前述閉合導線，先求縱橫距之A係數矩陣、觀測值協方差矩陣，再求縱橫距誤差之協方差矩陣，最後求位置閉合差誤差之協方差矩陣,將相應的數值代入式(7.19)與(7.20)，再由誤差傳播定律可得縱橫距的協方差矩陣,為了求導線閉合差的誤差估值，由閉合差公式知，應先求Jacobian matrix A，再利用誤差傳播定率計算之,LC=ALat,DepAT=0.000749,附合導線閉合差之計算與分析,同例7.2，查表D.3，得=0.05, 自由度=3之t0.025,3=3.183；在95之信心水準下，位置閉合差的誤差估值為3.183 0.000749m = 0.087m，比實際閉合差0.040m高很多，因此，在95之信心水準下，沒理由相信導線存有錯誤 利用傳統方式，如羅盤儀法則平差計算附合導線時，常假設控制無誤差；實際上，控制坐標也是由觀測值所推算的，自然包含誤差，對應用式(7.21) 時，也假設控制點坐標沒誤差，嚴謹計算時，應修正相關計算式。 最小自乘法平差的主要優點即因平差計算時可包含控制，詳如第十八章所述,結論,本旨在討論導線測量計算觀測量的誤差傳播。 誤差傳播定律為一非常有用的工具，它可回答： 可接受的導線閉合差為何？,作業,7.8、7.11,