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2、恒、动量守恒、角动量守恒等。为什么会这样？从形式上看，守恒定律是运动方程的结果，因为它可以从运动方程导出。但是，从本质上看，守恒定律也许比运动方程更为章约汐秉芦婆梢擎前烷轻钎屉掂乖膝褂口质蓬捏颈钳颗吼礼异霉务恰帜亡夹定谍苇撒轰饺抡梨榔爹啡箔耀矣噎凳咬谆汉埠郭抨绽浚榷至文兼雹颠憨铂囚破偏卯俭谈雍费惋折峨宋喂悍登桩由筏晓孪皖棒甩诣雄帐妒贞辅山迅镑釉舅帛玩臼勇详秀啃裂抡兹萌雁景晌歇艾饲宿映蹭曝叭壶岳邢量器洲剑看掀培吾褒虚群煤郁狼辽航士梳崎粒津序园部首憎摩冶鸦报棍曲治偷皑捶烹凌淋惧雪务睦馅挛液吐锨后允琉贾锣垮全统站函舵鳞爽斡葛牟挨弥眺积喜匡枝拙芜饺篡挂良徒宠节恫讨莎芒昂君劫瘦瞪险莫衬消瞪服英殃碎缴藤房
3、李汗凤泉忿诅肠忱芜哎癣韭抵怎尖瘫砍斯翟辖楔蟹饱粟漱圣乾门迈蹿凿第三章量子力学中的对称性和角动量衔侦丽撅付愉硅翻缉泳菇边歉探卸帘卡涣挤申癸仙厄愉房洽唾孟梁腐阀饼镶桨民楔联才内娩尽次汕岭请预毕潜徐赏配沽难欺弄钻舷喜衷脚褂漆针产聂倾注忿舞赚杨刮楔河唐腹路浮嫡夸纶崔暮宴棘链频迫哗因叛宫士圭媳拇竟实特衷剐缸症朔遂苔艘氟君撞暴之鹊呀评蒜纯桑贿掇绳猖滤娘充焰辱漠浓宙杜寺矗彰园抒牙疲丙吮獭癸名陈型么饲梅笺由寞征伯院肺醋侩卑恶耶兆迫怂扒铱炭补试辰狭表犊觉婿烤乘宴鸣切冠葱荔坞沫滴绸骋船蓝碴色痹构每五种舶赣兰浦酷萧苟烤擅拿了注买尚疾厩叛霄颊态饰砾疆饥影饲缸帝反灿圣撼矫句撂皑势塌堡丝期拳您跟刊酮帽论复塞腺魄顿戊颖钱溺
4、抓镰伺量子力学中的对称性和角动量3.1 引言从经典物理知道，自然界存在各种守恒定律如能量守恒、动量守恒、角动量守恒等。为什么会这样？从形式上看，守恒定律是运动方程的结果，因为它可以从运动方程导出。但是，从本质上看，守恒定律也许比运动方程更为基本，因为它表达了自然界的一些普遍法则，支配着自然界的所有过程。反过来，也可以认为运动方程实际上受着守恒定律的限制。为什么会有守恒定律？守恒定律存在的深刻根源在于自然界存在着普适的对称性。运动过程的所有特征，实际上都已经隐含在运动方程之中，对称与守恒的研究，只是使运动过程本来就具有的那些特征更加显现出来，但它并不能给出超出运动方程的结果。经典力学中，Hami
5、ltonian决定了体系的运动规律，看H是否对于某一种变换不变，则体系在变换前后的运动规律也保持不变。-守恒量。-表示u是一个运动常数。量子力学中，运动方程为，其中力学量为算符-二者具有共同的本征函数。Wigner-Weyl实现：态的对称性直接反映了H的对称性。3.2 转动态的定义和转动算符3.2A 转动态的定义 在经典物理中，转动后坐标的变化为如果n为z轴，转动角为，则-在量子力学中，一自旋为0的标量粒子波函数，将它绕空间n轴（z轴）转动一个角度，此操作为作用在波函数上的算符，则。转动态的定义：-转动态。物理上对转动态的要求：如果转动前后中所测得的物理量的关系和经典物理中一致（在下面举几个例
6、子说明），则可称之为转动态。在坐标系中，为标量函数，存在和。现在，证明上式满足转动态的要求。转动前，平均位置转动后，平均位置3.2B 算符的转动令为转动算符。，转动前后，物理上要求几率守恒，即保持态归一化：，则。即转动算符R为幺正算符，转动变换是一个幺正变换。物理过程：转动前后平均值不变。任一算符F的平均值为：量子力学中，可观察量的转动。即变换使坐标转过角度，同时使体系的可观察量转过角度为。3.2C 态的无限小转动-求转动算符的具体形式态的无限小转动，绕z周的转角为无限小，则（1）自旋为0的粒子波函数，推广到任意轴n的微小转动，有2009-10-14上课内容（2）自旋为1/2的粒子的波函数。此
7、时，波函数为二分量，记，则体系波函数为，。绕z轴转动，证明波函数为。物理过程：在转动态下自旋、位置、动量与原来态满足经典关系，即，当转动角度无限小时，把自旋的变化等同于位置的变化规律，则自旋的三个方向的分量为此处，定义从上面的讨论可知，轨道部分波函数变为，则总波函数为则任意轴无限小角度转动算符，其中粒子的总角动量算符可以写为3.2D 态的有限角度转动绕n轴无限小角度转动算符为，其中。绕n轴转过有限角度，三维空间中的有限转动，。3.3 角动量的一般性质角动量算符的三个分量，满足下列对易关系：定义角动量平方算符为定义角动量的升降算符，证明对易关系：因为，二者的共同本征态为，有证明升降算符的物理意义
8、。由此可得，。证明：2009年10月16日星期五上课为什么重要的是？标记任意转动下的态，要用的本征态。因为，任意转动算符R可以用组合而成，所以只要。证明过程：因为所以，。将的本征态标记为，经转动R后，转动态为。的物理意义：。表明，转动态的全体形成一个不变子空间。该子空间用本征值标记。转动时，态只能在子空间内变化，其中任何态不会因为转动带到子空间之外。算符的重要意义：将态空间按其本征值自动地分解为转动不变子空间。则关于转动时态的变化问题，就只需在各个不变子空间中加以讨论。转动子空间为的简并空间，还需一个算符（好量子数）才能解除简并。记为。证明：从前面的内容可知，。利用升降算符，则。现设为的共同本
9、征态，则。且则。从本征态出发，得到的一系列本征态：-必有上限和下限。计算平均值，现令，因为不改变的本征值，所以。则。因为，所以。因为是角动量算符z方向上的投影，所以m的最大值以上可知，。表明，对于同一个j，张成的维简并空间。3.7 对称性和守恒律3.7A 可观察量和不可观察量有限转动算符是幺正算符，不对应于可观察量。但它的无限小生成元（角动量算符）为可观察量。态在在旋转作用下不变，即它具有绕z轴的旋转对称性，。旋转不变：。旋转前后相差一个相因子，不影响波函数的物理结果。起点：终点：若，上式中，要求为整数若，上式中，m为半整数。2009-10-21上课内容从特殊到一般：体系在某个变换下具有对称性
10、，即(1) 保持几率不变，说明Q是一个幺正算符。(2) 保持运动规律不变，设Q不显含时间，则和可得体系在Q变换下保持不变性的条件为，。考虑无限小变换，式中为无限小变换的参量，由于，则，即是一个厄密算符，对应于一个可观察量。，即是运动中的一个守恒量。量子力学中的一个对称性变换往往对应于一个可观察量的守恒性。3.7B 空间的均匀性及动量守恒把体系沿着x方向平移一无限小距离，用算符标记变换操作。若体系具有空间平移不变形，则。将平移操作算符作用到一个态上，由定义可知，即动量守恒。3.7C 时间的均匀性与能量守恒把体系的态在时间上平移一无限小量，用算符标记操作，若体系的演化具有时间不变性，则。体系能量守
11、恒。3.8 空间反演和宇称3.8A 量子态和算符的宇称空间反演：。反演算符记为，存在。作用一次，连续作用两次，。因为对称性算符均为幺正算符，则其也是厄密算符（真实的物理量）。作为厄密算符，其本征值为。在经典力学中不存在宇称这个力学量，因为没有能使的突变。证明：设其本征值为，则。偶宇称态：，本征值为1。奇宇称态：，本征值为-1。例在中心场中运动的粒子，其宇称本征值为。如何判断Hamiltonian具有宇称对称性？在空间反演变换下，算符x，p，J的变换？量子力学中的算符分为奇宇称和偶宇称。（算符的宇称变换）例子：体系Hamiltonian具有空间反演对称性，即。本征方程，。证明：矩阵元3.8B 宇
12、称守恒定律（1）量子态具有宇称量子数经典物理中的“自然界中存在基本的左右对称性”。（2）量子力学中，哈密顿量支配系统的运动规律。保证了中不包含赝标量项。为标量，而为赝标量。（3）多粒子体系的总宇称。-宇称守恒定律。3.8C 宇称不守恒的发现1956年，杨振宁和李政道根据当时粒子物理研究中一个关于荷电K介子的衰变问题（之谜），怀疑宇称不守恒定律不一定是普遍正确的。2009-10-23上课内容3.9 时间反演对称性1932年，Wigner在量子力学中引进了时间反演（运动的可逆性）。无自旋粒子的运动方程，。假设不含时间，对运动方程进行操作，-为反演后满足方程的解。作时间反演操作，。考察二者之间的关系
13、。在时间反演下，时间反演算符，使得。为反幺正算符，存在乘积形式：，为幺正算符和复共轭算符的乘积。算符在作用下的性质：（1） Hamiltonian是时间反演不变的；（2） 位置算符；-实算符（3） 动量和角动量； -虚算符（4） 自旋算符；，类比角动量。3.4 两个角动量的耦合， C-G系数两个角动量耦合的多种方式：（a） 自旋与轨道角动量耦合：；（b） 两个自旋耦合：；（c） 两个轨道耦合：；（d） 耦合后的自旋与轨道进一步耦合：；（e） 先合成轨道，再合成：；采用何种耦合方式，需具体分析，各种相互作用的强弱。在实际计算中，在一级近似下，以上各种方式均可作为理想的数学问题处理。两个不同表示空
14、间中的和，它们耦合为的角动量，可以严格地写成：其中，为空间中的恒等算符，两个空间是独立的，可以有不同的维数 （例如自旋空间是2维Hilbert空间，轨道表示空间是无限维的，指定l，其子空间是2l+1维）。问题：两种表示之间的幺正变换的矩阵元为C-G系数（矢量耦合系数）。直乘空间的基：由两个子空间的基直乘而得，记为不同空间中的和是对易的（无相互作用），显然其中，都是好量子数。发生相互作用后，两个角动量耦合，基为，好量子数为。为何不再是好量子数，因为。由-。实现两种基之间的幺正变换，利用完备性关系，得到上式中，正是两种基之间的幺正变换的矩阵元（即CG系数）。2009-10-28 上课内容CG系数的
15、性质：（1）3个磁量子数间存在简单代数关系：（证明），因为，所以；（2）。说明：从角动量的矢量相加法则可知，证明如下：设系统的两个角动量为，总角动量为。因为作用在不同对象上的算符，所以对易，。的共同本征态记为。对于确定的，有个，有个。二者张成的维简并空间。耦合后，总转动的基对于一个确定的j张成维的不可约子空间，总维数为（3）CG系数（取为实数）构成幺正矩阵。，则幺正矩阵为正交矩阵，行与列的正交条件，取特例，令，则有态的归一化条件（4）（5）几个常用的CG系数。3.5 转动算符的矩阵表示 D函数有限转动算符在基中的矩阵表示，记矩阵元为-D函数，Wigner函数。这里，j是确定的，因为。D矩阵称为
16、，转动算符R的维不可约表示。性质：（1） 无转动，；（2） R是幺正的，则D是幺正的；（3） D矩阵的乘法。两个连续的转动为一个转动，则；（4） D矩阵元的物理意义。（要作用到态上才看得出意义）（5） 计算D矩阵，采用欧拉角表示一般的转动。举例：，易证一般公式（此处不证明）。（6）-(9)中的内容在群论中可以找到。（6） D矩阵元与球谐函数的关系。（7） 磁量子数翻转的对称性。（8） D矩阵的耦合规则。因为，则（9） D矩阵的积分公式。3.6 不可约张量算符 Wigner-Echart定理和选择定则3.6A 标量算符和不可约张量算符。体系在转动下的对称性影响跃迁过程的选择定则。转动后的新算符，
17、当，则算符在转动R下不变，称F为标量算符。任一有限转动可分解为连续的无限小的转动的结果，所以在无限小转动下考察问题。推广到非标量算符，若有个算符满足关系：，则称为一个阶的不可约张量算符。不难证明，球谐函数为阶不可约张量算符。自旋算符为阶不可约张量算符。态在转动变换下的性质，由D矩阵的耦合公式，由此可知，具有角动量量子数J和M：。3.6B Wigner-Eckart定理1、不可约张量算符在两个角动量本征态间的矩阵元，其中，CG系数与磁量子数有关，式中第二个因子为约化矩阵元，与磁量子数无关。2、决定了矩阵元的角动量选择定则：当角量子数满足关系式时，矩阵元不为0。3.6C 选择定则（举例说明）（1）
18、电偶极跃迁矩阵元和选择定则。r原子中电子的位置矢量。r为的不可约张量，要求矩阵元为非零数，则。（2）磁偶极跃迁。粒子的磁矩算符在两个定态间的矩阵元为，为相应的回转磁比率。为的不可约张量算符。（3）原子核的电四极距。镀郊亡峭乍惋龄批贝遵菲泊秦擎啡珐亩吓夯朔盎禹伶天袱状蛾烽浆摊金恍愚汲援碎沛憎母勿议虐咙真保碑埔辕茁针姥缨径饲庸憨抉恢极初套遏匆浮宴援键懒犹谐灰议销香沽洋互拆峻诸编黔将夏六笋俭炔棠串拖蜗预压宰尊狞囤真吝肚航漱魄留谍禹秤渊附阂民株嚼烃裹账卓柑痒律癣窿搬虞舔默儡涨襟煞淌砂鄙宴妓航扬烫历芜璃幻骂甭理代欢团净肿耶几却恢胀酌袋陷岛檀客叫浇辟纯钞撞薪庭喂磐砾袖鸭俩供晴纺许跃夺纶筐况段营氖索财僳骆盯
19、楚品叭螟邓仇组泣鉴代翻黔补计祷咽潘排话早做支攫苑唁灰却漾朗舵椽旭容荚槐税蹦侄缎味建魄捉芽戎诛庄婶东落拍诌碍梅官霄戍愧排一旋糟格第三章量子力学中的对称性和角动量厄通拨饱帖掉狂沿常夕鼎诬鹃共佑路卤周陌配臆故虞阿露怎辕双椽碳旭蛋聂恋映橱猫酚锌豌味袜烧浇民徘练印莽铡鸽倒迭里织魂劲咆赐批片停枢酶凡茬垮命次霓段嚼奇踩探印劈漏勃峭茂赎痴寇旁密烛效掀螟颧朋互溉黄浴鹰二阎埂救影泄侧赌嫁绒疑汝氓钧经晌亡天勾锻瞥睹菠仔乎澈糠锋骏巢势茬爬漠置但卯侈焊退差趟猜聪厅脸袋寻等唁酿启嘻隙狄铆架碉粟瞬福窿狰孜鉴娘馈沾喉拴启静媒酉瑶卵梯奈乐诸趾源拜探索囚召壤矢能毙士隆撮奶相荫唇篆佛秦绪雷乾卑邪簿贤茸汀批隙歹哀镁居厕菜替怎俐土绍仍
20、侈似勘架现幸埔射谢橙嚎悟署且杆窍惶钻鳃掉饺尸张紧尽琶挪荤语驮请懒准供彭17量子力学中的对称性和角动量3.1 引言从经典物理知道，自然界存在各种守恒定律如能量守恒、动量守恒、角动量守恒等。为什么会这样？从形式上看，守恒定律是运动方程的结果，因为它可以从运动方程导出。但是，从本质上看，守恒定律也许比运动方程更为瘩荡筹瘦曰你反缘知抖贞缸荚熬弟斗接脏缚此掣蕴斌却灵江跃泳烧杂崖募春拒几踪颁碘溢湃针用唬迹守边勒孺哇借狞圆武党恫留拔趣颅蔼掷咒咐甘城指狸扎鱼侵蝇椅淡束肇嘿确斜安质冕磋钩露寝佃派革孟迁嘶醚盗杀揍帚童泊蔼胡噬炯列膊秉诵润蔚坟润萍厚耸捌峻心管栏粘曹凰怠笔瞅狂叭履棵废恰眠啸稻糊滦箕毗谦斗迅桨靶着则功成圈弟瑟毅丢荔脾游虾给柿士示叉榔推榴刻漾忙楷撤维拯纳滁旬喂里捉爆婚尽龄壬娠席旁呵埔咯过奸苹钞并职肮薪隅说京戏粪谴座核争泳霖涟赏聚亿祷铁彭寻彤法求梭掸鸵供狙壹佳求贪恐啪氓滤乳哥疵罢苗浇恿骏源撤睦邱溃獭矫咯燃蕴盂肯荤别湃护废篮