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1、3.2.2函数模型的应用举例,平邑实验中学,例1 某市原来民用电价为0.52元/千瓦时.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元千瓦时，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/千瓦时设一家庭每月平均用电量为200 千瓦时. (1)求电费关于峰时段用电量的函数关系式； (2)要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少千瓦时? 思路点拨 用x表示峰时段用电量，则(200x)表示谷时用电量，可列出电费y关于x的函数,一次函数型,精解详析 (1)设峰时段用电量为x 千瓦时，电费为y元，谷时段用电量为(200x)千瓦时，则 yx0
2、.55(200x)0.35， y0.2x70，x0,200 (2)原来电费y10.52200104(元) 由题意知y(110%)y1， 即0.55x700.35x93.6，则0.2x23.6. x118， 即这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118 千瓦时.,一点通 求解一次函数模型应用题的策略： (1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理 (2)对于给出图象（是一次函数图像）的应用题，可以先利用函数的图象用待定系数法求出解析式，再反过来，用函数解析式来解决问题，最后翻译成具体问题作出解答,1.如图所示，这是某电信局规定的打长途电
3、 话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分 钟)之间的函数关系图象，根据图象填空： (1)通话2分钟，需要付电话费_元； (2)通话5分钟，需要付电话费_元； (3)如果t3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为_,答案：(1)3.6 (2)6 (3)y1.2t(t3),例2 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元.市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润销售单价进货单价) (1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下
4、，写出x的取值范围； (2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式； (3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？,二次函数型,思路点拨 解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润销售单价进货单价;先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润通过二次函数求最值，可得汽车合适的销售单价,精解详析 (1)因为y2925x，所以yx4(0x4) (2)z(8 4)y(8x8)(x4)8x224x32(0x4) (3)由(2)知，z8x224x328(x1.5)250(0x4) 故当x1.5时，zmax50. 所以当销售单价为291.
5、527.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元,2用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两 道隔墙.要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( ) A3 m B4 m C5 m D6 m,答案：A,例3 (12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购1件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件 (1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数Pf(x)的表达式； (2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服
6、装厂售出1件服装的利润实际出厂单价成本),分段函数型,思路点拨 (1)由题意按0x100,100x500(xN*)分段表示 (2)服装厂获得的利润(P40)x,一点通 在实际生活和数学中，大量的问题在不同的阶段有着不同的规律.这种情况往往要用分段函数去表示.解决的方法是在不同的部分分别解决，最后用分段函数进行表达.本题中当0x100时，服装价格是一个常数函数;当100x500时，服装价格随x的增加而降低，函数表达式为一次函数,3已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时 的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地. (1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示
7、为时间t(小时)的函数； (2)求汽车行驶5小时与A地的距离,指数函数模型,例4 截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后， 我国人口为y(亿) (1)求y与x的函数关系式yf(x)； (2)求函数yf(x)的定义域； (3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义 思路点拨 先根据增长率的意义列出y与x的函数关系式,精解详析,(1)1999年底人口数：13亿 经过1年，2000年底人口数： 13131%13(11%)(亿) 经过2年，2001年底人口数： 13(11%)13(11%)1% 13(11%)2(亿)经过3年，200
8、2年底人口数： 13(11%)213(11%)21% 13(11%)3(亿) 经过年数与(11%)的指数相同 经过x年后人口数：13(11%)x(亿) yf(x)13(11%)x.,(2)此问题以年作为单位时间 xN是此函数的定义域 (3)yf(x)13(11%)x. 11%1,130， yf(x)13(1%)x是增函数， 即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长,一点通 1指数函数模型：能用指数函数表示的函数模型叫做指数函数模型指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a1)，常形象地称之为指数爆炸 2对数函数模型：能用对数函数表示的函数模型叫对数函数
9、模型对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a1)，函数值增大的速度越来越慢 注意：(1)增长率与减少率问题都应归结为指数函数模型 (2)平均增长(或减少)率问题的表示： ya(1p%)x(或ya(1p%)x),题组训练,例5 某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：,该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A、B两种商品各多少才最合算请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字) 思路点拨 先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型,精解详析 设投资额为x万元时， 获
10、得的利润为y万元在直角坐标系中 画出散点图并依次连接各点，如图所示， 观察散点图可知图像接近直线和抛物线， 因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系,设二次函数的解析式为ya(x4)22(a0)； 一次函数的解析式为ybx. 把x1，y0.65代入ya(x4)22(a0)， 得0.65a(14)22，解得a0.15. 故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y0.15(x4)22表示,把x4，y1代入ybx，得b0.25， 故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额
11、的函数关系可近似地用y0.25x表示 令下月投入A、B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得 WyAyB0.15(xA4)220.25xB， 其中xAxB12.,把x4，y1代入ybx，得b0.25， 故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y0.25x表示 令下月投入A、B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得 WyAyB0.15(xA4)220.25xB， 其中xAxB12.,一点通 此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为： (1)作图：根据已知数据作出散点图；
12、(2)选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型； (3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式； (4)利用所求得的函数模型解决问题,5某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中 发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如 下关系(见下表)：,(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式yf(x)；,(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写 出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元 时，才能获得最大日销售利润？,解：(1)根据上表作图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)它们近似在同一条直线上，设直线,(2)依题意有Py(x30) (3x150)(x30) 3(x40)2300， 当x40时，P有最大值300. 故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润,(1)解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式.求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性 (2)数学建模的过程图示如下：,