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1、1.2 定积分,如图，阴影部分是由抛物线f(x)x2，直线x1以及x轴所围成的平面图形 问题1：通常称这样的平面图形为什么？ 曲边梯形 问题2：如何求出所给平面图形的面积近似值？ 把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和,复习回顾,问题3：如何更精确地求出阴影部分的面积S? 提示：分割的曲边梯形数目越多，所求的面积越精确,曲边梯形的面积的解决思路：,利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可,概括“分割-取近似-求和-逼近” 的步骤.,将曲边梯形的底，即a ,b进行分割(用垂直于x轴的直线).,第一步 分割；,取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.,第二步 取近似；,用矩形面
2、积近似小曲边梯形面积,典型小区域面积,第三步 求和；,矩形面积和与曲边梯形面积不相等,有误差,将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来.,第四步 逼近.,当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积.,积分上限,积分下限,注意：,中,积分上限是_,积分下限是_,积分区间是_.,2,-2,-2,2,练一练,xa,xb,y0,yf(x),xa,xb,探究点2 定积分的几何意义,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,定积分的几何意义,几何意义,思考1 根据定积分的几何意义， 的值一定是正数吗？,思考2 试将曲线 与直线x=0,x=4,y=0所围成的 图形的面
3、积写成定积分的形式. 提示: 0(x0,4)，由定积分的几何意 义知，曲线 与直线x=0,x=4,y=0围成图形的 面积可以用定积分表示为,例 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值.,(1),(2),(3),o,1,解（1）,表示的是图中所示长方形 的面积，由于这个长方形 的面积为2.所以,2,o,1,（2）,表示的是图中所 示梯形的面积， 由于这个梯形的面,1,2,2,积为 .,所以,o,（3）,半径为1的半圆的面,表示的是图中所示,积，由于这个半圆,o,1,-1,1,的面积为 .,所以,【变式练习】,说明定积分 所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值.,o,定理,对定积
4、分的补充规定:,定理,三、定积分的性质,定理,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,定理 （积分区间的可加性）,23,思考1 定积分的性质(3)能推广到多个函数的和或差的定积分运算吗？ 提示:能.推广公式为,思考2 定积分的性质(4)能推广到有限个区间上的积分和吗？ 提示:能.推广公式为 (ac1c2ckb).,练一练,-1,1.设连续函数f(x)在a, b上恒有f(x)0,则定积 分 值的符号( ) A.一定为正 B.一定为负 C.可能为正也可能为负 D.不能确定,B,2.（2010福建师大附中高二检测）用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( ) 【解题提示】注意 与图中面积的不同.
5、 【解析】选D.根据定积分的几何意义可知，应选D.,3.若 ( ) （A）9 （B）12 （C）15 （D）18 【解析】选C.根据定积分的性质及几何意义可得 =3+4(3-0)=15.,5,2,利用几何意义求定积分,解 函数 y1x在区间0, 1上的定积分是以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形的面积.,因为以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形是一个直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以,首页,例2,三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.将下图阴影部分的面积用定积分表示出来. 【解题提示】利用定积分的几何意义直接求解即可，不能直接表示出来时，要将图形
6、适当分割，使得可以利用定积分来表示.,【解析】由y=x2和y=x可得它们的交点为(0,0)，(1,1)，所以图中阴影部分的面积为,4.（15分）用定积分表示抛物线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成的图形的面积. 【解析】解方程组 得交点的横坐标为x=0和x=3.如图，,由y=x2-2x+3、x=0、x=3和y=0围成的曲边梯形的面积为 由y=x+3、x=0、x=3和y=0围成的梯形的面积为 ，所以所求图形（阴影）的面积为,若被积函数是分段函数，当分段点在积分区间内时，计算定积分要用定积分对区间的可加性.,说明：,例,解,回顾本节课你有什么收获？,1.定积分的实质：特殊和式的逼近值. 2.定积分的思想和方法：,3.定积分的几何意义及简单应用.,如果在胜利前却步，往往只会拥抱失败；如果在困难时坚持，常常会获得新的成功.,