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1、第一章 晶体结构和X射线衍射,1.1 指出立方晶格（111）面与（110）面的交线的晶向。,解: 立方晶格（111）面与（110）面的交线为AB，其等效晶向为,1.2 在图中，试求 (1)晶列ED、FD和OF的晶列指数； (2)晶面AGK、FGIH和MNLK的密勒指数； (3)画出晶面 、 。,解：,(3)晶面,(2)各晶面的密勒指数分别为,(1)各晶列指数分别为ED,从图得知，,、FD,、OF,FGIH(201)、AGK,、MNLK,和晶面,如图所示,由,得,同理,解：,（1）体心立方,（2）面心立方,证明：,所以,得,证明：,设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性,原子球占据的体积
2、与晶胞体积的比值称为结构的致密度。,设n为一个晶胞中的刚性原子球数，r表示刚性原子球半径，V,则致密度,表示晶胞体积，,（1）,对简立方晶体，任一原子有6个最近临，若原子以刚性球,堆积，如图1.1所示，,因为a=2r,，晶胞内包含1个原子，,中心在1，2，3，4处的原子球将一次,相切。,所以,（2）,对体心立方晶体，任一个原子有8个最近临，若原子以刚,性球堆积，如图1.2所示，,位置的原子球相切。,，,，,晶胞内包含2个原子，,所以,体心位置O的原子与处在8个角顶,因为晶胞空间对角线的长度为,（3）,对面心立方晶体，任一个原子有12个最近临，若原子以,刚性球堆积，如图1.3所示，,面心原子球相
3、切。,1个晶胞内包含4个,原子，,所以,中心位于角顶的原子与相邻的3个,因为,（4）,对六角密积结构，任一个原子有12个最近临，若原子以,刚性球堆积，如图1.4所示，,即O点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，,4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切， 晶胞内的原子O与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，,中心在1的原子与中心在2，3，,因为四面体的高,晶胞体积,一个晶胞内包含两个原子，所以,（5）,对金刚石结构，任一个原子有4个最近临，若原子以刚,性球堆积，如图1.6所示，,原子与中心在1，2，3，4处的面心原子相切。,因为,晶胞体积,一个晶胞中包含8
4、个原子，,所以,中心在空间对角线四分之一处的O,1.7 证明：用半径不同的两种硬球构成下列稳定结构时小球半径和大球半径之比值分别为 (1)体心立方（配位数为）： ； (2)简单立方（配位数为）： ； (3)正四面体结构（配位数为）： ； (4)层状结构（配位数为）： 。,解：半径相同的原子才可能构成密积结构，配位数等于12。如原子球半径不等，就不可能形成密积结构，配位数必低于12。,因此，对于体心立方，,(1)体心立方 设小球位于立方体中心，大球位于立方体顶角，立方体的边长a=2R，空间对角线长为。当小球恰与大球相切时，将形成稳定的体心立方结构。此时，小球的半径,若r/R0.73，小球在体心处
5、可以摇动，结构不稳定，因此 不能以体心结构存在，只能取配位数较低的简单立方结构。,所以,由图看出，,若r/R0.23时，则得到层状结构。,因此，对于四面体结构，,当r/R0.41时，又只能取配位数更低的四面体结构。,所以,1.8: 证明体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。,倒格矢：,同理得:,体心立方的倒格子是边长为4/a的面心立方 。,1.9 证明倒格点阵的倒格点阵是正格点阵本身。,证明：,则,又,所以,可知,同理得,1.10证明:,证明:,晶棱(晶面的交线)互相平行的晶面组合成晶带,互相平行的晶棱的共同方向称为该晶带的带轴.,由定义可知,带轴与该晶带中的平面的法线互相垂直.,表示带轴
6、方向;,表示平面(h1h2h3)的法线方向;,那么,由倒格子的性质:,晶带轴l1l2l3与该晶带中的平面(h1h2h3)满足下述关系,证明：当三个晶面属于同一晶带时，它们两两的交线必互相 平行。设这些互相平行的交线的共同方向即晶带轴的方向为 uvw，用格矢量,表示。,利用正交关系,(2),(3),欲要u、v、w不同时为零，即要方程组(1)、(2)、(3)有非零 解，由线性方程理论知道，其系数行列式必须为零，于是 得到,解：,晶胞体积为,其倒格基失为,倒格失为,因而,利用矢量乘积公式,得到,所以,因为,代入上式得,因而倒格子原胞的面积等于,比较(1)、(2)两式，即得,证明：,如图所示，,设,和
7、,为晶列（hk）中相邻的两条，,通过原点o,（hk）中最近临原点的一条。,是,按照密勒指数的意义，,在基失,、,的截距为,（1）,由图可见，,由正倒格子基失间的关系,可得,由图可以看出，晶列间距,（2）,证明：,设d为晶面族,的面间距， 为法向单位矢量，,根据,晶面族的定义，晶面族,将 分别截为,等份，,即,于是有,（1）,其中，,分别为平行于,三个坐标轴的单位矢量。,而晶列,的方向矢量为,（2）,由（1），（2）两式得,即,与,平行。,因此晶列 与晶面 正交。,晶面,与晶面,的夹角，,对于立方晶系，,就是晶列,与晶列,的夹角。,设晶面,与晶面,的夹角为 ，,由,得,1.17： 试求面心立方和
8、体心立方晶格中粒子密度最大的晶面,并计算这个最大面密度的表达式.,解:,由倒格子的性质知晶面族(h1h2h3)的面间距:,由面心立方,正格矢,对于布喇菲格子, 是常数,因此d大的晶面就大,这样的晶面是解理面.,(上述晶面对应于结晶学原胞的111面),面心立方结构的粒子体密度,当(h1h2h3)是晶面100和111时, 取最小值 ,这时面上的粒子密度最大.,体心立方:,(上述晶面对应于结晶学原胞的110面),当(h1h2h3)是晶面100和 时, 取最小值 ,这时面上的粒子密度最大.,体心立方结构的粒子体密度,解：设晶面族(hkil)的面间距为d， 晶面法线方向的单位矢量为 。,由于,，,本题也
9、可以采用晶面(ABC)截割坐标轴后的面积关系求解。,于是，,约去公因子，并用hkl乘等式两边即得(2)式。,若题中各个(hkl)晶面改用(hkil)表示，则分别为,在图中，,证明：设有一任意格矢,此六面体的体积,(1),或用体密度,表示为,(2),(3),(2)、(3)式中均用了(1)式的结果。,对于布喇菲格子，一个原胞只含一个离子，即,于是(3)式变为,联立(2)、(4)两式则可得到结果,（4）,设ABC为所述晶面，,而矢量,单位法向矢量,(3)对于简单立方晶格，若以a表示晶格常数，则原胞的基矢,因此,倒格子基矢,因而,所以,应用(1)式，,(2),(3),(4),结合前述,即,(5),(5
10、)式中最后一个等式已使用式(4)进行化简。于是，三 角布喇菲原胞的体积,把(6)式代入式(3)并将等式两边开平方即得,如图选取六重轴为x轴，并令电场沿x轴正方向，,(1),(3),但是，上述转动不过是六角晶体的一个对称操作，转动前后,将(2)式和(3)式代入可得,(5),若对z轴作相同的讨论，同理得到,(6),如再取电场沿六角形顶点A的方向，如图所示，,代入(1)式并注意到(4)式，则有,即,从上式解得,综合(4)(5)(6)诸式，得,(1),由于上述转动是立方晶体的一个对称操作，电场没有改变，,应有,由(2)式和(3)式得,若再取电场沿111方向，,，则有,由上面可得，具有立方对称性的晶体的
11、介电常数张量为,或,因为,1.24 试导出简单单斜晶系、六角晶系、四方晶系中晶面族面间距的表达式。,解：,原胞体积,倒格子基矢长度,同样可得,而,故有,把前面有关的各项结果代入，稍加整理即得,因而,原胞体积,倒格基矢,而,把这些结果代入(1)式经整理后即得,对于四方晶系,建如下坐标，使,原胞的体积,倒格子基矢,而,因而,将前述各项结果代入上式，稍加整理即得,证明：,由题已知，,设衍射波矢为,又简立方正格矢,其倒格矢,由衍射极大条件,可知,（1）,又因,代入可知,所以,因为,所以,即衍射光线在 平面上。,(1),(2),注意到对于立方晶系，,式(2)化简为,(3),将(1)式中各等式两边平方，然
12、后相加，则得到,代表它们间的夹角，,代入(3)式，得,则,1.27 试讨论面心立方结构衍射面指数和衍射强度的关系。,解：,在结晶学中，面心立方结构的原胞包含4个原子，,其坐标为,。,如晶体由一种原子组成，,将各原子坐标代入得,解：,已知,因,又因为,所以衍射面指数与几何结构因子的关系为：,所以衍射面指数与衍射强度的关系为：,1.29: 设由原子A和B组成的一维双原子晶体中,原子A和B的散射因子分别为fA和fB,A与B之间的距离为a2,X射线垂直于原子线入射,试证明:,(1)干涉条件是n=acos(是衍射光束与原子线间的夹角);,(2)当n为奇数时,衍射强度,当n为偶数时,衍射强度,解:,相邻两
13、结点散射波的波程差为PQ,PQ=acos,当波程差为波长的整数倍时,干涉相长,即干涉条件是,n=acos,(2),一个晶胞包含两个原子,其位矢为:,正格矢:,倒格矢:,解：由于CuCL具有ZnS结构，一个晶胞中含有4个Cu原子和 4个CL原子，或者说是4个CuCL分子。已知Cu和CL的原子量 分别为63.54和35.457，故1molCuCL的质量M=(65.53+35.457)g。,，应有,此处,为阿伏加德罗常数。,设晶格常数为a，晶格的密度为,于是,根据布拉格衍射公式，对于一级,衍射(n=1)，得到,1.31 用波长为,的X射线投射到钽的粉末上，得到前,如下：,面几条衍射谱线的布喇格角,已
14、知钽为体心立方结构，试求： (1)各谱线对应的衍射晶面族的面指数； (2)上述各晶面族的面间距； (3)利用上两项结果计算晶格常数a。,解：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式确定：,(200)、(211)、(220)和(310)的散射。,（n=1）,即,考虑一级衍射，n=1。,显然，当衍射面指数之和(h+k+l)为,奇数时，衍射条纹消失。,只有当(h+k+l)为偶数时，才能产,生相长干涉。,因此，所给谱线应依次对应于晶面(110)、,由布拉格公式,同法得,应用立方晶系面间距公式,可得晶格常数,把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次求得,为,a的数值,3.2456,3.2668
15、,3.2767,3.2835,3.2897,取其平均值则得到,解：(1) 对于一级衍射，布拉格衍射公式为,(n=1),从而,当,时，衍射角,于是,=7.01:4.96:4.048=1:0.707:0.577 (1),当,时，衍射角,同理得,(2),另一方面，对于体心立方结构，只有面指数之和(h+k+l)为偶数 的晶面族才能产生一级衍射亮纹，因此最初的三条亮纹应该是 依次由晶面族(110)、(200)、(211)所产生的。,(3),因此可得,已知立方晶系晶面族(hkl)的面间距公式为,(4),对于面心立方结构，只有面指数(hkl)全为偶数（包括零或全为 奇数的晶面族才能产生一级衍射亮纹，因而最初三条亮纹因该,(5),把(1)、(2)式的结果与(4)、(5)式对照，不难判定，当温度为,时铁是体心立方结构，而当温度为,时则为面心立方结构。,由式得,对应于晶面族(111)、(200)和(220)，,因而其晶体密度应为,由此可求得晶格常数,最后，由(1)、(3)两式可求得x射线波长,