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1、机械1509 1510 没交作业名单:,2. 求函数,在抛物线,x轴正向的切线方向的方向导数.,解: 将抛物线用参数方程表示为,它在点(1,2) 的切线方向为,上点 (1, 2)处,沿,着这抛物线在该点处偏向,2. 求函数,在抛物线,x轴正向的切线方向的方向导数.,解: 先求切线斜率：在,它在点(1,2) 的切线方向为,上点 (1, 2)处,沿,着这抛物线在该点处偏向,两端分别对x求导，得,求可微函数最大值和最小值的一般方法：,（1）求函数在 D 内的所有驻点；,（2）求函数在 D 的边界上的最大值和最小值；,（3）将函数在所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的 最大值和最小值相比较，最大者就
2、是函数在 D 上 的最大值，最小者就是最小值。,在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最 大或最小值存在且一定在 D 的内部取得，而函数在 D 内只有一个驻点，则该驻点就是函数在 D 上的最大或 最小值点。,解,如图,得,在边界,和在边界,上,第九章,习题课,三、多元函数微分法的应用,多元函数微分法的应用,一、 基本概念,连续性,偏导数存在,方向导数存在,可微性,1. 多元函数的定义、极限 、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2. 几个基本概念的关系,偏导数连续,二、多元函数微分法,显示结构,隐式结构,1. 分析复合结构,(画变量关系图),自变量
3、个数 = 变量总个数 方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2. 正确使用求导法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,3. 利用一阶微分形式不变性,三、多元函数微分法的应用,1.在几何中的应用,求曲线的切线及法平面,(关键: 抓住切向量),求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量),2. 极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法),求解最值问题,3. 在微分方程变形等中的应用,最小二乘法,1) 近似计算,2) 几何应用,几何应用,曲线切线(法平面),曲面切平面(法线),一、内容小结：,多元微分学的应用,曲线：参
4、数方程情形,切线：,法平面：,一般方程情形,切线：,法平面：,也可表为,法平面方程,则曲线在该点的切线可以看作两曲面在该点切平面的交线：,一般方程,若,另：,曲面：,该曲面上，则相应的切平面：,法线：,曲面方程： ，点 在,称之为函数在l 方向上的增量。,如果极限,存在,射线l的参数方程为,则称此极限为 f ( x , y ) 在点 处沿方向 l 的方向导数。,记为,3) 方向导数与梯度,其中 为 轴正向到方向 的转角,二元函数的方向导数,其中 是方向 l 的方向余弦.,三元函数的方向导数,梯度,注：梯度方向为方向导数取最大值的方向,或者,函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.
5、,同样,的等值面(等量面).,当其各偏导数不同,其上点 P 处的法向量为,称为,时为零时,则,上点P 处的法向量为,4) 极值问题,必要性：可导的极值点是驻点,充分性：,则,时， 极小值；,时， 极大值；,时不能确定；,时 非极值,(1) 无条件极值,(2) 条件极值,方法：,最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值,构造Lagrange函数,单条件极值 求函数 在条件,下的条件极值,解方程组,方法：,解方程组,构造Lagrange函数,两条件极值,下的条件极值,最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值,求函数 在条件,(3)函数的最大值和最小值 求函数在有界区域上的最大值和最小值的方法 1.求出
6、该函数在内的所有驻点和偏导数不存在的点的函数值， 2.求出在边界上可能的最大值最小值, 3.比较大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定驻点是否是最值点。,1. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:,设函数 z = f (x, y) 在点(0, 0)的某邻域内有定义,且,函数f (x, y) 在点(0, 0)处的两个偏导数存在,不一定可微.,则有_.,P133 题2,解:,取x为参数 ,故(C)正确.,2. ( ),选择题,解:,平面的法向量,曲线的切向量:,3. 若z=f (x,y)在(x0,y0)处取得极大值, 则g(y)=f(x0
7、,y) 在y0处一定有 ( ),A. g(y)在y0取得最大值; B. g(y)在y0取得极大值,C. y0是g(y)的驻点 D.以上都不对.,1314 ABC,3. 若 f(x0 , y) 及 f(x , y0) 在(x0 , y0) 都取得极值,则f ( x , y) 在(x0 , y0) 处( ),A.不一定取得极值; B.取得极值; C.取得最值. D.取不到极值,不一定取得极值.,例如,在,不取极小值.,此时,取极小值;,在,当,时,分析:,当,时,取极小值;,在,令,A.不一定取得极值; B.取得极值; C.取得最值. D.取不到极值,不一定取得极值.,例如,在,不取极值.,但,取
8、极大值;,在,当,时,分析:,当,时,取极小值;,在,3. 若 f(x0 , y) 及 f(x , y0) 在(x0 , y0) 都取得极值,则f ( x , y) 在(x0 , y0) 处( ),则(0,0) ( ),(A). 不是f( x, y)的连续点; (B) . 不是f ( x, y)的极值点; (C) .是f ( x , y)的极小值点. (D). 是f (x, y)的极大值点,分析:,4.,设函数,的全微分为,令,得驻点 (0,0).,在点(0,0) 处,为极小值;,5. 设函数,在,处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型,分析 这是二元函数求极值的反问题， 即已知,取得极值，
9、只需要根据可导函数取得极值的必要条件 和充分条件即可求解本题,解：,因为,可微, 故,必为驻点， 则有,因此有,，即,1112B,5. 设函数,在,处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型,在点,为极小值.,求二阶偏导数,解：,处,即,解: 令,切平面方程,法线方程,法向量,7在椭球面 上求一点，使函数,在该点沿方向,的方向导数为最大,解:,设,为椭球面,上任一点，,问题归结为求,在条件,下的最大值.,设拉格朗日函数,解方程组,7在椭球面 求一点，使函数,在该点沿方向,的方向导数为最大,得驻点,得驻点,在点,的方向导数为最大,沿方向,由已知条件可知本题的最大值与最小值一定存在.,而且,解:,由
10、方向导数的计算公式知,P133 题15,故,例1.,例2. 求函数,在椭球面,解:,的方向导数.,沿外法线方向,对于封闭的曲面，上述两个法向量中，一个指向曲面的外侧，另一个则指向曲面的内侧。,设,则椭球面上任意一点 P ( x , y , z ) 处的法向量可取为,指向外侧，称为外法线方向向量,指向内侧，称为内法线方向向量,上点,处,P134 题16,解:,例2. 求函数,在椭球面,的方向导数.,沿外法线方向,上点,处,椭球面在点 处的一个外法线方向向量,例3.在第一卦限作椭球面,的切平面,解: 设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,使其与三坐标面所围的四面体体积最小, 并求切点和最
11、小体积.,P134 题18,问题归结为求,在条件,下的最小值 .,设拉格朗日函数,切平面在三坐标轴上的截距为,所围四面体的体积,V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大,令,由此问题的性质知,为所求切点 .,得唯一驻点,四面体的最小体积为,上求一点 , 使该点处的法线垂直于,在曲面,并写出该法线方程 .,解: 设所求点为,曲面的法向量,利用,得,平面,法线垂直于平面,点在曲面上,P134 题14,则法线方程为,所以法线方程为,例4.,例4. 抛物面 被平面 截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离。,分析：设 为椭圆上任一点, 则 到原点的距,. 又 点既在抛物面上,
12、 又在已知平面上,故本题可转化为求目标函数 在约束条件,及 下的最大值和最小值。,可用拉格朗日乘数法求解。,解：设 椭圆上任一点，则它到原点的距离为,下面求 在约束条件,及 下的最值.,离为,P121 题11,解方程组,得两个驻点,由题意可知这种距离的最大值与最小值一定存在；而驻 点只有两个,故最大值、最小值一定在这两个驻点处取得。,由于,故最长距离为,最短距离为,作拉格朗日函数,P92,证明: 隐函数求导法,P92 11,解法2 复合函数求导法.,因为 t 是由方程,当,(1),将上面的两个式子代入(1), 得,时,确定的 x, y 的隐函数,故,P89,解法3 微分法.,对各方程两端分别求
13、全微分,得,由(2), 得,当,(2),(1),乘以(1)两端,并以(3)式代入, 得,(3),时,P131 题11 设,求,解:,P131 题11,其中 f 具有连续的二阶偏导数.,这里 仍是以u, x, y 为中间变量的函数, 且与函数 f 有相同的复合结构,故对它们求偏导要按复合函数求导法则.,P131 题12 设,求,解:,利用行列式解出,两端对x求导，得,P131 题12,上式中的第一式乘 第二式乘 两式相减，,得,上式中的第一式乘 第二式乘 两式相加，,得,同理可得,因此,P131 题12 设,求,提示:,利用行列式解出 du, dv ：,代入即得,代入即得,四、应用题,7.,求函
14、数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (0, 0) , (0, 2), (1, 1) , (1, 1) .,第二步 判别.,在点(0,0) 处,为极大值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,在点(1,1) 处,不是极值;,在点(0,2) 处,为极小值.,在点(1,1) 处,不是极值;,例4.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解: 设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为求,作拉格朗日函数,到平面,在条件,下的最小值 .,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值一定存在 ,且有唯一驻点,故,2. 设,均可微, 且,在约束条件(x, y) 0下的一个极值点,已知 (x0,
15、y0) 是 f (x, y),下列选项正确的是( ),提示: 设,(),代入()得,D,(2006考研),例3.设,有二阶连续偏导数, 且,求,解:,例10. 设,其中 f 与F分别具,解法1 方程两边对 x 求导, 得,有一阶导数或偏导数, 求,(1999 考研),解法2,方程两边求微分, 得,化简,消去 即可得,作业,P130 5，6，10， 15，17,应用题（每小题10分，共20分） 6. 求旋转抛物面,上垂直于直线,的切平面方程.,解:,设 为,此点的法向量,设,切平面方程为,已知直线的方向向量,曲面上的切点,依题意, 得,1213B,应用题（每小题10分，共20分） 6. 求旋转抛物面,上垂直于直线,的切平面方程.,解:,得,所以所求的切平面方程为,即,1213B,注:已知直线的方向向量也可以按下面的两种方式求,1. 把 y, z,看成是x,的函数，在各个方程两端对x求导,解得,则方向向量,2. 令,直线的方向向量,